北师大版八年级下册4 角平分线复习练习题

这是一份北师大版八年级下册4 角平分线复习练习题，共21页。
1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2. 探索并证明角的平分线的性质.
3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题.
【知识点梳理】
知识点1 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
知识点 2 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
【典例分析】
【考点1：角平分线的性质】
【典例1】（2022春•南海区校级月考）如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是（ ）
A．2B．3C．D．4
【变式1-1】（2021秋•江州区期末）已知BG是∠ABC的平分线，点D为BG上任意一点，且DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF＝3，则DE的长度是（ ）
A．3B．6C．8D．9
【变式1-2】（2021•宁德模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AC＝5，AD＝3，则点D到AB边的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-3】（2022•梧州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）
A．14B．8C．16D．6
【典例2】（2022•沈河区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
【变式2-1】（2022•凤翔县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式2-2】如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
【变式2-3】（2021秋•木兰县期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28B．14C．21D．7
【典例3】（2021秋•绵竹市期末）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
【变式3-1】（2021秋•云浮期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【变式3-2】（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
【变式3-3】（2021秋•绥棱县期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【典例4】（2021秋•巢湖市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【变式4-1】（2021春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
【变式4-2】（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【考点2：角平分线的判定】
【典例5】（2020秋•饶平县校级期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【变式5-1】（2021秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
【变式5-2】（2021秋•红桥区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
∵S△ADB=12AB·DF；S△ADC=12AC·DE；
∴S△ADBS△ADC = ABAC；
专题1.5 垂直平分线（知识解读）
【学习目标】
1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2. 探索并证明角的平分线的性质.
3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题.
【知识点梳理】
知识点1 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
知识点 2 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
【典例分析】
【考点1：角平分线的性质】
【典例1】（2022春•南海区校级月考）如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】A
【解答】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2．
故选：A．
【变式1-1】（2021秋•江州区期末）已知BG是∠ABC的平分线，点D为BG上任意一点，且DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DF＝3，则DE的长度是（ ）
A．3B．6C．8D．9
【答案】A
【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝3，
故选：A．
【变式1-2】（2021•宁德模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AC＝5，AD＝3，则点D到AB边的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝5，AD＝3，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴DE＝2，
故选：B．
【变式1-3】（2022•梧州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）
A．14B．8C．16D．6
【答案】B
【解答】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A＝90°，
∴AE＝DE，
∵△CDE的周长为12，CD＝4，
∴DE+EC＝8，
∴AC＝AE+EC＝8，
故选：B．
【典例2】（2022•沈河区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
【答案】C
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD＝3，
∴DF＝CD＝3，
∵点E为AB的中点，AB＝12，
∴BE＝6，
∴△DBE的面积＝BE•DF＝×6×3＝9，
故选：C．
【变式2-1】（2022•凤翔县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×8×3＝12，
故选：D．
【变式2-2】如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
【答案】C
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•木兰县期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（ ）
A．28B．14C．21D．7
【答案】A
【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，
∴OD＝OE＝OF＝2，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC
AB•OE+AC•OF+BBC•OD
＝（AB+AC+BC）•OD
＝×28×2＝28，
故选：A．
【典例3】（2021秋•绵竹市期末）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
【答案】D
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
【变式3-1】（2021秋•云浮期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【答案】B
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
【变式3-2】（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
【答案】C
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
故选：C．
【变式3-3】（2021秋•绥棱县期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
【答案】A
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【典例4】（2021秋•巢湖市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【答案】（1）略 （2）CF＝2．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
【变式4-1】（2021春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
【答案】略
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
【变式4-2】（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【答案】（1）略 （2）BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【考点2：角平分线的判定】
【典例5】（2020秋•饶平县校级期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【答案】略
【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
【变式5-1】（2021秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
【答案】略
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
【变式5-2】（2021秋•红桥区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
【答案】（1） 略（2）略
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
∵S△ADB=12AB·DF；S△ADC=12AC·DE；
∴S△ADBS△ADC = ABAC；