苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题39根式的性质应用培优(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题39根式的性质应用培优(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了化简二次根式 的结果是等内容，欢迎下载使用。

1．化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
2．设为正整数，，，，，…，….，已知，则( ).
A．1806B．2005C．3612D．4011
3．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
4．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5B．4C．3D．2
5．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是( )
A．3B．C．2D．
6．把根号外的因式移入根号内，得________
7．已知，则的值是_____________．
8．设，求不超过的最大整数______．
9．已知，则2x﹣18y2＝_____．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE＋EF＋FM的最小值是_____；若∠EFD＝45°，则DE＋EF＋FM的最小值为____
11．设，其中n为正整数，则____．
12．在等腰三角形ABC中，，，E为BC上一点，，，交BC于点E，点F为直线DE上一点，则的最小值为______．

13．实数a、b满足，则的最大值为_________．
14．如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
15．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
16．已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，运用上述结论解决问题：
(1)当a，b满足 时，a2+b2＝2ab成立；
(2)若x为正数， ，当x＝ 时，取得最小值；
(3)若x为正数，的最小值为 ；
(4)若x＞3，则最小值为 ．
17．已知满足．
（1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
18．阅读材料，完成下列问题：
对于由n个实数构成的数组A＝(a1，a2，a3，…，an)，以及任意给定的正整数s，我们定义：∥A∥s，例如：A＝(1，﹣2)，∥A∥2．
(1)求A＝(1，2，3，…，2022)时，∥A∥1＝_________；
(2)若A＝(x，y，z，w)，∥A∥2022＝612，B，求∥B∥2022；
(3)若A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)，C＝(x1+x2，y1+y2)，试比较∥A∥2+∥B∥2与∥C∥2的大小关系．
专题39 根式的性质应用培优
1．化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
2．设为正整数，，，，，…，….，已知，则( ).
A．1806B．2005C．3612D．4011
【答案】A
【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A1，A2，A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解.
【详解】∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，
∴A1=
∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，
∴A2=
∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，
∴A3=
⋯⋯
依此类推，Ak=n+(2k-1)
∴A100=n+(2×100-1)=2005
解得，n=1806.
故选A.
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1，A2，A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.
3．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则






设 则


而当时，则

∴的最小值是8，
∴的最小值是
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．
4．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】解：解不等式得x＞m，
解不等式得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
5．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是( )
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．
【详解】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式=．
故选B．
【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
6．把根号外的因式移入根号内，得________
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．
7．已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
8．设，求不超过的最大整数______．
【答案】
【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．
【详解】解：




，
，
不超过的最大整数．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．
9．已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE＋EF＋FM的最小值是_____；若∠EFD＝45°，则DE＋EF＋FM的最小值为____
【答案】 ##
【分析】（1）作点D的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'，D'E，FM'，则所求的最小值即为D’M'，利用勾股定理求解即可；
（2）过点E作EP⊥CD于P，根据∠EFD=45°，可得，从而得到要求DE+FM+FM的最小值，即求DE+FM的最小值，然后过点E作EM'=FM，且， DE+FM=DE+EM'，可得当D，E，M'三点共线时，DE+E M'最小，此时，再过点M'作M'G⊥CD于点G，交AB于点H，可证得△HEM'≌△CFM，从而得到HM'=CM=1，EH=CF，然后设CF=x，则EH=PG=x，可得PD=6-x-2=4-x，从而得到DG=PD+PG=4，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）作点D的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'，D'E，FM'，则DE+EF+FM=D'E+EF+FM'，
∴当D'，E，F，M'在同一条直线上时，所求的DE+EF+FM最小，最小值即为D'M'的长，
过点M'作AD的垂线，交AD的延长线于点H，
在矩形ABCD中，，AD⊥AB，AD⊥CD，
∴HM'=AB=6，CM'=DH，
∵M为BC的中点，AD=BC=2，
∴MC=CM'=DH=1，AD'=AD=2，
∴HD'=5，
∴；
故答案为：
（2）过点E作EP⊥CD于P，
∵∠EFD=45°，
∴EP=PF=BC=2，
∴，
∴，
∴要求DE+FM+FM的最小值，即求DE+FM的最小值．
过点E作EM'=FM，且， DE+FM=DE+EM'，
∴当D，E，M'三点共线时，DE+E M'最小，此时，
过点M'作M'G⊥CD于点G，交AB于点H，
∴∠EDP=∠MFC，∠EH M'=∠C=90°，
∵，
∴∠HE M'=∠EDP=∠MFC，PG=EH，HG=2，
∴△HEM'≌△CFM，
∴HM'=CM=1，EH=CF，
∴M'G=3，CF=EH，
设CF=x，则EH=PG=x，
∵PF=2，CD=6，
∴PD=6-x-2=4-x，
∴DG=PD+PG=4，
∴，
∴DE＋EF＋FM的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称一最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键．
11．设，其中n为正整数，则____．
【答案】
【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论．
【详解】∵n为正整数，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和．
12．在等腰三角形ABC中，，，E为BC上一点，，，交BC于点E，点F为直线DE上一点，则的最小值为______．

【答案】
【分析】延长DE至G，使得BG⊥AB于点B，延长BG至点B′，使得BG＝B'G，当点A、F、B'三点共线时，由两点之间线段最短可知，FA+FB＝AB'最短．由△ABC为等腰三角形、∠ABC＝∠C＝30°，可推出BC＝cm，从而知BE＝cm．连接B'E，可证△EBB'为等边三角形，BB'＝BE＝cm，在Rt△ABB'中用勾股定理计算AB'即可．
【详解】解：延长DE至G，使得BG⊥AB于点B，延长BG至点B′，使得BG＝B'G，如图所示．
∵，
∴DG⊥BB'．
即点B与点B'关于直线DG对称，则FB＝FB'．
∴FA+FB＝FA+FB'，
即当点A、F、B'三点共线时，由两点之间线段最短可知，FA+FB最短，
且最小值为AB'．
∵AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°．
∴∠ABC＝∠C＝30°．
过于 则

∴BC＝cm．
又∵BE：BC＝1：4，
∴BE＝cm．
连接B'E，则∠EBB'＝∠ABB'﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
又∵EB＝EB'，
∴△EBB'为等边三角形．
BB'＝BE＝cm．
在Rt△ABB'中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段最值，平行线的性质，等腰三角形、等边三角形判定与性质，直角三角形性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，正确作出辅助线是解决线段最值问题的关键．
13．实数a、b满足，则的最大值为_________．
【答案】52．
【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出的最大值．
【详解】解：∵，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴的最大值为，
故答案为52．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
14．如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；
(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
①的最小值______；
②的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)①；②
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值；
（3）①根据题意可知的最小值，计算即可；
②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所作：
；
（2）过点作，交与点,
则，，
，
设为，则，
则，
即，
解得，
，当时，最小值为，
故答案为：；；
（3）①的最小值，
故答案为：；
②
的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键．
15．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075
【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）；
（3）①原式
；
②原式
．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键
16．已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，运用上述结论解决问题：
(1)当a，b满足 时，a2+b2＝2ab成立；
(2)若x为正数， ，当x＝ 时，取得最小值；
(3)若x为正数，的最小值为 ；
(4)若x＞3，则最小值为 ．
【答案】(1)a＝b
(2)2，1
(3)
(4)2
【分析】先根据所给结论，把已知式子转化为类似的形式，再套用结论作答．
（1）解：由a2+b2＝2ab，得（a﹣b）2＝0，∴a＝b．故答案为：a＝b．
（2），当且仅当x＝1时，取得最小值成立．故答案为：2，1．
（3）由a2+b2≥2ab，可知当x、y为正数时，x+y=．∴若x为正数，则．故答案为：．
（4）原式＝（x﹣3）+．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查不等式的应用，根据所给结论，把已知式子转化为类似的形式，再套用结论作答是解题的关键．
17．已知满足．
（1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
【答案】（1）；；（2）2020
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.
（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，
∴；
∴，
∴；
故答案为：；；
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
18．阅读材料，完成下列问题：
对于由n个实数构成的数组A＝(a1，a2，a3，…，an)，以及任意给定的正整数s，我们定义：∥A∥s，例如：A＝(1，﹣2)，∥A∥2．
(1)求A＝(1，2，3，…，2022)时，∥A∥1＝_________；
(2)若A＝(x，y，z，w)，∥A∥2022＝612，B，求∥B∥2022；
(3)若A＝(x1，y1)，B＝(x2，y2)，C＝(x1+x2，y1+y2)，试比较∥A∥2+∥B∥2与∥C∥2的大小关系．
【答案】(1)2045253
(2)1
(3)
【分析】（1）根据题目所给的定义求解即可；
（2）由题意可得，则，由此求解即可；
（3）先求出，，，然后求出，，然后利用作差法比较大小即可．
(1)
解：由题意得：
，
故答案为：2045253；
(2)
解：∵，
∴
；
(3)
解：∵，，，
∴，
∴，，
∴
令，
，，
∴
，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，分数指数幂，二次根式的运算和完全平方公式，正确理解题意是解题的关键．