北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题2.5一元一次不等式组的实际应用(知识解读)(原卷版+解析)

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专题2.5 一元一次不等式组的实际应用（知识解读） 【学习目标】1.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题2.熟能能够用一元一次不等式组解决实际问题【知识点梳理】知识点1:盈不足与行程问题盈不足问题行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间知识点2：经济与方案问题一．经济问题：常见等量关系：利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率）二．方案问题【典例分析】【考点1：盈不足问题】【典例1】（2022春•江夏区校级月考）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　）A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4【变式1-1】（2020春•集贤县期末）八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（　　）A． B． C． D．【变式1-2】（2022春•香坊区期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，共有（　　）名同学．A．5 B．6 C．7 D．8【变式1-3】（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为　 　．【考点2：行程问题】【典例2】（2021春•市南区校级期中）甲、乙两地相距45km，小李要从甲地到乙地办事，若他以7km/h的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【变式2-1】（2019春•铜山区期末）小明舅舅是某工地爆破员，他想考一下小明，他说：工地爆破时导火线的燃烧速度是0.8cm/s，点燃导火线的人要在爆破时跑到200米以外的安全区域．如果引爆人跑的速度是5米/秒，那么导火线长度应大于多少cm？【变式2-2】（2020•宜昌）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围．【考点3：经济问题】【典例3】（2022春•城阳区期中）某商场新进单价为120元的护眼灯，标价为每个180元，疫情期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可以打（　　）折．A．7 B．7.5 C．8.8 D．8【变式3】（2022•牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（　　）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【考点4：方案问题】【典例4】（2021秋•青冈县期末）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表：若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求a，b的值；（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．【变式4-1】（2022秋•长沙期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？【变式4-2】（2022春•乐安县期中）某公司经营甲、乙两种机床，每台甲机床进价12万元，售价14.5万元；每台乙机床进价8万元，售价10万元，并且它们的进价和售价始终不变．（1）现准备购进甲、乙两种机床共20台，所用资金不低于188万元不高于196万元，该公司有哪几种进货方案？（2）在第（1）小题的条件下，该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？【变式4-3】某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，甲型货车每辆装载量是乙型货车的倍，若甲、乙两种型号货车各装载1500箱材料，甲型货车比乙型货车少用40辆．（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过110箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共60辆，且乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？A型型B价格（万元/台）ab年载客量（万人/年）60100专题2.5 一元一次不等式组的实际应用（知识解读） 【学习目标】1.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题2.熟能能够用一元一次不等式组解决实际问题【知识点梳理】知识点1:盈不足与行程问题盈不足问题行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间知识点2：经济与方案问题一．经济问题：常见等量关系：利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率）二．方案问题【典例分析】【考点1：盈不足问题】【典例1】（2022春•江夏区校级月考）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　）A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4【答案】C【解答】解：设有x人，则书有（6x+10）本，由题意得：0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4，故选：C．【变式1-1】（2020春•集贤县期末）八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：设同学人数x人，则树有（4x+9）棵，由题意得：，故选：C．【变式1-2】（2022春•香坊区期末）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，共有（　　）名同学．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解答】解：设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本，由题意得：，解得：5＜x≤6.5，∵x为非负整数，∴x＝6．故选：B．【变式1-3】（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为　 　．【答案】【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，∴学生总人数为（4x+19）人，∵一间宿舍不空也不满，∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，∴列的不等式组为：，故答案为：．【考点2：行程问题】【典例2】（2021春•市南区校级期中）甲、乙两地相距45km，小李要从甲地到乙地办事，若他以7km/h的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【解答】解：设小李后来的速度为xkm/h，由题意得：4×7+（﹣4﹣0.5）x≥45，解得：x≥8，答：为了不迟到，小李后来的速度至少是8km/h．【变式2-1】（2019春•铜山区期末）小明舅舅是某工地爆破员，他想考一下小明，他说：工地爆破时导火线的燃烧速度是0.8cm/s，点燃导火线的人要在爆破时跑到200米以外的安全区域．如果引爆人跑的速度是5米/秒，那么导火线长度应大于多少cm？【解答】解：导火线长度应为xcm，依题意，得：5×＞200，解得：x＞32．答：导火线长度应大于32cm．【变式2-2】（2020•宜昌）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围．【解答】解：依题意，得：，解得：2.5≤t≤3．答：t的取值范围为2.5≤t≤3．【考点3：经济问题】【典例3】（2022春•城阳区期中）某商场新进单价为120元的护眼灯，标价为每个180元，疫情期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可以打（　　）折．A．7 B．7.5 C．8.8 D．8【答案】A【解答】解：设护眼灯打x折销售，依题意得：180×﹣120≥120×5%，解得：x≥7．即：最多可以打7折．故选：A．【变式3】（2022•牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（　　）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【解答】解：设打x折，由题意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，解得x≥7，即至多打7折，故选：A．【考点4：方案问题】【典例4】（2021秋•青冈县期末）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表：若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求a，b的值；（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．【解答】解：（1）依题意得：，解得：，答：a的值为100，b的值为150．（2）总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下：设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，依题意得：，解得：6≤m≤8．又∵m为整数，∴m可以为6，7，8．当m＝6时，10﹣m＝4，购买总费用为100×6+150×4＝1200（万元）；当m＝7时，10﹣m＝3，购买总费用为100×7+150×3＝1150（万元）；当m＝8时，10﹣m＝2，购买总费用为100×8+150×2＝1100（万元）．答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．【变式4-1】（2022秋•长沙期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据题意得：，解得，答：购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元；（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（80﹣m）棵，∵购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，∴，解得32≤m≤35，∵m是正整数，∴m可取32，33，34，35，∴有4种购买方案：①购买A种树苗32棵，购买B种树苗48棵，②购买A种树苗33棵，购买B种树苗47棵，③购买A种树苗34棵，购买B种树苗46棵，④购买A种树苗35棵，购买B种树苗45棵．【变式4-2】（2022春•乐安县期中）某公司经营甲、乙两种机床，每台甲机床进价12万元，售价14.5万元；每台乙机床进价8万元，售价10万元，并且它们的进价和售价始终不变．（1）现准备购进甲、乙两种机床共20台，所用资金不低于188万元不高于196万元，该公司有哪几种进货方案？（2）在第（1）小题的条件下，该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设购进甲种机床x台，则购进乙种机床（20﹣x）台，依题意得：，解得：7≤x≤9，又∵x为正整数，∴x可以为7，8，9，∴该公司共有3种进货方案，方案1：购进甲种机床7台，乙种机床13台；方案2：购进甲种机床8台，乙种机床12台；方案3：购进甲种机床9台，乙种机床11台．（2）采用方案1可获得的总利润为（14.5﹣12）×7+（10﹣8）×13＝43.5（万元）；采用方案2可获得的总利润为（14.5﹣12）×8+（10﹣8）×12＝44（万元）；采用方案3可获得的总利润为（14.5﹣12）×9+（10﹣8）×11＝44.5（万元）．∵43.5＜44＜44.5，∴该公司采用进货方案1可获得最大利润，最大利润是44.5万元．【变式4-3】某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，甲型货车每辆装载量是乙型货车的倍，若甲、乙两种型号货车各装载1500箱材料，甲型货车比乙型货车少用40辆．（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过110箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共60辆，且乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？【解答】解：（1）设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载箱材料，依题意得：﹣＝40，解得：x＝15，检验：把x＝15代入，∴x＝15是原方程的解，∴甲型号货车每辆可装载25箱材料，答：甲型号货车每辆可装载25箱材料，乙型号货车每辆可装载15箱材料．（2）设租用m辆甲型货车，则租用（60﹣m）辆乙型货车．依题意得：，解得：20≤m≤21．又∵m为正整数，∴m可以取20，21，∴该公司共有2种租车方案，方案1：租用20辆甲型号货车，40辆乙型号货车；方案2：租用21辆甲型号货车，39辆乙型号货车．A型型B价格（万元/台）ab年载客量（万人/年）60100