北师大版八年级下册2 直角三角形课后练习题

这是一份北师大版八年级下册2 直角三角形课后练习题，共19页。试卷主要包含了下面图形能够验证勾股定理的有等内容，欢迎下载使用。
1．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）
A．10B．C．10或D．14
2．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝90°，则AB的长为（ ）
A．10B．13C．8D．12
3．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6B．36C．64D．8
4．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14B．13C．14D．14
6．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．
7．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
8．（2021秋•皇姑区期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5B．5、12、13C．4、5、6D．1、、
9．（2021秋•龙口市期末）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝9，b＝12，c＝15D．a：b：c＝1：1：2
10．（2021秋•滨江区校级期中）点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）分别写出点A，B，C的坐标．
（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由．
11.（2021秋•福田区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．
（1）连接AC，求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
12．（2021秋•八步区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是（ ）
A．AASB．SASC．HLD．SSS
13．（2022秋•齐河县校级月考）如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB＝OC，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
14．（2021秋•龙岩校级期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．
求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
15．（2021春•平远县期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
16．（2021春•威宁县校级期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
17．（2022春•榆次区期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时先假设每一个内角都大于60°，然后，…，这种证明方法是（ ）
A．综合法B．举反例法C．数学归纳法D．反证法
18．（2022春•府谷县期末）用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（ ）
A．∠B≥90°B．∠B＞90°
C．AB≠ACD．AB≠AC且∠B≥90°
19．（2022春•文登区期末）用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（ ）
A．假设三角形中至少有两个钝角
B．假设三角形中最多有两个钝角
C．假设三角形中最少有一个钝角
D．假设三角形中没有钝角
20．（2020春•渭南期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
专题1.3 直角三角形（专项训练）
1．（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）
A．10B．C．10或D．14
【答案】C
【解答】解：设第三边为x，
①当8是斜边，则62+x2＝82，
②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10，
解得x＝2 ．
∴第三边长为10或2．
故选：C．
2．（2021春•祁阳县期末）如图，∠C＝90°，AD＝13，BC＝3，CD＝4．若∠ABD＝90°，则AB的长为（ ）
A．10B．13C．8D．12
【答案】D
【解答】解：在Rt△BCD中，BC＝3，CD＝4，
根据勾股定理，得BD＝＝5．
在Rt△ABD中，AD＝13，BD＝5
根据勾股定理，得AD＝＝12．
故选：D．
3．（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6B．36C．64D．8
【答案】B
【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，
由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，
∴正方形A的面积为36，
故选：B．
4．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，
∴能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
5．（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14B．13C．14D．14
【答案】D
【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝＝14．
故选：D．
6．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．
【答案】79
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4×ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
7．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，
∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
8．（2021秋•皇姑区期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5B．5、12、13C．4、5、6D．1、、
【答案】C
【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122＝132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，故不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
9．（2021秋•龙口市期末）在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝9，b＝12，c＝15D．a：b：c＝1：1：2
【答案】C
【解答】解：A．因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能组成直角三角形，不合题意；
B．因为42+52≠62，所以不能组成直角三角形，不合题意；
C．因为92+122＝152，所以能组成直角三角形，符合题意；
D．因为12+12≠22，所以不能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
10．（2021秋•滨江区校级期中）点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）分别写出点A，B，C的坐标．
（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】（1）A（3，2），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣2） （2）△ABC是直角三角形
【解答】解：（1）A（3，2），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣2）；
（2）由勾股定理得：
AB＝，BC＝，，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
11.（2021秋•福田区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．
（1）连接AC，求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1） AC=5 （2）36
【解答】解：（1）连接AC，
在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴；
（2），
在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36，
答：四边形ABCD的面积为36．
12．（2021秋•八步区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是（ ）
A．AASB．SASC．HLD．SSS
【答案】C
【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故选：C．
13．（2022秋•齐河县校级月考）如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB＝OC，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DOB＝∠EOC，
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（AAS）；
∴OD＝OE，BD＝CE；
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；
∴AD＝AE，∠DAO＝∠EAO；
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS）．
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SSS）．
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
14．（2021秋•龙岩校级期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．
求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【解答】证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△BFD和Rt△ACD中
，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．
15．（2021春•平远县期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
16．（2021春•威宁县校级期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【解答】解：如图，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），
∴DC＝BA．
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）
17．（2022春•榆次区期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时先假设每一个内角都大于60°，然后，…，这种证明方法是（ ）
A．综合法B．举反例法C．数学归纳法D．反证法
【答案】D
【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．
故选：D．
18．（2022春•府谷县期末）用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（ ）
A．∠B≥90°B．∠B＞90°
C．AB≠ACD．AB≠AC且∠B≥90°
【答案】A
【解答】解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先假设∠B≥90°，
故选：A．
19．（2022春•文登区期末）用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（ ）
A．假设三角形中至少有两个钝角
B．假设三角形中最多有两个钝角
C．假设三角形中最少有一个钝角
D．假设三角形中没有钝角
【答案】A
【解答】解：用反证法证明：三角形中最多有一个钝角，第一步假设三角形中至少有两个钝角，
故选：A．
20．（2020春•渭南期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
【解答】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1＝∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．