2020年湖北省荆门市中考数学试卷

这是一份2020年湖北省荆门市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）|﹣|的平方是（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
2．（3分）据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元．82.6亿用科学记数法可表示为（ ）
A．0.826×10l0B．8.26×109C．8.26×108D．82.6×108
3．（3分）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20B．30C．40D．50
4．（3分）下列等式中成立的是（ ）
A．（﹣3x2y）3＝﹣9x6y3
B．x2＝（）2﹣（）2
C．÷（+）＝2+
D．＝﹣
5．（3分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1B．2C．D．4
6．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（ ）
A．14°B．28°C．42°D．56°
8．（3分）为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116．这组数据的平均数和中位数分别为（ ）
A．95，99B．94，99C．94，90D．95，108
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，﹣4）D．（0，﹣4）
10．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
11．（3分）已知关于x的分式方程＝+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数B．负数C．零D．无法确定
12．（3分）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．3
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
13．（3分）计算：﹣tan45°+（﹣2020）0﹣（）﹣1＝ ．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 ．
15．（3分）如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点G，则k的值为 ．
17．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），其中x＝+1，y＝﹣1．
19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
20．（10分）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这（x+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
21．（10分）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
22．（10分）如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．
（1）求证：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．
23．（10分）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）
24．（12分）如图，抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y＝x2﹣x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．
2020年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）|﹣|的平方是（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【分析】运用平方运算的法则运算即可．
【解答】解：|﹣|的平方是2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方运算的法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．
2．（3分）据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元．82.6亿用科学记数法可表示为（ ）
A．0.826×10l0B．8.26×109C．8.26×108D．82.6×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：82.6亿＝8 260 000 000＝8.26×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20B．30C．40D．50
【分析】由三角形中位线定理可求AB＝10，由菱形的性质即可求解．
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，灵活应用三角形中位线性质是解决问题的关键．
4．（3分）下列等式中成立的是（ ）
A．（﹣3x2y）3＝﹣9x6y3
B．x2＝（）2﹣（）2
C．÷（+）＝2+
D．＝﹣
【分析】根据积的乘方和幂的乘方对A进行判断；利用平方差公式对B进行判断；利用分母有理化和二次根式的乘法法则对C进行判断；利用通分可对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝﹣27x6y3，所以A选项错误；
B、（）2﹣（）2＝（+）•（﹣）＝x•1＝x，所以B选项错误；
C、原式＝÷（+）＝÷＝×＝＝6﹣2，所以C选项错误；
D、﹣＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了整式和分式的运算．
5．（3分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1B．2C．D．4
【分析】由三个视图可知：该几何体为三棱柱，底面是底2高1的三角形，三棱柱的高为2，由此计算体积即可求解．
【解答】解：（1+1）×1÷2×2
＝2×1÷2×2
＝2．
故该几何体的体积为2．
故选：B．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的特征，掌握计算公式是解决问题的关键．
6．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AD，作EF⊥BC于F，根据三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，以及底角的度数，在直角三角形ABD中，利用三角函数求得AB，然后利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AD的长，再利用三角形相似求出EF 的长，根据三角形面积公式求得结果．
【解答】解：连接AD，作EF⊥BC于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°
在Rt△ABD中，BD＝BC＝，∠B＝30°，
∴AB＝＝＝2，
∴AD＝＝1，
∵AE＝AB，
∴＝，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝，
∴
∴EF＝，
∴S△BDE＝＝＝，
故选：B．
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
7．（3分）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（ ）
A．14°B．28°C．42°D．56°
【分析】根据垂径定理，可得＝，∠APC＝28°，根据圆周角定理，可得∠BOC．
【解答】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴＝，
∵∠APC＝28°，
∴∠BOC＝2∠APC＝56°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出＝是解题关键．
8．（3分）为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116．这组数据的平均数和中位数分别为（ ）
A．95，99B．94，99C．94，90D．95，108
【分析】根据平均数和中位数的定义即可得到结论．
【解答】解：这组数据的平均数＝（78+86+60+108+112+116+90+120+54+116）＝94，
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120，
∴这组数据的中位数＝＝99，
故选：B．
【点评】本题考查了平均数和中位数，熟练掌握求平均数和中位数的方法是解题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，﹣4）D．（0，﹣4）
【分析】依据轴对称的性质可得OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，），
∴AB＝1，OB＝，
∴OA＝＝＝2，
∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，
∴OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，
∴A'（﹣，﹣1），
∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，
∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，
∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，
∴∠A′CO＝∠A′OB′，
∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，
∴△A′OB′∽△COA′，
∴＝，即，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4），
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质，正比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，求得对称点的坐标是解题的关键．
10．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
【分析】根据题意画出函数的图象，根据抛物线与x的交点情况即可判断．
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），
画出函数的图象如图：
由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，借助图象解题是关键．
11．（3分）已知关于x的分式方程＝+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数B．负数C．零D．无法确定
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解满足﹣4＜x＜﹣1，可得k的取值范围，再根据k为整数，求出k的值，进而得结论．
【解答】解：＝+2，
（2x+3）（x+3）＝k+2（x﹣2）（x+3），
解得x＝﹣3，
∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数，
∴k＝7或14或21，
∴符合条件的所有k值的乘积为7×14×21＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式的解集确定k的值．
12．（3分）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．3
【分析】设C（m，0），则有AC+BD＝+，推出要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点N关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，求出NQ即可解决问题．
【解答】解：设C（m，0），
∵CD＝2，
∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD＝+，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN＝+），
如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，
∴AC+BD的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）
13．（3分）计算：﹣tan45°+（﹣2020）0﹣（）﹣1＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则运算即可．
【解答】解：原式＝2﹣1+1
＝
故答案为：．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算等，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 1 ．
【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【解答】解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式．
15．（3分）如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD进行计算．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，
∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
＝﹣+
＝π﹣．
故答案为π﹣．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的判定和性质．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点G，则k的值为 ﹣ ．
【分析】先根据旋转的性质得到DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，再证明△OCG∽△OED，利用相似比计算出CG＝，则G（﹣，1），然后把G点坐标代入y＝中求出k的值．
【解答】解：∵B（﹣2，1），
∴AB＝1，OA＝2，
∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，
∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，
∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED，
∴△OCG∽△OED，
∴＝，即＝，解得CG＝，
∴G（﹣，1），
把G（﹣，1）代入y＝得k＝﹣×1＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了旋转的性质、矩形的性质和相似三角形的判定与性质．
17．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故②错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三、解答题（本大题共7小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），其中x＝+1，y＝﹣1．
【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[（2x+y）﹣（x+2y）]2﹣x2﹣xy
＝（x﹣y）2﹣x2﹣xy
＝x2﹣2xy+y2﹣x2﹣xy
＝y2﹣3xy，
当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2﹣3（+1）（﹣1）
＝3﹣2﹣3
＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
【分析】（1）求出∠ABC＝70°，由平分线的性质得∠ABD＝∠DBC＝35°，由AF⊥AB，得∠BAF＝90°，由三角形外角性质即可得出结果；
（2）易证△ADE≌△CDB（AAS），得出AE＝BC，易证∠E＝∠ABD，得出AB＝AE，则△ABC是等边三角形，得∠ABF＝30°，在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝×140°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×70°＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（AAS），
∴AE＝BC，
∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴AB＝AE，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∵AD＝DC＝2，
∴AB＝AC＝4，
在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝4×tan30°＝4×＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角性质、三角函数定义等知识；证明三角形全等是解题的关键．
20．（10分）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这（x+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
【分析】（1）由M号的销售量及其所占的百分比求出运动服装总销量，再求出XXL号运动服装销量的百分比，根据各组所占百分比的和为单位1求出XL号运动服装销量的百分比；
（2）用运动服装总销量分别乘以S号，L号，XL号所占的百分比，得到对应服装销量，即可补全条形统计图；
（3）根据题意列出方程组，求解即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（件），
×100%＝10%，
1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%．
故XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；
（2）S号服装销量：200×25%＝50（件），
L号服装销量：200×20%＝40（件），
XL号服装销量：200×15%＝30（件），
条形统计图补充如下：
（3）由题意，得，
解得．
故所求x，y的值分别为12，6．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了概率公式．
21．（10分）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；
（2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，
∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），
BF＝BE×cs15°≈10×0.97＝9.7（海里），
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin30°＝20×＝10（海里），
BD＝AB×cs30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3，
∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，
CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，
设快艇的速度为v海里/小时，则v＝＝9.85（海里/小时）．
答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合是解题的关键．
22．（10分）如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．
（1）求证：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案．
（2）连接BC，先求出EM与AE的长度，再证明△MAE∽△CBA，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴AP⊥AC，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∴∠AMD+∠AEB＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠CAB，
∴∠AMD＝∠PAB，
∴AB＝BM．
（2）连接BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵∠CAB+∠PAB＝90°
∴∠C＝∠PAB，
∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，
∴∠AMD＝∠D＝∠C，
∴AM＝AD＝，
∵AB＝3，AB＝BM＝BE，
∴EM＝6，
∴由勾股定理可知：AE＝＝，
∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，
∴△MAE∽△CBA，
∴＝，
∴，
∴CA＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
23．（10分）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到利润与x之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，
解得，，
即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，
当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
，
解得，，
即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）设当月第x天的销售额为w元，
当0＜x≤20时，w＝（x+4）×（﹣2x+80）＝（x﹣15）2+500，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
当20＜x≤30时，w＝（x+12）×（4x﹣40）＝（x﹣35）2+500，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，
由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．（12分）如图，抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y＝x2﹣x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；
（2）设点P（x，x2﹣x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3），由两点距离公式可求PD，BD的长，可得PD+BD＝﹣x2+2x+x＝﹣（x﹣）2+，由二次函数的性质可求解；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣m）2﹣，联立方程组可得x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0，设点M（x1，y1），点N（x2，y2），可得x1+x2＝2（m+），由中点坐标公式可得x1+x2＝8，可求m的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝4k﹣3，
∴k＝，
∴直线AB解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线顶点坐标为（，﹣）；
（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
设点P（x，x2﹣x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3），
∴BD＝＝x，
PD＝（x﹣3）﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+2x，
∴PD+BD＝﹣x2+2x+x＝﹣（x﹣）2+，
∵＜x＜4，﹣＜0，
∴当x＝时，PD+BD有最大值为，
此时，点P（，﹣）；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣m）2﹣，
联立方程组可得：，
∴x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0，
设点M（x1，y1），点N（x2，y2），
∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
∴x1，x2是方程x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0的两根，
∴x1+x2＝2（m+），
∵点A是MN的中点，
∴x1+x2＝8，
∴2（m+）＝8，
∴m＝，
∴平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质，根与系数关系，中点坐标公式等知识，利用参数m列出方程组是本题的关键．
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日期：2020/8/1 14:50:28；用户：数学01；邮箱：lb01@xyh.cm；学号：21821723