2024眉山仁寿县两校高二下学期开学联考试题数学含答案

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第I卷（选择题）
单选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
1. 双曲线的左焦点到右顶点的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
2.已知直线：，下列说法正确的是（ ）
A. 120° B.150°
C.方向向量可以是 D. 方向向量可以是
3.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )
A.0.4B.0.6C.0.8D.1
4.在等差数列{an}中，，则前17项的和（ ）
A. 17B. 27C. 34D. 51
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局,甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
6. 已知，下列命题正确的是（ ）
A. 若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆
B. 若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线
C. 椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是
D. 渐近线为且过点的双曲线的焦点是
7.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
8. LINK "C:\\Users\\Administratr\\Desktp\\新建文件夹 (2)\\辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期末考试 数学 Wrd版含解析【KS5U 高考】.dcx" "OLE_LINK1" \h \a \* MERGEFORMAT法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点且在，轴截距相等的直线方程为
B. 直线的纵截距是．
C. 直线的倾斜角为60°
D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程为
10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ）
A. 直线一定过定点 B. 若，则
C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为
11. 椭圆的离心率为，短轴长为，则（ ）
A. 椭圆的方程为 B. 椭圆与双曲线的焦点相同
C. 椭圆过点 D. 直线与椭圆恒有两个交点
12.在直角坐标系中，已知点，直线，过外一点作的垂线，垂足为，且，记动点的轨迹为，过点作的切线，该切线与轴分别交于两个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A.动点的轨迹方程为 B.当时，三点共线
C.对任意点（除原点外），都有 D.设，则的最小值为4
填空题（本题共4道小题，共20分）
13. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________.
14.已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.
过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A、B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_____．
16.已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，，则的面积为____________．
解答题（本题共6道小题,共70分）
17.(10分）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求的概率；(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
18.（12分）圆的圆心在直线 上，且与直线相切于点,
（1）试求圆的方程；
（2）从点发出的光线经直线反射后可以照在圆上，试求入射光线所在直线的斜率的取值范围．
19.（12分）设数列的前项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数。
20.（12分）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G．
（1）求点G到平面PBC的距离．
（2）求平面GBD与平面PBC夹角的大小．
22.（12分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.
(I)求直线FM的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
高2022级仁寿县第四学期开学联考数学答案
1--5: D AB D C 6--8: C B C 9: B D 10: ABD 11: A C D 12: A B C
13: 14: 0 15: 16:
17．【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，
其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；
（2）这种游戏规则不公平，理由如下：
设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，
由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，
由古典概型的概率计算公式可得，∴，
∵，故这种游戏规则不公平．
18解：（1）由题意知：过A（2，－1）且与直线垂直的直线方程为：
∵圆心在直线：y=－2x上，
∴由 即圆心 （2分）且半径 4分 ∴所求圆的方程为：． 6分
（2）圆关于直线对称的圆为 7分，设入射光线为 8分
化简得，由得 10分
所以入射光线所在直线的斜率取值范围为。 12分
19解：（I）依题意得，即。
当n≥2时，;
当n=1时，×-2×1-1=6×1-5
所以
（II）由（I）得，
故=。
因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。
20【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
21．（12分）解：（1）以点A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系
则
所以重心
设平面PBC的法向量为
所以点G到平面PBC的距离为： 6分
（2），设平面GBD的法向量为
设平面GBD与平面PBC的夹角为，
则． 12分
22.解：(I) 由已知有，又由，可得，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有
，解得.
(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得
，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为
( = 3 \* ROMAN III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得
或，
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.
= 1 \* GB3 ①当时，有，因此，于是，得
= 2 \* GB3 ②当时，有，因此，于是，得
综上，直线的斜率的取值范围是