2024河南省新高考联盟高三下学期3月教学质量测评试题数学含解析

这是一份2024河南省新高考联盟高三下学期3月教学质量测评试题数学含解析，共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，若，则，已知正数m，n满足，则等内容，欢迎下载使用。

命题：
本试题卷共4页，共19题。全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则z的虚部为
A．－1 B． C． D．1
2．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
3．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），X～N（2，4），对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），Y～N（3，），对应的曲线为，则下列图象正确的是
A． B．
C． D．
4．已知，，若，则λ＝
A． B． C．－3 D．
5．若，则
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为P，过点F的直线l′与C交于M，N两点，若，且，则
A． B． C． D．
7．已知实数a，b满足，则的最小值与最大值之和为
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知正方体的边长为4，其中点E为线段的中点，点F，G分别在线段，上运动，若恒成立，则实数λ的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知正数m，n满足，则
A． B． C． D．
10．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则
A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
11．若关于x的不等式在（0，＋∞）上恒成立，则实数a的值可以是
A． B． C． D．2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数的图象关于原点对称，则m＝________．
13．已知平面凸四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中，，则∠ADB＝________；若，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，且，，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动．若参与A游戏，则每次胜利可以获得该商场150元的代金券；若参与B游戏，则每次胜利可以获得该商场200元的代金券；若参与C游戏，则每次胜利可以获得该商场300元的代金券．已知每参与一次游戏需要成本100元，且小甲每次游戏胜利与否相互独立．
（1）若小甲参加4次A游戏，每次获胜的概率为，记其最终获得450元代金券的概率为F（p），求函数F（p）的极大值点；
（2）在（1）的条件下，记小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为，，．若小甲只玩一次游戏，试通过计算说明，玩哪种游戏小甲获利的期望最大．
16．（15分）已知三棱台如图所示，其中，．
（1）若直线，且，求证：直线l⊥平面ABC；
（2）若平面ABC与平面之间的距离为3，求平面与平面所成角的余弦值．
17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点P，Q在椭圆C上，P，Q异于，．
（1）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的值；
（2）若P，Q，三点共线，且的内切圆面积为，求直线PQ的方程．
18．（17分）已知函数．
（1）若，求证：；
（2）讨论关于x的方程在（－1，2）上的根的情况．
19．（17分）定义：已知数列满足．
（1）若，，求，的值；
（2）若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
（3）若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．
华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评
数学参考答案和评分标准
一、选择题
1．【答案】C
【命题意图】本题考查复数的概念、复数的四则运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】依题意，，则z的虚部为，故选C．
2．【答案】D
【命题意图】本题考查不等式的解法、集合的运算、韦恩图，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意，，，故阴影部分表示的集合为，故选D．
3．【答案】B
【命题意图】本题考查正态分布的图象与性质，考查逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D；由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A，故选B．
4．【答案】A
【命题意图】本题考查平面向量的数量积、平面向量的概念，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意，，，则，故，解得，故选A．
5．【答案】D
【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式、三角函数恒等变换，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】，得，则，，故，故选D．
6．【答案】A
【命题意图】本题考查抛物线的方程、焦点弦的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】记直线l′的倾斜角为θ，不妨设，则，即，得，则，则，解得，故，故选A．
7．【答案】C
【命题意图】本题考查点到直线的距离、圆的方程，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】易知点（a，b）在曲线，曲线C关于原点中心对称；而表示曲线C上的点（a，b）到直线的距离，可知临界状态为直线l与曲线C分别在第一、三象限相切，则d的最小值为，最大值为，故的最小值与最大值之和为，故选C．
8．【答案】A
【命题意图】本题考查抛物线的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】作点E关于线段的对称点，过点作，AB的垂线，垂足分别为，H，则，设，则，故，，故实数λ的取值范围为，故选A．
二、选择题
9．【答案】AD
【命题意图】本题考查基本不等式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】，则，当且仅当时等号成立，故A正确；，当且仅当时等号成立，故B错误；若，则，故C错误；，而，当且仅当时等号成立，故D正确；故选AD．
10．【答案】ACD
【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】该正八面体结构的表面积，故A正确；该正八面体结构的体积，故B错误；该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确；故选ACD．
11．【答案】AB
【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意，在（0，＋∞）上恒成立，当时，，令，，故当时，，当时，，故，故，则不等式成立；当时，令，因为，，故u（x）在（1，4）内必有零点，设为，则，则，故，不合题意，舍去；综上所述，，故选AB．
三、填空题
12．【答案】．
【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】易知f（x）为奇函数，则为偶函数，即，，则，则．
13．【答案】90°（2分），12（3分）．
【命题立意】本题考查正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
【解析】依题意，，得；在△ABD中，由正、余弦定理可知，，整理得，故；因为，故；又，则，而，故，当且仅当时等号成立．
14．【答案】．
【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】依题意，，而O为线段的中点，且，则，令，则，，，在和中，由勾股定理可得，解得，则．
四、解答题
15．【命题意图】本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的期望，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．
【解析】（1）依题意，小甲获胜3次且失利1次，
则，
故，
令，解得，
故当时，，当时，，
则F（p）在上单调递增，在上单调递减，故；
（2）由（1）可知，小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为，，；
记Z＝代金券金额－100，
若小甲参加A游戏，则；
若小甲参加B游戏，则；
若小甲参加C游戏，则；
因为，故小甲选择C游戏获利的期望最大．
16．【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】（1）依题意，，，，
证明：如图所示，延长三条侧棱交于点D；
由可得，，且分别为线段DA，DB，DC的中点，
取AB的中点M，则；
又，；
，则，故，
即，而，故，
又，故；
而直线，，，
故直线；
（2）以C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系；
则A（4，0，0），D（2，1，6），B（0，2，0），，；
设为平面的一个法向量；
由求得平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量；
由求得平面的一个法向量，
而，所以平面与平面所成角的余弦值为．
17．【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】（1）依题意，，，，；
设，则，即；
直线，令，则；
直线，令，则；
故；
（2）设点，依题意知直线PQ的方程为；
与椭圆联立，消去x整理得；
显然成立，故，，
由椭圆定义得的周长为；
而的内切圆半径为，则的面积；
又由，得；
从而得，即，
整理得，解得，故，
故直线PQ的方程为．
18．【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．
【解析】（1）依题意，，
故，
令，解得，故当时，，当时，，
故f（x）在（－1，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，
故；
（2）依题意，，
令，
，，
当时，，，则，
当时，，，则，故g′（x）在（－1，2）上单调递减．
①当时，时，，所以g（x）单调递增．
又因为，所以g（x）仅有1个零点；
②当时，因为，，故g′（x）存在唯一的零点，且，当时，，所以g（x）单调递增；当时，，所以g（x）单调递减；
因为，故g（x）在上有唯一的零点0，又，
所以若，即时，g（x）在上有唯一的零点，g（x）在（－1，2）上有2个零点；若，g（x）在上无零点，g（x）在（－1，2）上有1个零点；
③当时，，当时，，所以g（x）单调递增；
当时，，所以g（x）单调递减，故，当且仅当时取等号，
故此时g（x）仅有1个零点0；
④当时，注意到，
因此，且．
又，故g′（x）存在唯一的零点，．
当时，，所以g（x）单调递增；当时，，所以g（x）单调递减．
因为，故g（x）在上有唯一的零点0，注意到，
故，且．
又，因此g（x）在上有唯一的零点，故此时g（x）有两个零点；
综上所述，当且时，g（x）有两个零点；当或时，g（x）有一个零点．
19．【解析】（1）依题意，，显然；
故；
，
即或，则或．
（2）依题意，为数列的最大项，而，又对恒成立，
故，
即，故，
故或，即；
（3），；
设，
①若，则，，
对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数），
当时，；
②若，
ⅰ）若S为有限集，设，，
对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数），
当时，；
ⅱ）若S为无限集，设，，
若，则，又，矛盾；
故；
记；
当时，，，；
因为，所以；
当时，，，
因为，故；
因为，故，
故对任意，取，当时，；
综上所述，不存在实数A，使得．
综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
B
A
D
A
C
A
AD
ACD
AB