2023-2024学年江苏省扬州市宝应县东北片八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市宝应县东北片八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，两个三角形是全等三角形，x的值是( )
A. 30
B. 45
C. 50
D. 85
3.如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A. AB=DC，AC=DB
B. AB=DC，∠DBC=∠ACB
C. BO=CO，∠A=∠D
D. AB=DC，∠ABC=∠DCB
4.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SASB. ASAC. SSSD. AAS
5.如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC，则此图中全等三角形有( )
A. 2对B. 3 对C. 4对D. 5对
6.如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影凃在图中标有数字的格子内．( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是( )
A. B.
C. D.
8.如图，AD是△ABC的中线，CE/​/AB交AD的延长于点E，AB=5，AC=7，则AD的取值可能是( )
A. 3
B. 6
C. 8
D. 12
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有______个.
10.小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是______．
11.如图，木工师傅做好一门框后钉上木条AB，CD，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是______．
12.如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带第______块到玻璃店去．
13.已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为16，AB=4，BC=5，则DF=______．
14.如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，依据ASA，应添加的一个条件是______．
15.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=______．
16.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=______．
17.如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：其中正确的结论有______个．
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．
18.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD，分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G，若CG=2，P为AB上一动点，则GP的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，已知AC=AD，BC=BD，求证：∠C=∠D．
20.(本小题8分)
如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．
21.(本小题8分)
如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE.求证：CE=BF．
22.(本小题8分)
如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上．求证：BE=DE．
23.(本小题10分)
如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
(2)求△ABC的面积；
(3)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短(不需计算，在图上直接标记出点P的位置)．
24.(本小题10分)
如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB/​/CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)∠ACB=60°，∠DFC=75°，求∠EBC的度数．
25.(本小题10分)
如图，已知△ABC中AB=AC．
(1)作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．
26.(本小题10分)
如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，BF与CE相交于点M．
(1)求证：EC=BF；
(2)求证：EC⊥BF．
27.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=32，BC=24，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤8)．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长；
(2)若点P、Q的运动速度相等，t=43时，∠DPQ与∠B是否相等？请说明理由；
(3)若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值．
28.(本小题12分)
【问题引领】
问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°，E，F分别是AB，AD上的点，且∠ECF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连结CG，先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF.他得出的正确结论是______．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题l的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+ADC=180°，∠ECF=12∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
问题3：如图3，在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，若BE=2，DF=8，求EF的长.(请直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称图形的概念，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴.根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】
解：A、不能找到一条直线，沿该直线折叠后，使直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形；
B、不能找到一条直线，沿该直线折叠后，使直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形；
C、不能找到一条直线，沿该直线折叠后，使直线两旁部分完全重合，不是轴对称图形；
D、可以找到一条直线，沿该直线折叠后，使直线两旁部分完全重合，是轴对称图形；
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】
解：∠A=180°−105°−45°=30°，
∵两个三角形是全等三角形，∠D和∠A所对边长都为3，
∴∠D=∠A=30°，即x=30，
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：A、由AB=DC，AC=DB，BC=CB，根据SSS可以证明△ABC≌△DCB，本选项不符合题意．
B、由AB=DC，∠DBC=∠ACB，SSA不能判断三角形全等，本选项符合题意．
C、由BO=CO，推出∠DBC=∠ACB，因为∠A=∠D，BC=CB，根据AAS可以证明△ABC≌△DCB，本选项不符合题意．
D、由AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，根据SAS可以证明△ABC≌△DCB，本选项不符合题意．
故选：B．
根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．属于中考常考题型．
4.【答案】C
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C′O′D′，则∠A′O′B′=∠AOB．
故选：C．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．
本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
根据SAS推出△ABD≌△ACD，求出∠B=∠C，BE=CF，根据全等三角形的判定推出△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△AFB≌△AEC即可．
【解答】
解：全等三角形有：△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△AFB≌△AEC，共4对，
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，
把阴影凃在图中标有数字3的格子内所组成的图形是轴对称图形，
故选：C．
从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案．
本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
7.【答案】D
【解析】解：如图所示，
作D点关于直线AB的对称点D′，连接CD′，交直线AB于N，
则CN+DN=CN+D′N=CD′为最短路程．
故选：D．
根据在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点为N，CN+DN就是最短路程．
此题主要考查了最短路线问题，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8.【答案】A
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∵CE/​/AB，
∴∠DCE=∠DBA，
在△CDE和△BDA中，
∠CDE=∠BDACD=BD∠DCE=∠DBA，
∴△CDE≌△BDA(ASA)，
∴EC=AB=5，
∵7−5∴2<2AD<12，
∴1故选：A．
证明△CDE≌△BDA(ASA)，推出CE=AB=5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是得到△CDE≌△BDA．
9.【答案】2
【解析】解：正方形，圆均为轴对称图形．
故答案为：2．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
10.【答案】10：21
【解析】解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：21．
镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．
对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
11.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，这种做法的根据是三角形的稳定性．
【解答】
解：木工师傅做好一门框后钉上木条AB，CD，使门框不变形，这种做法依据的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
12.【答案】③
【解析】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．
本题考查了全等三角形的应用(有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等)；学会把实际问题数学化石正确解答本题的关键．
13.【答案】7
【解析】解：∵△ABC的周长为16，AB=4，BC=5，
∴AC=16−5−4=7，
∵△ABC≌△DEF
∴DF=AC=7．
故答案为：7．
运用全等三角形有关知识进行解答，可首先求出AC的长，根据全等三角形的性质得出DF=AC，即可求得答案．
本题主要是对全等三角形的性质“对应边相等”的考查，题目比较简单．
14.【答案】∠B=∠C
【解析】解：添加∠B=∠C，
在△ABE和△ACD中，∠A=∠AAB=AC∠B=∠C,
所以△ABE≌△ACD(ASA)．
故答案为：∠B=∠C．
添加∠B=∠C，再加上公共角∠A=∠A和已知条件AB=AC可利用ASA判定△ABE≌△ACD．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15.【答案】5
【解析】解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
∵CE⊥DE，
∴∠E=90°，
在△BDA和△AEC中，
∠ABD=∠CAE∠D=∠EAB=CA,
∴△BDA≌△AEC(AAS)，
∴DA=EC=2，AE=BD=3，
∴ED=5．
首先证明∠DBA=∠CAE，然后再根据AAS定理证明△BDA≌△AEC，根据全等三角形的性质可得DA=CE，AE=DB，进而得到答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．
16.【答案】180°
【解析】解：如图：
由图形可知∠4=∠6，∠3=∠5，
所以∠1+∠4=∠1+∠6=90°，∠2+∠3=∠2+∠5=90°
所以∠1+∠2+∠3十∠4=180°．
故答案为：180°．
仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
此题主要考查了互余关系以及角的计算，解答本题要充分利用网格特点．
17.【答案】4
【解析】解：在△ABE和△ACF中，
∠B=∠C∠E=∠FAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AB=AC，BE=CF，∠EAB=∠FAC，
∴∠1=∠2，故①，②正确；
在△ACN和△ABM中，
∠BAC=∠CABAB=AC∠B=∠C，
∴△ACN≌△ABM(ASA)，故③正确；
在△AEM和△AFN中，
∠2=∠1AE=AF∠E=∠F，
∴△AEM≌△AFN(ASA)，故⑤正确；
∴AM=AN，
∴CM=BN，
在△CMD和△BND中，
∠C=∠B∠CDM=∠BDNCM=BN，
△CMD≌△BND(AAS)，
∴CD=BD，故④错误，
∴正确的有4个，
故答案为：4．
由“AAS”可证△ABE≌△ACF，可得AB=AC，BE=CF，∠EAB=∠FAC，即∠1=∠2，故①，②正确；由“ASA”可证△ACN≌△ABM，△AEM≌△AFN，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：当GP⊥AB时，GP最小，
此时：GP=CG=2，
故答案为：2．
根据垂线段的最短找到最小值，再根据角平分线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质定理和三角形的外角定理及垂线段最短是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AC=AD，BC=BD，AB为公共边，
∴△ABC≌△ABD(SSS)，
∴∠C=∠D．
【解析】由已知条件且AB为公共边，根据全等三角形的判定方法SSS易证得△ABC≌△ABD，即可得∠C=∠D．
本题考查了全等三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形全等的判定方法是解题的关键．
20.【答案】证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
∠B=∠AEDAB=AE∠BAC=∠EAD，
∴△ABC≌△AED(ASA)．
【解析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题；
21.【答案】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC=DFAB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴BC=EF．
∴BC−BE=EF−BE．
即：CE=BF．
【解析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，则BC=EF，即CE=BF．
本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL(直角三角形).判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
22.【答案】解：在△ABC与△ADC中，
AB=ADAC=ACBC=DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
在△BAE与△DAE中，
BA=DA∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴BE=DE．
【解析】要证BE=DE，先证△ABC≌△ADC，再证△BAE≌△DAE即可．
本题重点考查了三角形全等的判定和性质定理，利用全等得出结论证明三角形全等是常用的方法．
23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)△ABC的面积=3×4−12×4×2−12×2×1−12×2×3=4；
(3)如图，点P为所作．
【解析】(1)分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
(2)用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
(3)连接A1B交直线l于P，点P即为所作．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
24.【答案】(1)证明：∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF．
在△ABE和△CDF中，
∠BAC=∠DCA∠ABE=∠CDFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)解：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD=75°，
∵∠ACB=60°，
∴∠EBC=∠AEB−∠ACB=15°．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠BAC=∠DCA，等量代换可得AE=CF，再利用AAS证明即可；
(2)根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠CFD=75°，再利用外角的性质计算即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题的关键．
25.【答案】(1)解：如图所示；
(2)证明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分线，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
AE=AC∠EAF=∠CAFAF=AF，
∴△AEF≌△ACF(SAS)，
∴∠E=∠ACF．
【解析】(1)以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，再以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们12长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；
(2)求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF．
本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．
26.【答案】证明：(1)∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°．
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF．
在△ABF和△AEC中，
AB=AE∠EAC=∠BAFAC=AF，
∴△ABF≌△AEC(SAS)．
∴EC=BF．
(2)由(1)知：△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°．
∴∠AEC+∠ADE=90°．
∵∠ADE=∠BDM，
∴∠ABF+∠BDM=90°．
在△BDM中，
∠BMD=180°−∠ABF−∠BDM=180°−90°=90°．
∴EC⊥BF．
【解析】(1)利用SAS说明△ABF≌△AEC得结论；
(2)先利用全等三角形的性质说明∠AEC=∠ABF，再利用三角形内角和定理说明∠BMD=90°得结论．
本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．
27.【答案】解：(1)PC=BC−BP=24−6t；
(2)∠DPQ=∠B，理由如下：
∵t=43时，PB=8，CQ=8，
∴PC=BC−PB=24−8=16，
∵BD=AD=16，
∴PC=BD，
∵∠C=∠B，CQ=BP，
∴△QCP≌△PBD(SAS)，
∴∠QPC=∠PDB，
∵∠DPQ=180°−∠QPC−∠BPD，∠B=180°−∠PDB−∠BPD，
∴∠DPQ=∠B；
(3)∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC，BD=CQ，
∴6t=24−6t，at=16，
解得：t=2，a=8．
【解析】(1)用BC的长度减去BP的长度即可；
(2)根据题意即可判定△QCP≌△PBD(SAS)，根据全等三角形的性质、平角的定义、三角形内角和定理即可得解；
(3)根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
28.【答案】EF=DF+BE
【解析】解：问题1、BE+FD=EF，
理由：如图1中，延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDG=90°BC=CD，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵∠BCD=120°，
∴∠ECG=120°，
∵∠ECF=60°，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF，
∴△CEF≌△CGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=DF+BE；
故答案为：EF=DF+BE；
问题2，问题1中结论仍然成立，理由如下：
如图2中，延长FD到点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠GDC
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDGBC=CD，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCD=∠ECG，
∵∠ECF=12∠BCD，
∴∠ECF=12∠ECG，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF，
∴△CEF≌△CGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=DF+BE；
问题3.结论：DF=EF+BE；
理由：如图3中，在DF上取一点G.使DG=BE.连接CG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=∠GDC，
在△CBE和△CDG中，
BE=DG∠CBE=∠CDGBC=CD，
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCD=∠ECG，
∵∠ECF=12∠BCD，
∴∠ECF=12∠ECG，
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中，
CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF，
∴△CEF≌△CGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴DF=FG+DG=EF+BE，
∵BE=2，DF=8，
∴EF=6．
问题1，先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；
问题2，先判断出∠ABC=∠GDC，进而判断出△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；
问题3，同问题2的方法即可得出结论、
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．