北师大版 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第六单元除法计算篇【十三大考点】(原卷版+解析)

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篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！2023年11月1日2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第六单元除法·计算篇【十三大考点】专题解读本专题是第六单元除法·计算篇。本部分内容是两位数除法的计算，包括口算、笔算、估算等，考点和题型以计算为主，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32585" 【考点一】口算除法  PAGEREF _Toc32585 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29468" 【考点二】笔算除法  PAGEREF _Toc29468 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23088" 【考点三】试商  PAGEREF _Toc23088 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc10753" 【考点四】估算  PAGEREF _Toc10753 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1363" 【考点五】商的位数  PAGEREF _Toc1363 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc17720" 【考点六】除法算式大小比较  PAGEREF _Toc17720 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc14694" 【考点七】最大值问题  PAGEREF _Toc14694 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc1269" 【考点八】除法中的数量关系  PAGEREF _Toc1269 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7919" 【考点九】商的变化规律  PAGEREF _Toc7919 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc15423" 【考点十】商不变的规律（商不变性质）  PAGEREF _Toc15423 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc16138" 【考点十一】余数的变化规律  PAGEREF _Toc16138 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc4390" 【考点十二】错看问题  PAGEREF _Toc4390 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc2885" 【考点十三】除法算式谜  PAGEREF _Toc2885 \h 13典型例题【考点一】口算除法。【方法点拨】1.整十数除整十数的口算方法：（1）利用数的组成口算；（2）根据乘、除法的关系想乘法算除法；（3）利用表内除法口算。2.整十数除几百几十数的口算方法：（1）利用数的组成口算；（2）根据乘、除法的关系想乘法算除法；（3）利用表内除法口算。【典型例题】口算。                    【对应练习1】口算。60÷30＝      40÷20＝       90÷30＝180÷20＝     450÷50＝      270÷30＝【对应练习2】口算。 600÷30＝        80÷20＝        180÷90＝       0÷80＝4×200＝        900÷30＝        270÷27＝        450÷50＝【对应练习3】口算。210÷70＝       540÷60＝       180÷20＝       360÷60＝       140÷20＝810÷90＝       450÷50＝       120÷60＝       640÷80＝       720÷80＝【考点二】笔算除法。【方法点拨】1.除数是两位数的除法的计算方法：（1）从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位；（2）如果它比除数小，再试被除数的前三位；（3）除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面，每次除后余下的数必须比除数小，最后根据竖式补充完横式，注意要写余数。2.笔算除法的验算方法：用除数与商相乘，如果有余数，再加上余数，看是否等于被除数。【典型例题】竖式计算，带☆的要验算。480÷32＝         704÷44＝           856÷17＝         ☆987÷48＝【对应练习1】用竖式计算（最后一题请验算）。423÷36＝            807÷97＝            2360÷20＝       验算：【对应练习2】用竖式计算。（带“☆”得要验算）906÷16＝      ☆265÷65＝       420÷54＝       ☆2800÷180＝【对应练习3】计算下面各题。（带★的要验算）485÷53＝           ★365÷38＝         659÷72＝         807÷89＝400÷64＝            269÷35＝          96÷18＝         ★320÷37＝【考点三】试商。【方法点拨】在计算除数是两位数的除法时，一般按照“四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数来试商，其中用“四舍”法把除数看作整十数来试商，商容易偏大；用“五入”法把除数看作整十数来试商，商容易偏小。【典型例题】计算239÷78时，把78看做（    ）来试商，商是（    ），会偏（    ），所以要把商调整为（     ）。【对应练习1】 计算547÷63时，把63看作（ ）来试商，商是（ ），会偏（ ），所以要把商调整为（ ）。【对应练习2】计算814÷19时，把19看作（ ）来试商，商是（ ），会偏（ ），所以要把商调整为（ ）。【对应练习3】637÷78，笔算时，把除数看作( )试商，商是( )，会偏（ ），所以要把商调整为（ ）。【考点四】估算。【方法点拨】一般把被除数看作与它接近的整百数或几百几十数，把除数看作与它接近的整十数进行口算。【典型例题】估算。250÷48≈      184÷60≈       364÷60≈       445÷90≈       802÷79≈354÷50≈      480÷56≈       320÷39≈       360÷57≈       98÷20≈【对应练习1】估算。123÷40≈     120÷39≈     250÷47≈     401÷80≈240÷32≈      480÷79≈     283÷39≈     542÷59≈【对应练习2】估算。 283÷70≈         350÷48≈          540÷62≈718÷90≈        320÷37≈          237÷40≈【对应练习3】估算。632÷90≈    240÷37≈    184÷20≈   82÷20≈     93÷30≈     60÷22≈【考点五】商的位数。【方法点拨】分析已知条件，列出乘法算式。【典型例题1】□38÷53，要使商是一位数，□可以填几？□38÷53，要使商是两位数，□可以填几？【典型例题2】如果“□46÷47”的商是一位数，□里的数最大是( )；如果商是两位数，□里的数最小是( )；如果商是20，□里填的数是( )。【对应练习1】□25÷25，如果商是一位数，□里最大填( )；如果商是两位数，□里最小填( )。【对应练习2】按要求填数。(1)□26÷52的商是一位数，则□里最大填( )。(2)□87÷76的商是两位数，则□里最小填( )。【对应练习3】要使□47÷55的商是两位数，□里最小填( )；6□2÷65的商是一位数，□里可以填( )。【考点六】除法算式大小比较。【方法点拨】被除数÷除数＝商，当除数相同时，被除数大的商就大；当被除数相同时，除数小的商就大；有乘除法的计算中，从左往右依次计算即可。【典型例题】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。363÷24( )452÷24             424÷36( )424÷244500÷60( )450÷60                   72÷8×9( )72÷9×8【对应练习1】在括号里填上“＞”“＜”“＝” 200÷25( )200÷23                 510毫升( )5升 503÷15( )513÷15                 1080÷4÷9( )1080÷36【对应练习2】在括号里填上“＞”“＜ ”或“ ＝ ”。5600毫升( )6升      900毫升( )9升     7升( )705毫升150÷30( )15÷3      729÷60( )20       13升( )1300升【对应练习3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。6升( )600毫升     990毫升( )1升      5升( )5050毫升620÷30( )620÷36     630÷60( )540÷60     360÷12( )360÷3÷4【考点七】最大值问题。【方法点拨】找最大值问题，还是需要尝试使用除法估算的方法解决。【典型例题】下面的括号里，最大能填几？50×( )＜251         500＞( )×70        411＞60×( )【对应练习1】括号里最大能填几？( )×24＜100    53×( )＜302【对应练习2】在（    ）里填上最大的整数。( )     ( )     ( )【对应练习3】括号里最大能填几？( )        ( )( )        ( )【考点八】除法中的数量关系。【方法点拨】1.除法算式中的基础数量关系：被除数÷除数=商……余数； 被除数=商×除数＋余数(验算的方法)；除数＝（被除数－余数）÷商；商＝（被除数－余数）÷除数；余数＝被除数－除数×商。2.除数与余数的关系：除数必须大于余数。【典型例题1】1.如果4×50+6=206，那么206÷50=（      ）……（    ）。2.51除（    ）的商是6，余数是20。【对应练习1】在下面（ ）里填上合适的数。（ ）÷51=7……21 154÷（ ）=25……4【对应练习2】一个数乘72，再除以24是39，这个数是多少？【对应练习3】根据270÷45＝6，写出两个相关的算式。 (　 　)÷(　　 )＝(　　　)　　　　 (　 　)×(　 　)＝(　　　)【典型例题2】在算式○÷28=14......□中，当□最大是（ ），○是（ ）。【对应练习1】在□÷○=9……10算式中，○最小要填（ ），这时，□是（ ）【对应练习2】□□□÷75=5……（ ）， 余数最大是（ ），这时的被除数是（ ）。【对应练习3】在A÷15=14……B中，余数B最大可取（ ），这时被除数A是（ ）【考点九】商的变化规律。【方法点拨】1.在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。2.在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。【典型例题1】两个数的商是24，如果被除数不变，除数除以4，则商是( )。【典型例题2】两数相除，商是120，如果除数不变，被除数乘3，则商是( )。【对应练习1】3200÷40，如果除数不变，被除数扩大到原来的2倍，那么商（ ）。A.不变 B.扩大到原来的2倍 C.等于原来的商除以2【对应练习2】两数相除的商是20，被除数乘2，除数不变，商是( )；被除数不变，除数乘2，商是( )。【对应练习3】在a÷b＝50中，如果a乘4，b不变，那么商是( )；如果a不变，b乘5，那么商是( )。【考点十】商不变的规律（商不变性质）。【方法点拨】在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。【典型例题】判断。①210÷30=（210×15）÷（30×15） （ ）②48÷12=（48×3）÷（12×4） （ ） ③60÷12=（60 ÷3）÷（12×3） （ ）④63÷7=（63÷10）÷（7÷10） （ ）⑤被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。 （ ）⑥两数相除的商是20，被除数和除数同时乘2，商是40。（ ）⑦两个因数都乘10，积不变。 （ ）【对应练习】 填空。1. 两个数相除，商是20，如果在被除数和除数的末尾都填上一个0，商是（      ）。2. 如果A÷B=C，那么（A×40）÷（B×40）=（     ） 。3. 根据368÷16=23直接写出下面各算式的商。3680÷160=（ ）736÷32=（ ）【考点十一】余数的变化规律。【方法点拨】在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。【典型例题】A÷B＝5……7，如果A扩大到原来的100倍，B也扩大到原来的100倍，它的商是( )，余数是( )。【对应练习1】计算一道整数除法算式，被除数和除数的末尾同时去掉1个0，算得的商和余数都是7，这道除法算式的商是( )，余数是( )。【对应练习2】已知M÷N＝6……4，如果M、N都乘100，那么商是( )，余数是( )。【对应练习3】两数相除，商是58，余数是6，如果被除数和除数同时扩大到原来的4倍，商是( )，余数是( )。【考点十二】错看问题。【方法点拨】错看问题，一般考虑将错就错，根据“商×除数＋余数＝被除数”先求出被除数，然后再根据“被除数÷除数＝商”，求出正确的商。【典型例题】小亮在计算除法时，把被除数358个位上的8错写成了0，结果得到商是7，那正确的结果是多少？【对应练习1】王小虎在计算除法时，把除数37错写成了73，这样得到的商是11，余数是11，正确的商应该是多少？【对应练习2】张小虎在做一道除法算式时，把除数23错写成24，得到的商是7，余数是16，正确的商应该是多少？【对应练习3】小马虎在计算有余数的除法时，把被除数115错写成151，商比原来多2，而余数恰好相同。这道题的除数和余数各是多少？【考点十三】除法算式谜。【方法点拨】熟练掌握除法竖式计算法则，是解决除法算式谜的关键。【典型例题】把下面的竖式谜填写完整。【对应练习1】在方框内填上合适的数字。【对应练习2】想一想，填一填。【对应练习3】在□里填入合适的数字，使竖式成立。篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！2023年11月1日2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第六单元除法·计算篇【十三大考点】专题解读本专题是第六单元除法·计算篇。本部分内容是两位数除法的计算，包括口算、笔算、估算等，考点和题型以计算为主，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32585" 【考点一】口算除法  PAGEREF _Toc32585 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29468" 【考点二】笔算除法  PAGEREF _Toc29468 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23088" 【考点三】试商  PAGEREF _Toc23088 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc10753" 【考点四】估算  PAGEREF _Toc10753 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc1363" 【考点五】商的位数  PAGEREF _Toc1363 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc17720" 【考点六】除法算式大小比较  PAGEREF _Toc17720 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc14694" 【考点七】最大值问题  PAGEREF _Toc14694 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc1269" 【考点八】除法中的数量关系  PAGEREF _Toc1269 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc7919" 【考点九】商的变化规律  PAGEREF _Toc7919 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc15423" 【考点十】商不变的规律（商不变性质）  PAGEREF _Toc15423 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc16138" 【考点十一】余数的变化规律  PAGEREF _Toc16138 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc4390" 【考点十二】错看问题  PAGEREF _Toc4390 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc2885" 【考点十三】除法算式谜  PAGEREF _Toc2885 \h 20典型例题【考点一】口算除法。【方法点拨】1.整十数除整十数的口算方法：（1）利用数的组成口算；（2）根据乘、除法的关系想乘法算除法；（3）利用表内除法口算。2.整十数除几百几十数的口算方法：（1）利用数的组成口算；（2）根据乘、除法的关系想乘法算除法；（3）利用表内除法口算。【典型例题】口算。                    【答案】8；22；8   12；120；130【详解】略【对应练习1】口算。60÷30＝      40÷20＝       90÷30＝180÷20＝     450÷50＝      270÷30＝【答案】2；2；39；9；9【详解】略【对应练习2】口算。 600÷30＝        80÷20＝        180÷90＝       0÷80＝4×200＝        900÷30＝        270÷27＝        450÷50＝【答案】20；4；2；0；800；30；10；9；【详解】略【对应练习3】口算。210÷70＝       540÷60＝       180÷20＝       360÷60＝       140÷20＝810÷90＝       450÷50＝       120÷60＝       640÷80＝       720÷80＝【答案】3；9；9；6；7；9；9；2；8；9【详解】略【考点二】笔算除法。【方法点拨】1.除数是两位数的除法的计算方法：（1）从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位；（2）如果它比除数小，再试被除数的前三位；（3）除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面，每次除后余下的数必须比除数小，最后根据竖式补充完横式，注意要写余数。2.笔算除法的验算方法：用除数与商相乘，如果有余数，再加上余数，看是否等于被除数。【典型例题】竖式计算，带☆的要验算。480÷32＝        704÷44＝          856÷17＝        ☆987÷48＝【答案】15；16；50……6；20……27【分析】除数是两位数的除法，先看被除数的前两位，前两位数不够除，看被除数的前三位数，除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商，求出每一位商，余下的数必须比除数小。依此计算，带☆的题需要验算，验算方法是：被除数＝商×除数＋余数。【详解】480÷32＝15                  704÷44＝16                      856÷17＝50……6                 ☆987÷48＝20……27                     验算：【对应练习1】用竖式计算（最后一题请验算）。423÷36＝           807÷97＝           2360÷20＝       验算：【答案】11……27；8……31；118，验算见详解；【分析】除数是两位数的除法，先看被除数的前两位，前两位数不够除，看被除数的前三位数，除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商，求出每一位商，余下的数必须比除数小，依此计算。最后一题要验算，验算方法是：被除数＝商×除数。【详解】423÷36＝11……27                 807÷97＝8……31                                        2360÷20＝118        验算：【对应练习2】用竖式计算。（带“☆”得要验算）906÷16＝     ☆265÷65＝      420÷54＝      ☆2800÷180＝【答案】56……10；4……5；7……42；15……100【分析】整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数。有余数除法的验算方法是：商×除数＋余数＝被除数。【详解】906÷16＝56……10     ☆265÷65＝4……5      验算：420÷54＝7……42      ☆2800÷180＝15……100      验算：【对应练习3】计算下面各题。（带★的要验算）485÷53＝           ★365÷38＝         659÷72＝         807÷89＝400÷64＝            269÷35＝          96÷18＝         ★320÷37＝【答案】；；；；；；；【分析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位，看够不够除，如果够除商就算在第二位，从左向右的第二位，如果不够除，就要看第三位，那么商就定在第三位，每次除得的余数必须比除数小。【详解】                          验算：                                                                                                   验算：【考点三】试商。【方法点拨】在计算除数是两位数的除法时，一般按照“四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数来试商，其中用“四舍”法把除数看作整十数来试商，商容易偏大；用“五入”法把除数看作整十数来试商，商容易偏小。【典型例题】计算239÷78时，把78看做（    ）来试商，商是（    ），会偏（    ），所以要把商调整为（     ）。解析：80；2；小；3【对应练习1】 计算547÷63时，把63看作（ ）来试商，商是（ ），会偏（ ），所以要把商调整为（ ）。解析：60；9；大；8【对应练习2】计算814÷19时，把19看作（ ）来试商，商是（ ），会偏（ ），所以要把商调整为（ ）。解析：20；40；小；41；42【对应练习3】637÷78，笔算时，把除数看作( )试商，商是( )，会偏（ ），所以要把商调整为（ ）。解析：80；7；小；8【考点四】估算。【方法点拨】一般把被除数看作与它接近的整百数或几百几十数，把除数看作与它接近的整十数进行口算。【典型例题】估算。250÷48≈      184÷60≈       364÷60≈       445÷90≈       802÷79≈354÷50≈      480÷56≈       320÷39≈       360÷57≈       98÷20≈【答案】5；3；6；5；107；8；8；6；5【详解】略【对应练习1】估算。123÷40≈     120÷39≈     250÷47≈     401÷80≈240÷32≈      480÷79≈     283÷39≈     542÷59≈【答案】3；3；5；5；8；6；7；9【详解】略【对应练习2】估算。 283÷70≈         350÷48≈          540÷62≈718÷90≈        320÷37≈          237÷40≈【答案】4；7；98；8；6【详解】略【对应练习3】估算。632÷90≈    240÷37≈    184÷20≈   82÷20≈     93÷30≈     60÷22≈【答案】7；6；94；3；3【详解】把被除数或除数看成最接近的整十数，再用整十数除的方法口算．【考点五】商的位数。【方法点拨】分析已知条件，列出乘法算式。【典型例题1】□38÷53，要使商是一位数，□可以填几？□38÷53，要使商是两位数，□可以填几？解析：1，2，3，4；5，6，7，8，9【典型例题2】如果“□46÷47”的商是一位数，□里的数最大是( )；如果商是两位数，□里的数最小是( )；如果商是20，□里填的数是( )。【答案】 4 5 9【分析】“□46÷47”的商是一位数，被除数前两位组成的数□4小于47；如果商是两位数，被除数前两位组成的数□4大于或等于47，如果商是20，用商乘除数，再与被除数比较即可，据此解答。【详解】如果“□46÷47”的商是一位数，□4＜47，那么，□里面可以填1，2，3，4，最大填4；如果商是两位数，□4＞47，□里面可以填5，6，7，8，9，最小填5；47×20＝940，所以，□里填的数是9；综上可知：如果“□46÷47”的商是一位数，□里的数最大是4；如果商是两位数，□里的数最小是5；如果商是20，□里填的数是9。【点睛】三位数除以两位数，被除数百位和十位组成的数字和除数比较大小，组成的数字比除数大或相等，商就是两位数，比除数小，商就是一位数。【对应练习1】□25÷25，如果商是一位数，□里最大填( )；如果商是两位数，□里最小填( )。【答案】 2 3【分析】三位数除以两位数，被除数百位和十位组成的数字和除数比较大小，组成的数字比除数大或相等，商就是两位数，比除数小，商就是一位数。【详解】□25÷25，如果商是一位数，则□2＜25，所以□里可以填1、2，最大填2；如果商是两位数，则□2＞25，所以□里可以填3、4、5、6、7、8、9，最小填3。【点睛】熟练掌握判断商是几位数（除数是两位数）的方法是解答本题的关键。【对应练习2】按要求填数。(1)□26÷52的商是一位数，则□里最大填( )。(2)□87÷76的商是两位数，则□里最小填( )。【答案】(1)4(2)7【分析】三位数除以两位数，要使商的位数是两位数，则被除数前两位数要大于或等于除数，如果被除数前两位数小于除数，则商是一位数。据此解答。【详解】（1）□26÷52的商是一位数，则被除数前两位上的数要小于除数，□里的数要小于5，则□里最大填4。（2）□87÷76的商是两位数，则被除数前两位上的数要大于或等于除数，□里的数要大于等于7，则□里最小填7。【点睛】本题主要考查三位数除以两位数商位数的判断方法，属于基础知识，要熟练掌握。【对应练习3】要使□47÷55的商是两位数，□里最小填( )；6□2÷65的商是一位数，□里可以填( )。【答案】 6 0、1、2、3、4【分析】①要使□47÷55的商是两位数，则□4≥55，□的数只要大于或等于6即可，方框里能填的数是：6、7、8、9；填最小的数即可；②要使6□2÷65的商是一位数，则6□＜65，□的数只要小于5即可，方框里能填的数是：0、1、2、3、4；据此解答。【详解】根据分析：要使□47÷55的商是两位数，□里最小填6；6□2÷65的商是一位数，□里可以填0、1、2、3、4。【点睛】本题考查的是三位数除以两位数的计算。【考点六】除法算式大小比较。【方法点拨】被除数÷除数＝商，当除数相同时，被除数大的商就大；当被除数相同时，除数小的商就大；有乘除法的计算中，从左往右依次计算即可。【典型例题】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。363÷24( )452÷24             424÷36( )424÷244500÷60( )450÷60                   72÷8×9( )72÷9×8解析：＜；＜；＞；＞【对应练习1】在括号里填上“＞”“＜”“＝” 200÷25( )200÷23                 510毫升( )5升 503÷15( )513÷15                 1080÷4÷9( )1080÷36解析：＜；＜；＜；＝【对应练习2】在括号里填上“＞”“＜ ”或“ ＝ ”。5600毫升( )6升      900毫升( )9升     7升( )705毫升150÷30( )15÷3      729÷60( )20       13升( )1300升解析：＜；＜；＞；＝；＜；＜【对应练习3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。6升( )600毫升     990毫升( )1升      5升( )5050毫升620÷30( )620÷36     630÷60( )540÷60     360÷12( )360÷3÷4解析：＞；＜；＜；＞；＞；＝【考点七】最大值问题。【方法点拨】找最大值问题，还是需要尝试使用除法估算的方法解决。【典型例题】下面的括号里，最大能填几？50×( )＜251        500＞( )×70        411＞60×( )【答案】 5 7 6【分析】先把大于号或小于号看成等号，再根据算式中各部分的关系求出未知项,如果有余数，运算的商就是可以填的最大的数。【详解】（1）251÷50＝5……1，括号里最大填5；（2）500÷70＝7……10，括号里最大填7；（3）411÷60＝6……51，括号里最大填6。【点睛】本题考查除数是两位数的笔算除法，需要先准确计算出商和余数。【对应练习1】括号里最大能填几？( )×24＜100   53×( )＜302【答案】 4 5【分析】（1）用100除以24，如果有余数，运算的商就是可以填的最大的数，如果没有余数比商小1的数就是要填的数；（2）302除以53如果有余数，运算的商就是可以填的最大的数，如果没有余数比商小1的数就是要填的数，据此即可解题。【详解】由分析可知：（1）100÷24＝4……4所以4×24＜100（2）302÷53＝5……37所以53×5＜302【点睛】解题的关键是利用有余数的除法，用所比较的数除以已知的因数，如果有余数，所得的商就是要填的最大的数；没有余数，所得的商减去1，就是要填的最大的数。【对应练习2】在（    ）里填上最大的整数。( )    ( )    ( )【答案】 81 9 60【分析】由题目可知，要求最大能填几，用所比较的数除以已知的因数，如果有余数，所得的商就是要填的最大的数；没有余数，所得的商减去1，就是要填的最大的数；然后再进一步解答。【详解】5600÷69＝81……11，所以5600＞81×69；550÷60＝9……10，所以60×9＜550；3020÷50＝60……20，所以3020＞60×50。【点睛】本题解题的关键是先把大于号或者小于号看成等号，再根据算式中各部分的关系求出未知项，如果有余数，运算的商就是可以填的最大的数，同时注意验证。【对应练习3】括号里最大能填几？( )        ( )( )        ( )【答案】 8 3 6 7【分析】要求最大能填几，用所比较的数除以已知的因数，如果有余数，所得的商就是要填的最大的数；没有余数，所得的商减去1，就是要填的最大的数；然后再进一步解答。【详解】由分析可知：566÷70＝8……6               98÷30＝3……8263÷40＝6……23               670÷94＝7……12因此，括号里面最大填的分别是8、3、6和7。【点睛】本题主要考查的是除数是两位数的除法的计算，在求括号里面最大能填的数时，先把大于号或者小于号看成等号，再根据算式中各部分的关系求出未知项，如果有余数，运算的商就是可以填的最大的数，在计算过程中一定要细心认真，填上数后注意验证一下。【考点八】除法中的数量关系。【方法点拨】1.除法算式中的基础数量关系：被除数÷除数=商……余数； 被除数=商×除数＋余数(验算的方法)；除数＝（被除数－余数）÷商；商＝（被除数－余数）÷除数；余数＝被除数－除数×商。2.除数与余数的关系：除数必须大于余数。【典型例题1】1.如果4×50+6=206，那么206÷50=（      ）……（    ）。2.51除（    ）的商是6，余数是20。解析：（1）4；6；（2）326【对应练习1】在下面（ ）里填上合适的数。（ ）÷51=7……21154÷（ ）=25……4解析：378；6【对应练习2】一个数乘72，再除以24是39，这个数是多少？解析：13【对应练习3】根据270÷45＝6，写出两个相关的算式。 (　 　)÷(　　 )＝(　　　)　　　　 (　 　)×(　 　)＝(　　　)解析：270；6；45；45；6；270；【典型例题2】在算式○÷28=14......□中，当□最大是（ ），○是（ ）。解析：27；419【对应练习1】在□÷○=9……10算式中，○最小要填（ ），这时，□是（ ）解析：11；109【对应练习2】□□□÷75=5……（ ）， 余数最大是（ ），这时的被除数是（ ）。解析：74；449【对应练习3】在A÷15=14……B中，余数B最大可取（ ），这时被除数A是（ ）解析：14；224【考点九】商的变化规律。【方法点拨】1.在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。2.在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。【典型例题1】两个数的商是24，如果被除数不变，除数除以4，则商是( )。解析：96【典型例题2】两数相除，商是120，如果除数不变，被除数乘3，则商是( )。解析：360【对应练习1】3200÷40，如果除数不变，被除数扩大到原来的2倍，那么商（ ）。A.不变 B.扩大到原来的2倍 C.等于原来的商除以2解析：B【对应练习2】两数相除的商是20，被除数乘2，除数不变，商是( )；被除数不变，除数乘2，商是( )。解析：40；10【对应练习3】在a÷b＝50中，如果a乘4，b不变，那么商是( )；如果a不变，b乘5，那么商是( )。解析：200；10【考点十】商不变的规律（商不变性质）。【方法点拨】在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。【典型例题】判断。①210÷30=（210×15）÷（30×15） （ ）②48÷12=（48×3）÷（12×4） （ ） ③60÷12=（60 ÷3）÷（12×3） （ ）④63÷7=（63÷10）÷（7÷10） （ ）⑤被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。 （ ）⑥两数相除的商是20，被除数和除数同时乘2，商是40。（ ）⑦两个因数都乘10，积不变。 （ ）解析：正确；错误；错误；正确；错误；错误；错误【对应练习】 填空。1. 两个数相除，商是20，如果在被除数和除数的末尾都填上一个0，商是（      ）。2. 如果A÷B=C，那么（A×40）÷（B×40）=（     ） 。3. 根据368÷16=23直接写出下面各算式的商。3680÷160=（ ）736÷32=（ ）解析：1.20；2.C；3.23；23【考点十一】余数的变化规律。【方法点拨】在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。【典型例题】A÷B＝5……7，如果A扩大到原来的100倍，B也扩大到原来的100倍，它的商是( )，余数是( )。【答案】 5 700【分析】被除数和除数，同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数会跟着乘或除以相同的数，据此分析。【详解】7×100＝700，A÷B＝5……7，如果A扩大到原来的100倍，B也扩大到原来的100倍，它的商是5，余数是700。【点睛】关键是掌握并灵活运用商的变化规律，注意余数的变化。【对应练习1】计算一道整数除法算式，被除数和除数的末尾同时去掉1个0，算得的商和余数都是7，这道除法算式的商是( )，余数是( )。【答案】 7 70【分析】被除数和除数末尾都有0的算式计算时，被除数和除数的末尾同时去掉1个0，商不变，要在得到的余数末尾添上1个0，得到原来算式的余数。【详解】被除数和除数的末尾同时去掉1个0，算得的商和余数都是7，这道除法算式的商是7，余数是70。【点睛】本题考查被除数和除数末尾都有0的除法，关键是明确被除数和除数末尾同时去掉几个0，就要在余数末尾添上相同个数的0。【对应练习2】已知M÷N＝6……4，如果M、N都乘100，那么商是( )，余数是( )。【答案】 6 400【分析】被除数和除数同时乘（或除以）几（0除外），商不变，余数要同时乘（或除以）相同的数，据此即可解答。【详解】已知M÷N＝6……4，如果M、N都乘100，那么商是6，余数是400。【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答本题的关键。【对应练习3】两数相除，商是58，余数是6，如果被除数和除数同时扩大到原来的4倍，商是( )，余数是( )。【答案】 58 24【分析】被除数和除数同时扩大到原来的4倍，商不变，余数也随之扩大到原来的4倍。【详解】根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，仍为58；根据商不变的规律，余数也扩大到原来的4倍，为24。【点睛】本题考查商不变的规律以及余数的变化规律，学生需要灵活运用所学知识解答。【考点十二】错看问题。【方法点拨】错看问题，一般考虑将错就错，根据“商×除数＋余数＝被除数”先求出被除数，然后再根据“被除数÷除数＝商”，求出正确的商。【典型例题】小亮在计算除法时，把被除数358个位上的8错写成了0，结果得到商是7，那正确的结果是多少？【答案】商7；余8【分析】根据题意“把被除数358个位上的8错写成了0”可知把358写成了350，用被除数除以商等于除数，即350÷7＝50，然后用正确的被除数358除以50即可得出正确的商。【详解】除数：350÷7＝50358÷50＝7……8【点睛】解题关键是理解除数没发生变化，找出正确的除数。【对应练习1】王小虎在计算除法时，把除数37错写成了73，这样得到的商是11，余数是11，正确的商应该是多少？【答案】22【分析】根据被除数＝除数×商，求出正确的被除数。再用正确的被除数除以正确的除数，求出正确的商。【详解】73×11＋11＝803＋11＝814814÷37＝22答：正确的商应该是22。【点睛】本题考查整数除法中各部分之间的关系，常利用这个关系进行有余数除法的验算。【对应练习2】张小虎在做一道除法算式时，把除数23错写成24，得到的商是7，余数是16，正确的商应该是多少？【答案】8【分析】这里要运用逆向思维，将错就错，首先是把除数就当作是24，根据被除数＝除数×商＋余数，求出被除数是多少，再根据“被除数÷除数＝商”算出正确的商。【详解】被除数：24×7＋16＝168＋16＝184商：184÷23＝8答：正确的商是8。【点睛】本题主要考查了有余数除法算式中各部分的关系：被除数＝除数×商＋余数；先求出被除数，进而求出正确的商。【对应练习3】小马虎在计算有余数的除法时，把被除数115错写成151，商比原来多2，而余数恰好相同。这道题的除数和余数各是多少？【答案】除数是18，余数是7。【分析】因为商比原来多2，但余数恰好相同，所以用增加的被除数除以增加的商就可以求出除数，进而根据被除数÷除数＝商……余数，即可求出余数是多少。据此解答。【详解】151－115＝3636÷2＝18115÷18＝6……7答：这道题的除数是18，余数是7。【点睛】本题主要考查学生对有余数除法的掌握。解决此题的关键是能根据被除数变多的量和商变多的量，计算出除数。【考点十三】除法算式谜。【方法点拨】熟练掌握除法竖式计算法则，是解决除法算式谜的关键。【典型例题】把下面的竖式谜填写完整。【答案】见详解【分析】商的十位上数字与除数个位上数字7相乘，积的尾数是5，可推断商的十位上数字是5，同理可求出商的个位上数字是3；3与除数相乘积是二位数，所以除数的十位上数字只能是2或1，由于5与除数相乘积是一个三位数，所以除数十位上的数字只能是2，27乘5等于135，27乘3等于81，据此即可解答。【详解】【点睛】熟练掌握两数相乘积的尾数的特征是解答本题的关键。【对应练习1】在方框内填上合适的数字。【答案】       【分析】（1）首先根据除数与2的乘积进行推算，3□×2＝□4，说明除数的个位是2或者是7，再分别讨论，根据除数推算出其它的数值；（2）最后的余数是2，说明7与1□的乘积的个位是2，除数的个位只能是6，除数是16，由此推算出被除数，从而解决问题。【详解】（1）除数与商的十位2的乘积的个位是4，那么除数的个位有2种可能，2或者是7；①当除数是32时，被除数的十位数字可能是0～9，80－64＝16，89－64＝25，160－3＝157，259－3＝256，所以，商的个位数字与除数32相乘所得的积在157～256之间（含157和256），由于32×4＝128，32×5＝160，32×6＝192，32×7＝224，32×8＝256，32×9＝288，所以32×5，32×6，32×7，32×8均符合要求，那么商可以是25，26，27，28，对应的被除数可以是：32×25＋3＝803，32×26＋3＝835，32×27＋3＝867，32×28＋3＝899，所以，原式为：803÷32＝25……3，835÷32＝26……3，867÷32＝27……3，899÷32＝28……3，竖式可以是：②当除数是37时，这时算式变成：显然第一步商2之后余数是两位数，那么被除数的十位一定是大于或等于4，第一步得到的余数就是十几，9－4＝5，最大是15，余数和个位凑成的三位数就在103到156之间，37×3＝111，37×4＝148，符合要求，此时商是23或24，被除数分别是37×23＋3＝854，37×24＋3＝891，这时可得算式：（2）最后的余数是2，说明7与1□的乘积的个位是2，除数的个位只能是6，除数是16，被除数是16×7＋2＝114，竖式就是：【点睛】解决这类型的题目关键是找出突破口，推算出部分的数值，再然后根据题目的要求和乘法的计算方法进行讨论求值。【对应练习2】想一想，填一填。【答案】【详解】略【对应练习3】在□里填入合适的数字，使竖式成立。【答案】见详解【分析】第一题：首先分析9加上几能等于尾数为3的数，9＋4＝13，向十位进1；在分析8乘几等于六十几，根据口诀：8×8＝64；商数字8乘几能得尾数为4的数，3×8＝24；第二题：首先分析个位5减几等于3，5－2＝3，21大于□3，□3乘商尾数要是2，只有3×4＝12，假如商是4，4乘几等于二十几，4×5＝20，知道除数是53，计算即可。第三题：首先分析7加上几能等于尾数为1的数，7＋4＝11，向十位进1；在分析9乘几等于五十几，根据口诀：9×6＝54；商数字6乘几能得尾数为4的数，4×6＝24；【详解】673÷83＝8……9215÷53＝4……3571÷94＝6……7【点睛】本题主要考查竖式谜，关键根据所给数字找到突破口，解决问题。