贵州省贵阳市乌当区乌当第二中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1. 如图，在中，，分别以的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形）的面积为9，则正方形的面积为（ ）
A. 50B. 49C. 48D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】在中，设，，，根据题意可知，，结合顶点恰为的中点易得，在中，由勾股定理可解得；再在中，由勾股定理解得；证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，由三角形面积公式可解得，易得，然后由正方形的面积求解即可．
【详解】解：在中，设，，，如下图，
根据题意，以的三边为边在的同侧作三个正方形，
则有，，
又∵顶点恰为的中点，
∴，
∴在中，可有，
即，
∴，
在中，可有，
即，
∴，解得，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即有，
∴，
∴正方形的面积．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
2. 已知中，所对的边的长分别是，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及勾股定理逆定理等知识，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理分析判断即可求出答案．
【详解】解：A.由题意，，
∴是锐角三角形，本选项符合题意．
B.∵，，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
C.∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
D.∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
3. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”；若直角三角形斜边长为5，短的直角边长为3，则图中小正方形的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形由题意可知阴影部分的面积大正方形的面积个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．
【详解】解：直角三角形斜边长为，最短的直角边长为，
该直角三角形的另外一条直角边为，
.
故选：A．
4. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A. 30，40，50B. 7，12，13C. 5，9，12D. 3，4，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确，符合题意；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意；
故选A．
5. 下列关于的叙述中，错误的是（ ）
A. 面积为7的正方形的边长是B. 是无理数
C. 在数轴上存在表示一个点D. 的小数部分是
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义，无理数的定义，实数与数轴的关系，无理数的估算方法逐项分析即可．
【详解】解：A．面积为7的正方形的边长是，正确；
B．是无理数，正确；
C．在数轴上存在表示的一个点，正确；
D．∵，∴的整数部分是2，∴的小数部分是，故不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，无理数的定义，实数与数轴的关系，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解答本题的关键．
6. 下列各数为无理数的是（ ）
A. 0.618B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：由题意知，0.618，，，均为有理数，
是无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数．
7. 下列各数没有平方根的是（ ）
A. B. 0C. D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可.
【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是，
故选C.
8. 点到轴的距离为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
详解】解：∵，
∴点到轴的距离为：；
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
9. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】点关于轴的对称的点的横坐标变为原来坐标中横坐标的相反数，纵坐标不变，由此即可求解．
【详解】解：根据对称的性质得，点关于轴的对称点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称性，掌握轴对称的性质是解题的关键．
10. 如图是雷达探测到的个目标，若目标用表示，目标用表示，则表示为的目标是（ ）
A. 目标B. 目标C. 目标D. 目标
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标位置的确定和有序数对，根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可，解题的关键是明确有序数对中第一个数和第二个数分别表示的含义．
【详解】∵目标用表示，目标用表示，
∴第一个数表示距观察站的圈数的倍，第二个数表示度数，
∴表示为的目标是，
故选：．
二、填空题（本题共计4小题，每题4分，共计16分）
11. 如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
【答案】15cm
【解析】
【分析】如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=9cm，BC=12cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求．
【详解】解：如图所示：
∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，
∴AC=9cm，BC=12cm，
∴，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm；
故答案为：15cm．
【点睛】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．
12. 如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑_____分米

【答案】8
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AO，再根据顶端下滑4分米求出BO，根据勾股定理求出OD，即可得出底部平滑的距离．
【详解】解：在△AOC中，根据勾股定理
分米，
当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：BO=24-4=20分米，
△BOD中根据勾股定理
分米，
则梯子的底部将平滑距离：CD=OD-OC=15-7=8分米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变．
13. 比较大小：______4；______7．（用“”、“”或“”连接）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据无理数的大小进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了无理数的比较，熟练掌握相关知识是解题关键．
14. 如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是______________．

【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．
直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：点A坐标为，点B的坐标为，
由点的坐标建立平面直角坐标系如下：

则点C的坐标是．
故答案为：
三、解答题（本题共计7小题，共计54分）
15. 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．回答下列问题：

（1）当t＝______秒时，平分；
（2）在运动过程中是否能出现以为腰的等腰三角形？若能，求出此时点P运动时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）能，3秒或秒或6秒
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理求出，再证，得，则，，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①若在边上时，；②若在边上时，有两种可能，分别求出即可．
【小问1详解】
解：如图，，，，
，
作于，

，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即当为秒时，平分；
【小问2详解】
①若在边上时，，如图，

为等腰三角形；
，
，
，
秒时，为等腰三角形；
②若在边上时，如图，

，
，
若，
则，
解得：，
秒时，为等腰三角形；
若，过作斜边的高，如图，

则，
，
，
，
，
，
解得：，
秒，为等腰三角形；
综上所述，为3秒或秒或6秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
16. 如图所示，已知，P是射线上一动点，．

（1）当是等边三角形时，求的长；
（2）当是直角三角形时，求的长．
【答案】（1）10； （2）5或20．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况讨论：①若，则，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求；②若，则，从而可求。
【小问1详解】
当为等边三角形时，．
【小问2详解】
当直角三角形时，分两种情况讨论：
①若，则，
∴，
∴；
②若，则，
∴．
综上所述，的长为5或20．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相关知识是解题的关键．
17. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？

【答案】
【解析】
【分析】先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：∵使得两村到站的距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：站应建在离站处．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与运算顺序是解题的关键．
（1）先把二次根式化为最简二次根式，并运算平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
19. 已知是49的算术平方根，的立方根是2，求的平方根．
【答案】±13．
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，然后代入求出的值，再根据平方根的定义解答．
【详解】解：∵x+2是49的算术平方根，
∴x+2=7，
解得x=5，
∵的立方根是2，
∴=8，
解得y=12，
∴==169，
∵（±13）2=169，
∴的平方根是±13．
【点睛】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出x、y的值是解题的关键．
20. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．
（1）点B的坐标为 ；当点P移动4秒时，写出点P的坐标 ．
（2）若点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿着的线路移动，点Q与点P同时出发，几秒后点Q与点P第一次相遇？
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、非负数的性质、坐标与图形性质，根据算术平方根和绝对值的非负性得，，根据矩形的性质及点的运动规律、灵活运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得：
，得：，
，得：，
，，
，
∵，
则点P运动的路程为8，
此时点P运动到上，距点A个单位长度，
，
故答案为：；．
【小问2详解】
设t秒后点Q与点P第一次相遇，由题得：
，
解得，
所以秒后点Q与点P第一次相遇．
21. 如图是某校的平面示意图，网格中小正方形的边长为1，且已知E楼、A楼的坐标分别为，．完成以下问题：

（1）请根据题意在图上建立平面直角坐标系；
（2）写出图中校门、B楼、C楼、D楼的坐标；
（3）在图中用点M表示实验楼的位置．
【答案】（1）见解析 （2）校门、B楼、C楼、D楼
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知点E和点A的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据（1）中建立的坐标系，写出各点的坐标即可；
（3）在（1）建立的坐标系中，标出点即可．
【小问1详解】
根据题意在图上建立平面直角坐标系，如图所示：
【小问2详解】
校门、B楼、C楼、D楼；
【小问3详解】
如下图所示：
【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，解题关键是根据已知点的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系．