人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：与相交线有关的角度计算(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：与相交线有关的角度计算(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了直接利用相交线的性质求角度，利用垂线的性质求角度，通过计算说明两角的数量关系，通过计算说明两直线垂直，与相交线有关的角度计算综合题等内容，欢迎下载使用。

题型一 直接利用相交线的性质求角度
【例题1】（2022秋•合川区校级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG平分∠BOC，∠DOF＝90°．
（1）写出∠AOE的余角和补角；
（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数．
【变式1-1】（2022秋•江北区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数．
【变式1-2】（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．
【变式1-3】（2022秋•清水县校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，
∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．
【变式1-4】（2022春•华阴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度数．
【变式1-5】（2022秋•永兴县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度数．
【变式1-6】（2022秋•夏邑县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠BOF的度数．
【变式1-7】（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；
（2）若∠EOC=45∠EOD，求∠BOD的度数．
【变式1-8】（2022秋•荣昌区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射线ON在∠BOM内部．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度数．
题型二 利用垂线的性质求角度
【例题2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠COE互余的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=27∠EOF，求∠EOF的度数．
【变式2-1】（2022春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【变式2-2】（2022秋•绿园区期末）如图：已知直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．
（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．
【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小．
【变式2-4】（2022春•长垣市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD．
（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；
（2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD．
【变式2-5】（2022春•道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC．
（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度数；
（2）过点O作OF⊥OE，请直接写出和∠BOF互补的角．
【变式2-6】（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．
【变式2-7】（2022春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；
（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．
题型三 通过计算说明两角的数量关系
【例题3】（2022春•渭城区期中）将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．试说明：∠FOB＝2∠AOC．
解：因为OE平分∠AOF，
所以∠AOE＝∠EOF．（ ）
因为∠COE＝90°，
所以∠AOC+∠AOE＝90°．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，
所以∠EOF+∠FOD＝90°．
所以∠AOC＝ （ ）．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以 （ ），
所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．
【变式3-1】（2021秋•莲都区期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
【变式3-2】如图，直线AB与CD相交于O．OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．
（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度数；
（2）试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？请说明理由．
（3）∠BOE的余角是 ，∠BOE的补角是 ．
【变式3-3】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．
【变式3-4】（2022春•香坊区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°．
（1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数；
（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角；
（3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE的大小并说明理由．
【变式3-5】已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF=12∠BOC说明理由．
题型四 通过计算说明两直线垂直
【例题4】（2022春•南昌期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）判断OF与OD的位置关系，并证明；
（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．
【变式4-1】（2022秋•拱墅区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1=13∠BOC，求∠BOD的度数．
【变式4-2】（2022春•墨玉县期末）如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
（1）求∠BOF的度数：
（2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由．
【变式4-3】（2022春•香洲区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．
（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；
（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．
【变式4-4】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射线OE平分∠BOF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．
【变式4-5】（2022春•沂水县期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线．
（1）画出这个图形．
（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？
（3）OE与OG有什么位置关系？说明理由．
题型五 与相交线有关的角度计算综合题
【例题5】（2022秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？
（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？
（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？
【变式5-1】（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．
【变式5-2】（2022春•潜山市月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，
（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数
（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
【变式5-3】（2022春•麒麟区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【变式5-4】（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【变式5-5】（2021秋•罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF．
（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；
（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值．
【变式5-6】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题 与相交线有关的角度计算
题型一 直接利用相交线的性质求角度
【例题1】（2022秋•合川区校级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG平分∠BOC，∠DOF＝90°．
（1）写出∠AOE的余角和补角；
（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数．
【分析】（1）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，由此即可判断；
（2）由对顶角的性质可得∠AOE的度数，由角平分线的定义可求∠COG．
【解答】解：（1）∠AOE的余角是∠AOC，∠BOD；补角是∠AOF，∠EOB；
（2）∠AOE＝∠BOF＝30°；
∵∠DOF＝90°，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOC＝∠BOF+∠COF，
∴∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OG平分∠BOC，
∴∠COG=12∠BOC＝60°．
【点评】本题考查角的计算，余角，补角的概念，关键是掌握余角，补角的定义，角平分线的定义，对顶角的性质．
【变式1-1】（2022秋•江北区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数．
【分析】根据∠EOD＝88°，求出∠EOC，根据角平分线定义得到∠AOC=12∠EOC=12×82°＝41°，然后根据对顶角相等即可得解．
【解答】解：∵∠EOD＝88°，
∴∠EOC＝180°﹣88°＝92°，
∵OA平分∠EOC，∠EOC＝92°，
∴∠AOC=12∠EOC=12×92°＝46°，
∴∠BOD＝∠AOC＝46°．
【点评】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是熟记对顶角相等．
【变式1-2】（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．
【分析】设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由邻补角的性质，求出x的值，再根据角平分线，计算出∠COE的度数，计算即可．
【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由题意得：
x+4x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC=12×36°＝18°．
【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．
【变式1-3】（2022秋•清水县校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．
【分析】根据角平分线的定义以及对顶角、平角的定义，列方程求解即可．
【解答】解：∵射线OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠FOE=12∠BOF，
由于∠COF：∠AOC＝2：3，可设∠COF＝2α，则∠AOC＝3α，
又∵∠COE＝80°，
∴∠BOE＝∠FOE=12∠BOF＝80°﹣2α，
∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴5α+2（80°﹣2α）＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOD＝∠AOC＝3α＝60°，
答：∠BOD的度数为60°．
【点评】本题考查角平分线，邻补角以及对顶角，理解对顶角相等，邻补角以及角平分线的定义是正确解答的前提．
【变式1-4】（2022春•华阴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度数．
【分析】根据角的比例关系以及邻补角的定义可求出∠BOC，∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠BOE，∠COE，求出∠DOF即可求出答案．
【解答】解：∵∠BOC：∠AOC＝1：5．∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠BOC＝180°×11+5=30°，∠AOC==180°×51+5=150°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC＝15°，
∵∠BOC：∠DOF＝1：3，∠BOC＝30°，
∴∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣15°＝75°，
答：∠EOF的度数为75°．
【点评】本题考查邻补角、对顶角以及角平分线，理解角平分线的定义以及邻补角、对顶角的性质是正确解答的前提．
【变式1-5】（2022秋•永兴县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的意义进行计算即可；
（2）根据邻补角的定义求出∠DOE，再根据角平分线的定义求出∠BOD的大小，再由对顶角相等得出答案．
【解答】解：（1）∵直线AB和直线CD相交于点O，∠EOC＝110°，
∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝70°，
又∵OB平分∠EOD．
∴∠BOD＝∠BOE=12∠DOE＝35°；
（2）∵∠DOE：∠EOC＝2：3，∠DOE+∠EOC＝180°，
∴∠DOE＝180°×25=72°，∠EOC＝180°×35=108°，
又∵OB平分∠EOD．
∴∠BOD＝∠BOE=12∠DOE＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义是正确计算的前提．
【变式1-6】（2022秋•夏邑县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据邻补角的和等于180°求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的定义解答；
（2）先求出∠COE的度数，再根据角平分线的定义求出∠EOF，然后根据角的和差关系即可得解．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=13×180°＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE=12∠BOD=12×60°＝30°；
（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=12∠COE=12×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝75°﹣30°＝45°．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．
【变式1-7】（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；
（2）若∠EOC=45∠EOD，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据题意求出∠EOC＝80°，再根据角平分线的定义、对顶角相等计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝38°，
∴∠AOC＝∠BOD＝38°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝38°，
∴∠EOD＝180°﹣38°×2＝104°；
（2）∵∠EOC+∠EOD＝180°，∠EOC=45∠EOD，
∴∠EOC＝80°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=12∠EOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等是解题的关键．
【变式1-8】（2022秋•荣昌区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射线ON在∠BOM内部．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC＝45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）由∠BOC＝5∠NOB可求解∠NOB＝27°，结合∠BOM＝90°，利用角的和差可求解∠MON的度数．
【解答】解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC＝∠AOD＝135°，∠BOC＝5∠NOB，
∴∠NOB＝27°，
∵∠AOM＝90°，
∴∠BOM＝90°，
∴∠MON＝∠BOM﹣∠NOB＝90°﹣27°＝63°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
题型二 利用垂线的性质求角度
【例题2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠COE互余的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=27∠EOF，求∠EOF的度数．
【分析】（1）若两角之和为90°，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”．据此进行求解；
（2）根据∠AOC+∠EOF＝180°进行求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠COE＝90°，∠AOC＝∠BOD，
∴与∠COE互余的角是∠AOC和∠BOD．
故答案为：∠AOC和∠BOD；
（2）∵∠EOF+∠AOC＝∠AOE+∠AOF+∠AOC＝∠AOE+∠COF＝180°，∠AOC=27∠EOF，
∴∠EOF+27∠EOF=180°，
∴∠EOF＝140°．
【点评】本题考查了垂直的定义和余角的知识，注意结合图形进行求解．
【变式2-1】（2022春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根据垂直的定义求出∠DOF＝90°，则∠EOF可求．
【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD＝1：5．
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOD＝∠EOD＝30°，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝60°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并灵活运用是解题的关键，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【变式2-2】（2022秋•绿园区期末）如图：已知直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．
（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠EOC＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据平角定义和已知易得∠BOD＝36°，从而利用对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝36°，然后再利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∵∠AOC＝34°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝56°，
∴∠BOE的度数为56°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：4，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴∠BOD＝180°×11+4=36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝126°，
∴∠AOE的度数为126°，
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小．
【分析】根据垂直的定义及角的和差关系求出∠COD＝55°，再根据角平分线的定义求出∠AOB即可．
【解答】解：∵OB⊥OD，
∴∠BOD＝90°，
又∵∠BOC＝40°，
∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠COD＝100°，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD
＝100°﹣90°
＝10°，
即∠AOB＝10°．
【点评】本题考查角平分线的定义，垂线，理解互相垂直、角平分线的定义是正确解答的前提．
【变式2-4】（2022春•长垣市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD．
（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；
（2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD．
【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义进行计算即可；
（2）根据垂直的定义，平角以及角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE=12∠AOD＝60°，
答：∠DOE的度数为60°；
（2）∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，即∠DOE+∠DOF＝90°，
∵∠AOE+∠EOF+∠FOB＝180°，
∴∠AOE+∠FOB＝180°﹣90°＝90°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE，
∴∠DOF＝∠BOF，
即OF平分∠BOD．
【点评】本题考查对顶角，邻补角，角平分线，理解对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的前提．
【变式2-5】（2022春•道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC．
（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度数；
（2）过点O作OF⊥OE，请直接写出和∠BOF互补的角．
【分析】（1）根据邻补角的定义先求出∠EOC，然后求出求出∠AOC，再根据邻补角的定义求出∠BOC即可；
（2）因为OF⊥OE，所以∠FOC+∠EOC＝90°，则∠BOF+∠AOF＝90°，而∠AOF＝∠EOC，所以∠BOF＝∠FOC，根据补角的定义写出∠BOF的补角即可．
【解答】解：（1）∵∠DOE＝130°，
∴∠EOC＝50°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠EOC＝2×50°＝100°，
∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°；
（2）∵OF⊥OE，
∴∠FOC+∠EOC＝90°，
∴∠BOF+∠AOF＝90°，
∵∠AOF＝∠EOC，
∴∠BOF＝∠FOC，
∴与∠BOF互补的角是∠AOF和∠DOF．
【点评】本题考查角平分线的定义，对顶角，邻补角，理解邻补角、补角余角以及角平分线的定义是正确解答的前提．
【变式2-6】（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．
【分析】（1）根据∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，OM平分∠BOE，解答即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOD的度数即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝90°+50°＝140°，
∵OM平分∠BOE，
OM平分∠BOE，
∴∠BOM=12×140°＝70°，
∴∠DOM＝∠BOM﹣∠BOD＝70°﹣50°＝20°；
（2）ON平分∠AOD，
∵∠DOM＝20°，∠MON＝45°，
∴∠DON＝∠DOM+∠MON＝45°+20°＝65°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DON=12∠AOD，
∴ON平分∠AOD．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．
【变式2-7】（2022春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；
（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．
【分析】（1）根据角平分线的意义，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=12∠BOC，再根据角度的和或差求出答案；
（2）先求出∠MON，再根据∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根据角平分线的意义得出∠AOM，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠AOC＝75°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠CON=12∠BOC=12×60°＝30°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；
（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=12∠BOC，
∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠AOB＝40°，
∵∠MON：∠AOC＝2：7，
∴∠AOC＝140°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=12∠AOC＝70°，
∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°
【点评】考查角平分线的意义，理清图形中各个角之间的关系是正确解答的关键．
题型三 通过计算说明两角的数量关系
【例题3】（2022春•渭城区期中）将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．试说明：∠FOB＝2∠AOC．
解：因为OE平分∠AOF，
所以∠AOE＝∠EOF．（ ）
因为∠COE＝90°，
所以∠AOC+∠AOE＝90°．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，
所以∠EOF+∠FOD＝90°．
所以∠AOC＝ （ ）．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以 （ ），
所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．
【分析】根据角平分线的定义、对顶角相等、角平分线的定义解答即可．
【解答】解：因为OE平分∠AOF，
所以∠AOE＝∠EOF．（角平分线的定义）
因为∠COE＝90°，
所以∠AOC+∠AOE＝90°．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，
所以∠EOF+∠FOD＝90°．
所以∠AOC＝∠FOD（等角的余角相等）．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），
所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2021秋•莲都区期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可计算；
（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵BF⊥AE，
∴∠EBF＝∠ABF＝90°，
∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，
∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．
证明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，
∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，
∵∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．
【点评】本题考查角度的计算，关键是掌握垂直的定义，对顶角相等．
【变式3-2】如图，直线AB与CD相交于O．OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．
（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度数；
（2）试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？请说明理由．
（3）∠BOE的余角是 ，∠BOE的补角是 ．
【分析】（1）设∠BOF＝α，根据角平分线的定义得出∠DOF＝∠BOF＝α，得出方程38°+α+α＝90°，求出方程的解即可；
（2）求出∠COE＝180°﹣∠DOE＝90°﹣∠DOF，根据垂直求出∠BOE＝90°﹣∠BOF，即可得出答案；
（3）根据余角和补角定义求出即可．
【解答】解：（1）设∠BOF＝α，
∵OF是∠BOD的平分线，
∴∠DOF＝∠BOF＝α，
∵∠BOE比∠DOF大38°，
∴∠BOE＝38°+∠DOF＝38°+α，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴38°+α+α＝90°，
解得：α＝26°，
∴∠DOF＝26°，∠AOC＝∠BOD＝∠DOF+∠BOF＝26°+26°＝52°；
（2）∠COE＝∠BOE，
理由是：∵∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣（90°+∠DOF）＝90°﹣∠DOF，
∵OF是∠BOD的平分线，
∴∠DOF＝∠BOF，
∴∠COE＝90°﹣∠BOF，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠BOF，
∴∠COE＝∠BOE；
（3）∠BOE的余角是∠BOF和∠DOF，∠BOE的补角是∠AOE和∠DOE，
故答案为：∠BOF和∠DOF，∠AOE和∠DOE．
【点评】本题考查了余角、补角，对顶角、邻补角，角平分线定义等知识点，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键．
【变式3-3】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．
【分析】（1）依据OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根据OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依据对顶角相等得到∠AOC＝72°；
（2）依据OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根据OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，
∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，
∴∠AOC＝72°；
（2）①如图所示：
②∠AOG＝∠EOF；
理由：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵OF⊥CD，OG⊥OE，
∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，
∴∠EOF＝∠AOG．
【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的关键是掌握：等角的余角相等．
【变式3-4】（2022春•香坊区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°．
（1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数；
（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角；
（3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE的大小并说明理由．
【分析】（1）先求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，已知∠DON＝90°，可求得∠BON的度数；
（2）根据互余的定义判断即可，互余的两个角和为90度；
（3）可设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，根据已知可得∠BOE=12x，进而得出∠MOE和∠DOE的大小．
【解答】解：（1）∵BOM＝90°，
∴∠AOM＝90°，
∵∠COM＝35°，
∴∠AOC＝55°，
∴∠BOD＝55°，
∵∠DON＝90°，
∴∠BON＝∠BOD+∠DON＝55°+90°＝145°；
（2）∵∠AOC+∠COM＝90°，
∴∠AOC与∠COM互余，
∵∠AOC+∠AON＝90°，
∴∠AOC与∠AON互余，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD与∠COM互余，∠BOD与∠AON互余；
（3）∠MOE＝∠DOE，
∵∠BOM＝∠DON＝90°，
∴∠MOC＝∠AON，
设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，
∵12∠MON﹣∠BOE＝45°，
∴12（90°+x）﹣∠BOE＝45°，
∴∠BOE=12x，
∴∠MOE＝90°−12x，
∠DOE＝∠BOE+∠BOE＝90°﹣x+12x＝90°−12x，
∴∠MOE＝∠DOE．
【点评】本题考查了对顶角和邻补角，解题的关键是根据概念会判断并灵活运用，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【变式3-5】已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF=12∠BOC说明理由．
【分析】根据对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD，由角平分线的定义得到∠BOF=12∠BOD，等量代换得到∠BOF=12∠AOC，由垂直的定义得到∠COE＝90°，等量代换得到∠BOE＝∠BOC﹣90°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），
∠BOF=12∠BOD（平分线的定义），
∴∠BOF=12∠AOC（等量代换）
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC（平角的定义），
∴∠BOF＝90°−12∠BOC．
∵EO⊥CD（已知），
∴∠COE＝90°（垂直的定义）
∵∠BOE+∠COE＝∠BOC（两角和的定义），
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE．
∴∠BOE＝∠BOC﹣90°（等量代换）
∵∠EOF＝∠BOE+∠BOF（两角和的定义）
∴∠EOF＝（∠BOC﹣90°）+（90°−12∠BOC）（等量代换）
∴∠EOF=12∠BOC．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
题型四 通过计算说明两直线垂直
【例题4】（2022春•南昌期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）判断OF与OD的位置关系，并证明；
（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EOF=12∠AOE，∠EOD=12∠BOE，根据邻补角的概念计算，证明结论；
（2）根据对顶角相等、余角的概念计算即可．
【解答】解：（1）OF⊥OD，
理由如下：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠EOF=12∠AOE，∠EOD=12∠BOE，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠EOF+∠EOD＝90°，
∴OF⊥OD；
（2）∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∴∠EOD＝∠BOD＝30°，
∴∠EOF＝90°﹣∠EOD＝60°．
【点评】本题考查的是对顶角、角平分线的定义、邻补角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．
【变式4-1】（2022秋•拱墅区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1=13∠BOC，求∠BOD的度数．
【分析】（1）利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；
（2）根据题意得出∠1的度数，即可得出∠BOD的度数．
【解答】证明：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）∵∠1=13∠BOC，
∴∠BOM＝2∠1＝90°，
解得：∠1＝45°，
∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°
【点评】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关键．
【变式4-2】（2022春•墨玉县期末）如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
（1）求∠BOF的度数：
（2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由．
【分析】（1）根据对顶角相等和角平分线即可求出答案；
（2）求出求出∠EOF的度数，根据垂直定义求出即可．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝28°，
∴∠BOD＝28°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=12∠BOD=12×28°=14°；
（2）垂直，理由如下：
∵∠AOC＝28°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°＝152°，
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠EOD=12∠AOD=12×152°＝76°，
∠DOF=12∠BOD=12×28°＝14°，
∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝76°+14°＝90°，
∴OE⊥OF．
【点评】此题考查了对顶角及邻补角的定义，熟记对顶角及邻补角的性质是解题的关键．
【变式4-3】（2022春•香洲区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．
（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；
（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义、平角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵OD分别是∠BOE的平分线．
∴∠BOD＝∠DOE=12∠BOE＝28°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣28°＝152°；
（2）OD⊥OF，理由如下：
∵OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．
∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE，∠BOD＝∠DOE=12∠BOE，
∴∠DOF＝∠EOF+∠DOE
=12（∠AOE+∠BOE）
=12×180°
＝90°，
即OD⊥OF．
【点评】本题考查角平分线，对顶角、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角是正确解答的前提．
【变式4-4】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射线OE平分∠BOF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．
【分析】（1）根据∠AOD＝20°和∠DOF：∠FOB＝1：7，求出∠BOF等于140°，所以∠EOB等于70°；
（2）利用（1）中所求，进而得出∠EOC等于90°得出答案即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝EOF，
∵∠DOF：∠FOB＝1：7，∠AOD＝20°，
∴∠DOF=18∠BOD=18×（180°﹣20°）＝20°，
∴∠BOF＝140°，
∴∠BOE=12∠BOE=12∠BOF=12×140°＝70°；
（2）由（1）得：∠EOC＝∠BOC+∠EOB＝70°+20°＝90°，
则射线OE与直线CD垂直．
【点评】此题主要考查了对顶角、邻补角以及角平分线的性质，主要利用对顶角相等，邻补角的定义和角平分线的定义求解．
【变式4-5】（2022春•沂水县期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线．
（1）画出这个图形．
（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？
（3）OE与OG有什么位置关系？说明理由．
【分析】（1）画出这个图形即可；
（2）根据角平分线定义即可判断射线OE，OF在同一条直线上；
（3）由OG平分∠AOD，得∠AOG＝∠DOG，再由∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，得∠AOE+∠AOG＝90°，进而即可判断OE与OG的位置关系．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠AOD＝180°，
∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠AOE=12∠AOC，∠DOF=12∠BOD，
∴∠AOE＝∠DOF，
∴∠AOE+∠DOF＝∠AOC，
∴∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，
∴射线OE、射线OF在同一条直线上；
（3）OE⊥OG．理由如下：
∵OG平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠DOG，
∵∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，
∴∠AOE+∠AOG＝90°，
∴OG⊥OE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、直线、射线、线段、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是根据语句准确画图．
题型五 与相交线有关的角度计算综合题
【例题5】（2022秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？
（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？
（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？
【分析】（1）由对顶角的性质，得到∠AOE＝58°，再由角平分线的定义即可求解；
（2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，从而求出∠EOF的度数；
（3）由角平分线的定义推出∠EOF=12∠AOB，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，
∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠BOC），
∴∠EOF=12∠AOB=12×180°＝90°，
∵∠AOE＝∠BOD＝58°，
∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOE，
∵∠AOE＝∠BOD＝α，
∴∠AOC＝2α，
∴∠BOC＝180°﹣2α，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣α，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；
（3）∠EOF的度数不变，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，
∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠BOC），
∴∠EOF=12∠AOB=12×180°＝90°，
【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线的定义．
【变式5-1】（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．
【分析】（1）由角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，可求．
（2）分两种情况，由垂直的定义可求解，
【解答】解：（1）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=12∠AOD，
∵∠BOD＝46°，
∴∠AOD＝134°，∠AOC＝46°，
∴∠AOE＝67°，
∵∠COE＝∠AOC+∠AOE，
∴∠COE＝46°+67°＝113°；
（2）①当OF在AB上方时，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝23°．
②当OF在AB下方时，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157°．
【点评】本题考查角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，关键是熟练掌握有关的概念．
【变式5-2】（2022春•潜山市月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，
（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数
（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的意义进行计算即可；
（2）根据角平分线以及∠BOE：∠COE＝1：3，利用按比例分配进行计算即可；
（3）分两种情况进行解答即可．
【解答】解：（1）∵∠COE+∠DOE＝180°，∠COE＝110°，
∴∠DOE＝180°﹣110°＝70°，
又∵OB平分∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOE=12∠DOE＝35°；
（2）∵OB平分∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOE=12∠DOE，
∵∠BOE：∠COE＝1：3，
∴∠BOD＝180°×11+1+3=36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°；
（3）由（2）得∠DOE＝72°，
当OF在直线CD的上方时，有∠EOF＝∠FOD+∠DOE＝90°+72°＝162°，
当OF在直线CD的下方时，有∠EOF＝∠FOD﹣∠DOE＝90°﹣72°＝18°，
因此∠EOF的度数为18°或162°．
【点评】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解角平分线的定义，邻补角以及对顶角的意义是正确解答的前提．
【变式5-3】（2022春•麒麟区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】（1）①解：∵OF⊥CD于点O，
∴∠DOF＝90°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠BOF＝90°﹣20°＝70°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝130°﹣70°＝60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②证明：∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°，
理由如下：
当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
【变式5-4】（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【分析】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；
（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；
（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°−12∠AOC．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90−12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90−12x）°=12x°，
即∠EOF=12∠AOC；
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC＝（90−12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90−12x）°＝（180−12x）°，
即∠EOF＝180°−12x＝180°−12∠AOC．
综上所述：∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°−12∠AOC；
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12BOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互补．
【点评】本题主要考查垂线，角平分线的定义，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的关键．
【变式5-5】（2021秋•罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF．
（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；
（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及余角和补角进行角的和、差运算即可；
（2）根据∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，则∠AOC+∠EOB＝90°，再根据当射线OE平分∠BOF，得出结论；
（3）现根据题意求出∠AOC＝110°，然后分0＜t≤22，22＜t≤30和30＜t＜36三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠BOF＝130°，
∴∠AOF＝50°
∵射线OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠FOC＝50°，
∴∠COB＝80°，
∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣80°＝10°；
（2）射线OC平分∠AOF，理由如下：
∵∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，
∴∠AOC+∠EOB＝90°，
∴∠COF+∠FOE＝∠AOC+∠EOB，
∵OE平分∠FOB，
∴∠FOE＝∠EOB，
∴∠AOC＝∠COF，
即射线OC平分∠AOF；
（3）∵∠BOE＝20°且∠BOF＝130°，
∴∠EOF＝150°，
又∵∠COE＝90°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝110°，
①当0＜t≤22时，
∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠AOC＝110°﹣5t，∠EOF＝150°﹣5t，
∵∠AOC+∠EOF＝90°，
∴110﹣5t+150﹣5t＝90，
解得t＝17，
②当22＜t≤30时，
∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝150°﹣5t，
∵∠AOC+∠EOF＝90°，
∴5t﹣110+150﹣5t＝90，
40＝90，
此时无解，
③当30＜t＜36时，
∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝5t﹣150°，
∵∠AOC+∠EOF＝90°，
∴5t﹣110+5t﹣150＝90，
解得t＝35，
综上所述，当∠AOC+∠EOF＝90°时，t＝17或t＝35．
【点评】本题考查一元一次方程的应用以及角平分线的定义、余角补角的定义，解决本题的关键是掌根据题中的等量关系列出方程．
【变式5-6】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【分析】（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；
②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t=12（60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD，
即9°t﹣300°=12（3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．