初中数学北师大版八年级下册1 图形的平移随堂练习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 图形的平移随堂练习题，共41页。试卷主要包含了5，求阴影部分的面积．，5秒或2，5秒，，4×3×40＝1008．等内容，欢迎下载使用。
【考点1：图形的平移】
1．（2022春•海沧区校级期末）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，则DB长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
2．（2022春•上蔡县期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四边形ABFD的周长为20cm，则三角形ABC的周长是（ ）
A．14cmB．17cmC．1lcmD．8cm
3．（2022春•孝南区期末）如图，把△ABC沿AC方向平移得到△FDE，AF＝8，EC＝2，则平移的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2021秋•任城区校级期末）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得三角形A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
5．（2021春•丛台区校级期中）下列选项中的图形，周长最长的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021春•方城县期末）如图所示，将直角三角形ABC（∠C＝90°）沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG＝4，CF＝6，AC＝10，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．60B．50C．40D．30
7．（2021春•厦门期末）如图，将三角形ABC平移得到三角形DEF，点A的对应点是点D，则线段BC的对应线段是（ ）
A．EFB．DEC．BED．CF
8．（2022秋•东平县校级期末）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为（ ）
A．4B．0C．3D．﹣5
9．（2022秋•莱州市期末）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
10．（2021秋•芝罘区期末）如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，连接AC'交A'C于D，则△C'DC的面积为
11．（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形ABO的周长为100，在其内部的n个小直角三角形周长之和为 ．
12．（2022春•前郭县月考）如图，已知三角形ABC的面积为12，将三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，D是A′C的中点，则三角形C′DC的面积为 ．
（2021春•龙湖区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积
为 cm2．
14．（2021春•澧县校级期末）大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，现把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，同时大正方形以1厘米/秒的速度向左沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．当S＝2时，平移的时间为 秒．
15．（2020春•丛台区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积 ．
16．（2020春•大石桥市期末）如图所示，在长为50m，宽为25m的草坪上修了一条恒为1m宽的弯曲小路，则余下草坪的面积为 m2．
17．（2020春•邗江区期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米．
18．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板DCE，∠DCE＝90°，将三角板ECD沿直线l向左平移到图中的三角板E'C'D'位置，P为EC与E'D'的交点．
（1）求证：∠CPD'＝∠E；
（2）E'C'＝8，C'C＝2，EP＝1.5，求阴影部分的面积．
19．（2022春•海南期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠E＝55°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．
（1）求∠A的度数；
（2）若AE＝8cm，DB＝2cm，请求出AD的长度．
20．（2021秋•萨尔图区校级期末）某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？
21．（2022春•弥勒市校级月考）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，CW＝6cm，求阴影部分面积．
22．（2020春•瀍河区月考）如图所示，一块长为18m，宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，求这块草地的绿地面积．
23．（2021秋•抚州期末）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度数；若不存在，请说明理由．
【考点2：图形的旋转】
24．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
25．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
26.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是 ．
27．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝ ．
28．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
29．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
30．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．
31．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
32．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．
33．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，
（1）求点P与P'之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
34．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形．
（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．
35．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
36．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
37．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
38．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
培优特训
专项3.1 图形的平移旋转综合运用高分必刷
【考点1：图形的平移】
1．（2022春•海沧区校级期末）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，则DB长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
【答案】B
【解答】解：∵AB＝DE，
∴AD＝BE＝4，
∵AE＝13，
∴BD＝13﹣4﹣4＝5，
故选：B．
2．（2022春•上蔡县期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四边形ABFD的周长为20cm，则三角形ABC的周长是（ ）
A．14cmB．17cmC．1lcmD．8cm
【答案】A
【解答】解：由平移的性质可知，AC＝DF，BC＝EF，AD＝CF＝BE＝3cm，
∵四边形ABFD的周长为20cm，即AB+BC+CF+DF+AD＝20cm，
∴AB+BC+AC+CF+AD＝20cm，
∴AB+BC+AC＝20﹣3﹣3＝14（cm），
即三角形ABC的周长是14cm，
故选：A．
3．（2022春•孝南区期末）如图，把△ABC沿AC方向平移得到△FDE，AF＝8，EC＝2，则平移的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：由平移变换的性质可知，AE＝CF＝（AF﹣EC）＝×（8﹣2）＝3，
故选：A．
4．（2021秋•任城区校级期末）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得三角形A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
【答案】A
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），
∵AA′＝BB′＝5cm，
∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），
∴阴影部分的周长＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．
故选：A．
5．（2021春•丛台区校级期中）下列选项中的图形，周长最长的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：选项B，C，D中的周长都是12cm，选项A的周长大于12cm，
故选：A．
6．（2021春•方城县期末）如图所示，将直角三角形ABC（∠C＝90°）沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG＝4，CF＝6，AC＝10，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．60B．50C．40D．30
【答案】A
【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，CF＝6，
∴AD∥BE，AD＝BE＝6，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝6×10＝60．
故选：A．
7．（2021春•厦门期末）如图，将三角形ABC平移得到三角形DEF，点A的对应点是点D，则线段BC的对应线段是（ ）
A．EFB．DEC．BED．CF
【答案】A
【解答】解：由平移的性质可知，BC的对应线段是EF，
故选：A．
8．（2022秋•东平县校级期末）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为（ ）
A．4B．0C．3D．﹣5
【答案】A
【解答】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，
∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2，
∴a+b＝4，
故选：A．
9．（2022秋•莱州市期末）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
【答案】9
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，
∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝3+4+2＝9cm，
故答案为：9．
10．（2021秋•芝罘区期末）如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，连接AC'交A'C于D，则△C'DC的面积为
【答案】6
【解答】解：根据题意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，
∴CD∥AB，CD＝AB（三角形的中位线），
∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，
∴△C′DC的面积＝△ABC的面积＝×12＝6．
故答案为：6．
11．（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形ABO的周长为100，在其内部的n个小直角三角形周长之和为 ．
【答案】100
【解答】解：由平移的性质可得，n个小直角三角形较长的直角边平移后等于AO边，较短的直角边平移后等于BO边，斜边之和等于AB边长，
∴n个小直角三角形的周长之和＝Rt△AOB的周长，
∵直角三角形AOB的周长为100，
∴这n个小直角三角形的周长之和＝100．
故答案为：100．
12．（2022春•前郭县月考）如图，已知三角形ABC的面积为12，将三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，D是A′C的中点，则三角形C′DC的面积为 ．
【答案】6
【解答】解：根据题意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，
∴CD∥AB，CD＝AB（三角形的中位线），
∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，
∴△C′DC的面积＝△ABC的面积＝×12＝6．
故答案为：6．
（2021春•龙湖区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积
为 cm2．
【答案】6
【解答】解：由题意，阴影部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝2×3＝6（cm2），
故答案为6．
14．（2021春•澧县校级期末）大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，现把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，同时大正方形以1厘米/秒的速度向左沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．当S＝2时，平移的时间为 秒．
【答案】0.5秒或2.5．
【解答】解：当S＝2时，重叠部分长方形的宽＝2÷2＝1cm，
重叠部分在大正方形的左边时，t＝1÷2＝0.5秒，
重叠部分在大正方形的右边时，t＝（4+2﹣1）÷2＝2.5秒，
综上所述，小正方形平移的时间为0.5或2.5秒；
故答案为：0.5秒或2.5．
15．（2020春•丛台区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积 ．
【答案】8cm2
【解答】解：由平移可得，DF＝AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又由平移的方向可得，∠ABD＝90°，
∴四边形ABDF是矩形；
由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝2cm，
∴S△ABC＝S△FDE，
∴阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝AB•BD＝4×2＝8cm2．
故答案为：8cm2．
16．（2020春•大石桥市期末）如图所示，在长为50m，宽为25m的草坪上修了一条恒为1m宽的弯曲小路，则余下草坪的面积为 m2．
【答案】1200
【解答】解：∵把宽度为1m的弯曲小路分割成若干个四边形，这些四边形等于一个宽度为1m的矩形，如图矩形ABCD，
∴小路为宽恒为1m的弯曲小路，
∴面积为50×1＝50（m2），
∴余下草坪的面积为50×25﹣50＝1200（m2），
故答案为：1200．
17．（2020春•邗江区期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米．
【答案】108
【解答】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×2，
∴图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为50+（30﹣1）×2＝108米，
故答案为：108．
18．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板DCE，∠DCE＝90°，将三角板ECD沿直线l向左平移到图中的三角板E'C'D'位置，P为EC与E'D'的交点．
（1）求证：∠CPD'＝∠E；
（2）E'C'＝8，C'C＝2，EP＝1.5，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：由平移的性质得CE∥C′E′，CC＝′EE′＝DD′，
∴四边形CC′E′E是平行四边形，
∴EE′∥CC′，
∴DD′∥EE′
∴四边形DD′E′E是平行四边形，
∴DE∥DD′，
∴∠CPD'＝∠E；
（2）解：∵将三角板ECD沿直线l向左平移到图中的三角板E'C'D'位置，
∴CE＝C′E′＝8，
∵EP＝1.5，
∴CP＝6.5，
∴阴影部分的面积＝S四边形C′E′PC＝（6.5+8）×2＝14.5．
19．（2022春•海南期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠E＝55°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．
（1）求∠A的度数；
（2）若AE＝8cm，DB＝2cm，请求出AD的长度．
【解答】解：（1）∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E＝55°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣55°＝35°；
（2）由平移得，AD＝BE＝CF，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝×（8﹣2）＝3（cm）．
20．（2021秋•萨尔图区校级期末）某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？
【解答】解：地毯的长度至少为：2.6+5.8＝8.4米；
8.4×3×40＝1008（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要8.4米，花费至少1008元．
21．（2022春•弥勒市校级月考）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，CW＝6cm，求阴影部分面积．
【解答】解：由平移的性质，梯形ABCD的面积＝梯形EFGH的面积，CD＝HG＝24cm，
∴阴影部分的面积＝梯形DWGH的面积，
∵CW＝6cm，
∴DW＝CD﹣CW＝24﹣6＝18cm，
∴阴影部分的面积＝（DW+HG）•WG＝（18+24）×8＝168cm2．
答：阴影部分面积是168cm2．
22．（2020春•瀍河区月考）如图所示，一块长为18m，宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，求这块草地的绿地面积．
【解答】解：绿地的面积为：（18﹣2）×（12﹣2）＝160（m2），
答：这块草地的绿地面积是160m2．
23．（2021秋•抚州期末）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）AD∥BC．
证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C
∴∠ADC+∠C＝180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°；
（3）存在．
解：设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠ADB＝80°﹣x°．
若∠BEC＝∠ADB，
则x°+40°＝80°﹣x°，
得x°＝20°．
∴∠BEC＝∠ADB＝60°．
【考点2：图形的旋转】
24．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
【答案】16
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD＝AB＝4，
∴S△A1BA＝×8×4＝16，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝16，
故答案为：16．
25．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
【答案】2+2
【解答】解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠BCA＝∠BAC＝45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC＝CE＝AE＝4
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°
∴∠AFB＝∠AFE＝90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2
∴BE＝BF+FE＝2+2
故答案为2+2
26.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是 ．
【答案】（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）
【解答】解：①当OA＝AP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴此时A（2，0），
∵∠APB＝90°，
∴B（0，2）；
②当AP＝OP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴∠POA＝∠PAO＝45°，
∴∠P＝90°，
∴此时B与O重合，即B（0，0）；
③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：
∵∠APB＝90°，
∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，
∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，
∴△PNB≌△PMA（ASA），
∴BN＝AM＝2﹣2，
∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
∴B（0，4﹣2），
综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．
27．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝ ．
【答案】30°
【解答】解：如图，由对顶角相等得，∠2＝∠1＝120°，
在四边形中，∠BAD′＝360°﹣90°×2﹣∠2＝360°﹣180°﹣120°＝60°，
所以，∠DAD′＝90°﹣60°＝30°，
即旋转角∠α＝∠DAD′＝30°．
故答案为：30°．
28．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
【答案】150°
【解答】解：连接PP′，
由旋转可知，△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
29．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
【答案】2
【解答】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，
在△PDC中，PC＝2，PD＝2，CD＝4，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝150°，
∴∠BPH＝30°，
在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，PB＝2，
∴BH＝PB＝，PH＝BH＝3，
∴CH＝PC+PH＝2+3＝5，
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝（）2+52＝28，
∴BC＝2，
故答案为：2
30．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．
【答案】2021+673
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，BC＝，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2＝2+；
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…
∵2020÷3＝673…1
∴AP2020＝673（3+）+2＝2021+673，
故答案为：2021+673
31．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝90°，
即△AOD是直角三角形；
（2）解：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，
由（1）知：△ADC≌△BOC，
∴∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠ADO＝α﹣60°，
△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；
（3）解：分三种情况：
①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，
∴α﹣60°＝50°，
∴α＝110°；
③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣α＝50°，
∴α＝140°，
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
32．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN；
（2）①解：∵△AMN为等边三角形，
∴∠AMN＝∠NAM＝∠AMN＝60°，
∵△BAM≌△CAN，
∴∠AMB＝∠MNA＝60°，
∴∠BMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝60°；
②证明：∵点M是CN的中点，
∴MN＝CM，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝CM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CB，
∴MB是AC的垂直平分线，
∴BM⊥AC．
33．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，
（1）求点P与P'之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
【解答】解：（1）由题意可知BP′＝PC＝5，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，
而∠PAC+∠BAP＝60°，
所以∠PAP′＝60度．
故△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝3；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，
所以△BPP′为直角三角形，
且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
34．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形．
（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．
【解答】（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴△ADC≌△BEC，
∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠ABC＝60°
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：①当∠BCD＝90°时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝8cm，
∵OB＝OA+AB＝6+4＝10cm，
∴OD＝OB﹣BD＝10﹣8＝2cm，
∴t＝2s．
②当∠CDB＝90°时，AD＝DB＝2cm，
∴OD＝OA+AD＝8cm，
∴t＝8s．
综上所述：当t＝2s或8s时，△BDC是直角三角形．
35．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
36．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC旋转后AB与BE重合，∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣30°＝150°，
∴三角尺旋转了150°．
（2）∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，△CBD是等腰三角形．
（3）∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝180﹣30°＝150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC＝＝＝15°．
故答案为：150；等腰；15．
37．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
38．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，
故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2；
即：BD2+CE2＝DE2．
（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2，
∴CE2＝BD2+DE2．