2024春高中数学章末综合测评2随机变量及其分布练习及解析（人教A版选择性必修第三册）

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章末综合测评(二)　随机变量及其分布(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023·江苏常州期末)某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．2．(2022·湖北武汉月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)为偶函数，则μ＝(　　)A．－ B．0C． D．13．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，则该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为(　　)A．4．已知ξ的分布列如下表：其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正确的个数是(　　)A．0 B．1C．2 D．35．设随机变量X的概率分布列为则P(|X－3|＝1)＝(　　)A．6．为弘扬我国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中任意选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的学生人数的均值为(　　)A． B．1C． D．27．已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝q，则＋的最小值为(　　)A．2 B．C． D．48．甲、乙两个盒子中有若干个大小相同的球，甲盒子中有4个红球和2个白球，乙盒子中有3个红球和1个白球，同时从甲、乙盒子中各取出两个球，并进行交换，交换后，记乙盒中红球个数为ξ，则E(ξ)＝(　　)A．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．(2023·辽宁丹东高三上阶段测试)假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下：在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机的品牌为甲、乙、其他的事件，B表示买到的手机是优质品的事件，则(　　)A．P(A1)＝0.5 B．P(B|A2)＝0.9C．P(A1B)＝0.8 D．P(A3B)＝0.710．已知随机变量X的分布列如下表：记“函数f(x)＝3sin π(x∈R)是偶函数”为事件A，则(　　)A．P(A)＝ B．E(X)＝C．E(X)＝－2a D．E(X2)＝11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的数学期望和方差分别为E(X)，D(X)，则(　　)A．P4＝2P2 B．P(3≤X≤5)＝C．E(X)＝4 D．D(X)＝12．已知X～N(μ，σ2)，f(x)＝，x∈R，则(　　)A．曲线y＝f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1B．函数f(x)图象关于直线x＝μ对称C．P(X>μ－σ)＝2P(μx)在R上单调递增三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P(≤ξ≤)＝________．14．某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为；第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为；若前两次未打破，第三次落下时打破的概率为．则透镜落下三次未打破的概率为_____________．15．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应奖金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则a1＝________，参与该游戏获得奖金的均值为________元．16．某商场为了吸引顾客举办了一次有奖竞猜活动，活动规则如下：两人一组，在一轮竞猜活动中，每人两次竞猜机会，若两人猜对的次数之和不少于三次就可以获得一张奖券．小蓝和她的妈妈在同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为p1，p2，两人是否猜中相互独立．若p1＋p2＝，则当小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率最大时的值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2023·江苏连云港高二期中)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球．(1)求第一次取出的球为红球的概率；(2)求在第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．18．(本小题满分12分)某花店每天以8元/枝的价格从鲜花种植基地购进若干枝百合，然后以10元/枝的价格出售．若有剩余，则将剩余的鲜花以4元/枝的价格退回种植基地．为了确定进货数量，该花店统计了近50天的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．(1)求该花店鲜花日需求量n(单位：枝)的分布列；(2)若该花店一天进货130枝，记花店当天获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列．19．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X～N(95，225)．(1)试求考试成绩X位于区间[65，125]内的概率；(2)若这次考试共有3 000名考生，试估计考试成绩位于区间[80，110]内的考生人数．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．20．(本小题满分12分)某工厂生产一种精密仪器，有第一、第二和第三三道工序，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的等级：三道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A级，且第一、第二工序至少有一道工序的加工结果为B级时，产品为二等品；其余情况均为三等品．每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：表一表二(1)若一件产品的利润为η万元，求η的分布列和均值；(2)因第一工序加工结果为A级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本的方式对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x(0≤x≤4)万元(即每件产品利润相应减少x万元)时，第一工序加工结果为A级的概率增加x．问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响？并说明理由．21．(本小题满分12分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7～10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及均值．22．(本小题满分12分)某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)．(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在[62，90]内的概率；(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的均值和方差．参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.997 3．章末综合测评(二)1．B　[设事件A为“选到的是团员”，事件B为“选到的是男生”，根据题意可得，P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝．故选B．]2．C　[∵函数f(x)＝P(x≤ξ≤x＋1)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴P(－x≤ξ≤－x＋1)＝P(x≤ξ≤x＋1)，∴μ＝．故选C．]3．B4．C　[设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0，1]，2a＋b＝1，①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D(ξ)＝(0－1)2a＋(1－1)2b＋(2－1)2a＝a＋a≤1，因此②不正确；③P(ξ＝0)＝a＝≤，因此③正确．∴正确的个数是2，故选C．]5．B　[根据概率分布列的性质得出：＋m＋＝1，所以m＝，随机变量X的概率分布列为所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝．故选B．]6．B7．C　[离散型随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，所以有E(X)＝4＝np，D(X)＝q＝np(1－p)，所以4p＋q＝4，即p＋＝1(p>0，q>0)，所以＝＝＋2＝＋1＝，当且仅当q＝2p＝时取得等号．]8．C　[由题意可得，ξ所有取值为1，2，3，4，ξ＝1表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出2个红球，则P(ξ＝1)＝·；ξ＝2表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球或者甲盒中取出1个红球和1个白球且乙盒中取2个红球，P(ξ＝2)＝··；ξ＝3表示甲盒中取出1个红球和1个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球或者甲盒中取出2个红球且乙盒中取出2个红球，P(ξ＝3)＝··；ξ＝4表示甲盒中取出2个红球且乙盒中取出1个红球和1个白球，P(ξ＝4)＝·．故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×．故选C．]9．AB　[依题意可得P(A1)＝0.5，P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.7，P(A3)＝0.2，则P(A1B)＝P(B|A1)P(A1)＝0.8×0.5＝0.4，P(A3B)＝P(B|A3)P(A3)＝0.7×0.2＝0.14．故选AB．]10．ACD　[因为函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数，所以π＝＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P(A)＝a＋b＝1－，E(X)＝－1×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a．易知随机变量X2的可能取值为0，1，且P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝a＋b＝，所以E(X2)＝0×＋1×．故选ACD．]11．BCD　[由题意得对应的点P有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，∴对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝．对于A，P4＝P(X＝4)＝≠2P2＝，故A错误；对于B，P(3≤X≤5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝，故B正确；对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4，故C正确；对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×，故D正确．故选BCD．]12．BC　[选项A，曲线y＝f(x)与x轴围成的几何图形的面积等于1，所以A不正确；选项B，f(x＋μ)＝，f(μ－x)＝，所以f(x＋μ)＝f(μ－x)，所以函数f(x)图象关于直线x＝μ对称，所以B正确；选项C，因为P(μ－σμ－σ)＝P(μ－σx)越小，即函数F(x)＝P(X>x)随x的增大而减小，是减函数，所以D不正确．]13．　[设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个．∴ξ的分布列为P＝P(ξ＝1)＝．]14．　[记事件Ai(i＝1，2，3)＝“透镜落下第i次时打破”，事件B＝“透镜落下三次未打破”．因为B＝，所以P(B)＝P()＝P()P(|)P(|)＝＝．]15．　500　[由分布列的性质得a1＋2a1＋4a1＝1，所以a1＝，从而2a1＝，4a1＝．因此获得奖金X的分布列为所以E(X)＝700×＋560×＋420×＝500(元)．]16．　[由题意知小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率P＝2p1(1－p1)＋2p2(1－p2)＋，把p1＋p2＝代入，化简，得P＝－3(p1p2)2＋3p1p2．∵p1＋p2≥2，当且仅当p1＝p2＝时，等号成立，∴p1p2≤，∴当p1p2＝时，Pmax＝＝(p1＋p2)2－2p1p2＝－2×．]17．解：(1)设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋分别为事件B1，B2，B3，则P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝，由全概率公式可得P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝×××．(2)设第二次取出的球是白球为事件C，由全概率公式可得P(AC)＝P(AC|B1)P(B1)＋P(AC|B2)P(B2)＋P(AC|B3)P(B3)＝××××××，所以P(C|A)＝．18．解：(1)花店鲜花日需求量n(单位：枝)的分布列为：(2)当日需求量不低于130枝时，花能够全部卖出，利润为X＝2×130＝260，概率为0.16＋0.14＋0.14＋0.1＝0.54，当日需求量为120枝时，剩余10枝没有卖出，利润为X＝2×120－4×10＝200，当日需求量为110枝时，剩余20枝没有卖出，利润为X＝2×110－4×20＝140，当日需求量为100枝时，剩余30枝没有卖出，利润为X＝2×100－4×30＝80，所以获得的利润X的分布列为19．解：∵X~N(95，225)，∴μ＝95，σ＝15．(1)∵μ－2σ＝95－2×15＝65，μ＋2σ＝95＋2×15＝125，又P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，∴P(65≤X≤125)≈0.9545，(2)∵μ－σ＝95－15＝80，μ＋σ＝95＋15＝110，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，∴P(80≤X≤110)≈0.6827，∴考试成绩位于区间[80，110]内的考生人数为3000×0.6827≈2048．20．解：(1)由题意可知，η的所有可能取值为23，8，5，产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3，产品为二等品的概率为(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2，所以η的分布列为均值E(η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9．(2)改良方案对一件产品利润的均值不会产生影响，理由如下：设改良后一件产品的利润为ξ万元，则ξ的所有可能取值为23－x，8－x，5－x，由题意可知，改良过程中，一等品的概率为×0.75×0.8＝0.3＋，二等品的概率为1－×0.75]×0.8＝0.5－，三等品的概率为1－＝0.2，所以E(ξ)＝(23－x)＋(8－x)＋0.2×(5－x)＝＋1－0.2x＝11.9，因为E(ξ)＝E(η)，所以改良方案对一件产品利润的均值不会产生影响．21．解：(1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A，则P(A)＝．所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为．(2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为，故X～B，X的可能取值为0，1，2，3，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为故E(X)＝3×．22．解：(1)因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69，49)，所以μ＝69，σ＝7，所以P(62≤Y≤90)＝P(μ－σ≤Y≤μ＋3σ)≈＝0.84．(2)因为总体平均分为μ＝69，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×．ξ012P？！？X1234Pm品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%X－101Pab日需求量/枝100110120130140150160频数51088775工序第一工序第二工序第三工序概率0.50.750.8等级一等品二等品三等品利润2385分数段[0，7)[7，8)[8，9)[9，10]食堂个数1383X1234Pξ123PX700560420Pn100110120130140150160P0.10.20.160.160.140.140.1X80140200260P0.10.20.160.54η2385P0.30.50.2X0123P