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人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：平行线的判定与性质的综合运用(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：平行线的判定与性质的综合运用(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了平行公理的推论，平行线的判定方法，平行线的性质等内容，欢迎下载使用。
◆◆1、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
◆◆2、平行线的判定方法：
（1）定义法：在同一平面内不相交 的两条直线互相平行．
（2）判定定理1：同位角相等，两直线平行．
（3）判定定理2：内错角相等，两直线平行．
（4）判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
◆◆3、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，内错角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
◆◆4、平行线的判定与性质的联系与区别．
区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
题型一 平行线的判定
【例题1】（2022•南京模拟）如图，以下条件能判定EG∥CH的是（ ）
A．∠FEB＝∠ECDB．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEF+∠HCE＝180°D．∠HCE＝∠CEG
【变式1-1】（2022春•隆阳区校级月考）如图所示，以下5个条件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】（2021秋•上蔡县校级期末）如图，下列条件能判断直线l1∥l2的有（ ）
①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022春•商城县期末）学习过平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【变式1-4】（2022秋•城关区校级期末）已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC．
【变式1-5】（2022秋•秦州区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12 （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12 ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【变式1-6】（2022秋•临汾期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．
求证：CE∥DF．
题型二 平行线的性质
【例题2】（2022秋•宣汉县校级期末）如图，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，则∠D＝（ ）
A．145°B．150°C．120°D．165°
【变式2-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【变式2-2】（2022春•梁子湖区期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【变式2-3】（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 度．
【变式2-4】（2022秋•明水县校级期末）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
【变式2-5】（2022秋•伊川县期末）如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．
（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数；
（2）求证：OG平分∠AOC．
题型三 平行线的判定与性质的综合运用
【例题3】（2022秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠BCD+∠D＝90°；
④∠DBF＝60°．
其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3-1】（2022秋•伊川县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．
【变式3-2】（2022春•凤泉区校级期末）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数．
【变式3-3】（2022秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
【变式3-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．
【变式3-5】（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
专 题 难 点 突 破 练
1、如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
2．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．
3．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+12∠4＝135°．其中，正确的结论有 ．（填序号）
4．（2023•临川区校级一模）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
5．（2022秋•二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．
6．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
7．（2022秋•郸城县校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 ．
8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
解题技巧提炼
本题考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
解题技巧提炼
1、两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．
2、利用平行线的性质可以角的度数，证明两直线垂直等.
解题技巧提炼
1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3、平行线的判定与性质常常综合运用，见到角相等或互补就应该相等能否判定两直线平行，见到两直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题：平行线的判定与性质的综合运用
◆◆1、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
◆◆2、平行线的判定方法：
（1）定义法：在同一平面内不相交 的两条直线互相平行．
（2）判定定理1：同位角相等，两直线平行．
（3）判定定理2：内错角相等，两直线平行．
（4）判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
◆◆3、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，内错角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
◆◆4、平行线的判定与性质的联系与区别．
区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
题型一 平行线的判定
【例题1】（2022•南京模拟）如图，以下条件能判定EG∥CH的是（ ）
A．∠FEB＝∠ECDB．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEF+∠HCE＝180°D．∠HCE＝∠CEG
【分析】根据内错角相等两直线平行判断即可；
【解答】解：A．∠FEB＝∠ECD，不能判断EG∥CH，不符合题意；
B．∠AEG＝∠DCH，没有∠AEC＝∠DCE的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；
C．∠GEF+∠HCE＝180°，没有点C、E、F共线的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；
D．∠HCE＝∠CEG，可判断EG∥CH，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相交线和平行线，掌握内错角相等两直线平行是解题关键．
【变式1-1】（2022春•隆阳区校级月考）如图所示，以下5个条件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：①∠B＝∠3可判断AD∥BC，而∠3≠∠4+∠5，故①错误；
②根据内错角相等，两直线平行可得∠2＝∠4可判定BC∥AD，故②正确；
③∠1＝∠5判断AB∥CD，故③错误；
④∠B＝∠3可判断AD∥BC，故④正确；
⑤∠D+∠4+∠5＝180°可判定BC∥AD，故⑤正确．
故能判定AD∥BC的有三个．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练应用判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【变式1-2】（2021秋•上蔡县校级期末）如图，下列条件能判断直线l1∥l2的有（ ）
①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
②∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
④∵∠2＝∠3，不能得到l1∥l2，故本条件不符合题意；
⑤∵∠6＝∠3+∠2不能得到l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
【变式1-3】（2022春•商城县期末）学习过平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件可得③∠3＝∠1可得AB∥CD；④∠4＝∠2，可得AB∥CD．
【解答】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；
将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；
∵AB⊥m，CD⊥m，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∵∠3＝∠1，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确．
∵∠4＝∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．
【变式1-4】（2022秋•城关区校级期末）已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC．
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义可得∠CAF的度数，进而可得∠CAF＝∠C，由平行线的判定即可得到EF∥BC．
【解答】证明：∵∠B＝80°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF＝50°，
∴∠C＝∠CAF，
∴EF∥BC．
【点评】本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的各种判定方法．
【变式1-5】（2022秋•秦州区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12 （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12 ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•临汾期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．
求证：CE∥DF．
【分析】根据题意和图形，可以在证明过程中写入相应的条件，本题得以解决．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，（已知）
∴∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB．（角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB，（已知）
∴∠DBC＝∠ECB．（等量代换）
又∵∠DBF＝∠F，（已知）
∴∠ECB＝∠F．（等量代换）
∴CE∥DF．（同位角相等，两直线平行）
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型二 平行线的性质
【例题2】（2022秋•宣汉县校级期末）如图，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，则∠D＝（ ）
A．145°B．150°C．120°D．165°
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠C的度数，由DE∥CB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝35°，
又∵DE∥CB，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣35°＝145°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记平行线的各性质定理是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度数．
【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF＝65°，
∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【变式2-2】（2022春•梁子湖区期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：延长BC至G，如下图所示，
由题意得，AF∥BE，AD∥BC，
∵AF∥BE，
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵AD∥BC，
∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝∠1＝40°，
∵CD∥BE，
∴∠6＝∠4＝40°（两直线平行，同位角相等），
∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，
∴∠5＝∠6＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
【变式2-3】（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 30 度．
【分析】利用平行线的性质和光的反射原理可解此题．
【解答】解：要使反射光线DE∥AB，
则∠APD＝∠PDE，
∵∠APD＝120°，
∴∠PDE＝120°，
∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，
∴∠ADP＝∠CDE＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，
故答案为：30．
【点评】本本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练应用平行线的性质．
【变式2-4】（2022秋•明水县校级期末）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
【分析】由CD∥AB，∠CDO＝50°，∠DOB的度数，又由OE平分∠DOA，即可求得∠DOE的度数，然后由OE⊥OF，求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠CDO+∠DOB＝180°，
∴∠DOB＝180°﹣∠CDO＝180°﹣50°＝130°，
∵OE平分∠DOA，
∴∠DOE=12∠DOA＝65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠EOD＝25°．
【点评】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2-5】（2022秋•伊川县期末）如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．
（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数；
（2）求证：OG平分∠AOC．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂直的定义和角平分线的判定解答即可．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠C＝50°，
∴∠AOE＝130°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝65°，
∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝50°+65°＝115°；
（2）∵OG⊥OF，即∠GOF＝90°，
∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠EOF+∠COG＝90°，
∵∠AOF＝∠EOF，
∴∠AOG＝∠COG，
∴OG平分∠AOC．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠BOE＝∠C解答．
题型三 平行线的判定与性质的综合运用
【例题3】（2022秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠BCD+∠D＝90°；
④∠DBF＝60°．
其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，则可对③进行判断；再由平行线的性质得∠D＝∠DBF，由角平分线定义得∠DBF＝∠DBE，则∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以∠ABC＝∠CBE，则可对①进行判断；接着由BC平分∠ACD得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝∠CBE，根据平行线的判定即可得到AC∥BE，于是可对②进行判断；当∠DBF＝2∠ABC，3∠ABC＝90°，∠ABC＝30°，∠DBF＝60°，利用平行线的性质得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，又因为∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，当则可对④进行判断．
【解答】解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，即∠CBE+∠DBE＝90°，
∴∠BCD+∠D＝90°，所以③正确；
∵AF∥CD，
∴∠D＝∠DBF，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBF＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠BCE，
∵AB∥CE
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠CBE，
∴BC平分∠ABE，所以①正确；
∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∴AC∥BE，所以②正确；
当∠DBF＝2∠ABC时，3∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，
而∠D＝∠DBE＝∠DBF，
∠D≠∠BED，
∴∠DBF≠2∠ABC，
∴∠DBF≠60°．故④错误．
故正确的结论有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【变式3-1】（2022秋•伊川县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．
【分析】根据平行线的性质和判定即可解答．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2＝∠E，（两直线平行，内错角相等）
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2．（角平分线的定义）
∴∠1＝∠E．（等量代换）
∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴AB∥DC．（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝∠CFE．（两直线平行，同位角相等）
∴∠CFE＝∠E．（等量代换）
【点评】本题考查平行线的性质和判定、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-2】（2022春•凤泉区校级期末）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数．
【分析】（1）根据平行线想性质可得∠1＝∠DCB，进而可得∠2＝∠DCB，再根据平行线的判定可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠ADC＝90°，再根据平角的定义可得答案．
【解答】解：（1）EF∥DC，
理由：∵DG∥BC，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴EF∥CD；
（2）∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∵EF∥DC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠1＝56°，
∴∠ADG＝180°﹣90°﹣56°＝34°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
【变式3-3】（2022秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理即可说明．
【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），
∵∠5＝∠A（已知），
∴∠EDC＝∠A（等量代换），
∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠5+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），
即∠BCF+∠3＝180°，
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．
【变式3-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（垂直的定义），
故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
【变式3-5】（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只需推知∠A＝∠D即可；
（2）利用平行线的判定定理推知CE∥FB，然后由平行线的性质、等量代换推知∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．
【解答】证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）∵∠1+∠2＝180°，
又∵∠CGD+∠2＝180°，
∴∠CGD＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°．
又∵∠BEC＝2∠B+30°，
∴2∠B+30°+∠B＝180°，
∴∠B＝50°．
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
专 题 难 点 突 破 练
1、如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF，结合∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF（角平分线的定义）．
又∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠CAE+∠CAF）
＝116°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
【点评】本题考查了角平分线的定义、角的计算以及平行线的判定，根据各角之间的关系，找出∠BAD+∠B＝180°是解题的关键．
2．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．
【分析】利用平行线的性质和平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵AD//BC（ 已知 ），
∴∠DAC+∠ACB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝120° （已知），
∴∠ACB＝180°﹣120°＝60° （等式的性质）．
又∵∠ACF＝20° （已知），
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF//BC （同旁内角互补，两直线平行）．
∵AD∥BC （已知），
∴EF//AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+12∠4＝135°．其中，正确的结论有 ．（填序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°+12∠4，
∴∠3+12∠4＝135°，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
4．（2023•临川区校级一模）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BDC＝∠1，进而得出AE∥FC；
（2）根据AE∥FC，可得∠C+∠ABC＝180°，再根据∠A＝∠C，可得∠A+∠ABC＝180°，进而得出AD∥BC；
（3）根据BC平分∠EBD，可得∠3＝∠4，再根据平行线的性质，可得∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，进而得到∠5＝∠6，即DA平分∠BDF．
【解答】解：（1）AE与FC平行．
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°，
∴∠BDC＝∠1，
∴AE∥FC；
（2）AD与BC平行．
∵AE∥FC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（3）DA平分∠BDF．如图所示，
∵BC平分∠EBD，
∴∠3＝∠4，
∵AD∥BC，AB∥CD，∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∴DA平分∠BDF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
5．（2022秋•二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．
【分析】【提出问题】（1）根据平行线的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质即可得解；
【得出结论】结合（1）（2）得出结论；
【拓展应用】（3）根据“若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可；
（4）根据题意画出图形，可直接得出结论．
【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，
当x＝2x﹣60°时，
解得x＝60°，
此时两个角为60°，60°；
当x+2x﹣60°＝180°，
解得x＝80°，
则2x﹣60＝100°，
此时两个角为80°，100°；
∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．
（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【点评】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，依据∠BCD+∠ACE＝180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
7．（2022秋•郸城县校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
当DE∥AC时，如图②，∠CAE＝45°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°或45°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
【分析】（1）由题意可知∠ADC＝∠NBC，在△BOG和△COD中，利用三角形内角和求出∠BGO＝∠DCO＝90°即可得结论；
（2）再由角平分线的定义可得∠DHF=12∠ADM＝90°，再由（1）可得BE∥DF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠ADC＝∠NBC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵BE平分∠ABC的邻补角，
∴∠OBE＝∠NBE，
∴∠OBE＝CDO，
∵∠DOC＝∠BOE，
∴∠DCO＝∠OGB，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
∴DF⊥BE；
（2）过点D作DH平分∠ADC交BE于点H，
由（1）可知，DH⊥BE，
∵DF平分∠MDC，
∴∠MDF＝∠CDF，
∵BH平分∠ADC，
∴∠DHF=12∠ADM＝90°，
∴DH⊥BE，
∵DH⊥DF，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，四边形的内角和定理是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
解题技巧提炼
1、两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．
2、利用平行线的性质可以角的度数，证明两直线垂直等.
解题技巧提炼
1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3、平行线的判定与性质常常综合运用，见到角相等或互补就应该相等能否判定两直线平行，见到两直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.
◆◆1、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
◆◆2、平行线的判定方法：
（1）定义法：在同一平面内不相交 的两条直线互相平行．
（2）判定定理1：同位角相等，两直线平行．
（3）判定定理2：内错角相等，两直线平行．
（4）判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
◆◆3、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，内错角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
◆◆4、平行线的判定与性质的联系与区别．
区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
题型一 平行线的判定
【例题1】（2022•南京模拟）如图，以下条件能判定EG∥CH的是（ ）
A．∠FEB＝∠ECDB．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEF+∠HCE＝180°D．∠HCE＝∠CEG
【变式1-1】（2022春•隆阳区校级月考）如图所示，以下5个条件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】（2021秋•上蔡县校级期末）如图，下列条件能判断直线l1∥l2的有（ ）
①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022春•商城县期末）学习过平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【变式1-4】（2022秋•城关区校级期末）已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC．
【变式1-5】（2022秋•秦州区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12 （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12 ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【变式1-6】（2022秋•临汾期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．
求证：CE∥DF．
题型二 平行线的性质
【例题2】（2022秋•宣汉县校级期末）如图，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，则∠D＝（ ）
A．145°B．150°C．120°D．165°
【变式2-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【变式2-2】（2022春•梁子湖区期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【变式2-3】（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 度．
【变式2-4】（2022秋•明水县校级期末）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
【变式2-5】（2022秋•伊川县期末）如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．
（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数；
（2）求证：OG平分∠AOC．
题型三 平行线的判定与性质的综合运用
【例题3】（2022秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠BCD+∠D＝90°；
④∠DBF＝60°．
其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3-1】（2022秋•伊川县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．
【变式3-2】（2022春•凤泉区校级期末）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数．
【变式3-3】（2022秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
【变式3-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．
【变式3-5】（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
专 题 难 点 突 破 练
1、如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
2．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．
3．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+12∠4＝135°．其中，正确的结论有 ．（填序号）
4．（2023•临川区校级一模）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
5．（2022秋•二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．
6．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
7．（2022秋•郸城县校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 ．
8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
解题技巧提炼
本题考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
解题技巧提炼
1、两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．
2、利用平行线的性质可以角的度数，证明两直线垂直等.
解题技巧提炼
1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3、平行线的判定与性质常常综合运用，见到角相等或互补就应该相等能否判定两直线平行，见到两直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题：平行线的判定与性质的综合运用
◆◆1、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
◆◆2、平行线的判定方法：
（1）定义法：在同一平面内不相交 的两条直线互相平行．
（2）判定定理1：同位角相等，两直线平行．
（3）判定定理2：内错角相等，两直线平行．
（4）判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
◆◆3、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，内错角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
◆◆4、平行线的判定与性质的联系与区别．
区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
题型一 平行线的判定
【例题1】（2022•南京模拟）如图，以下条件能判定EG∥CH的是（ ）
A．∠FEB＝∠ECDB．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEF+∠HCE＝180°D．∠HCE＝∠CEG
【分析】根据内错角相等两直线平行判断即可；
【解答】解：A．∠FEB＝∠ECD，不能判断EG∥CH，不符合题意；
B．∠AEG＝∠DCH，没有∠AEC＝∠DCE的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；
C．∠GEF+∠HCE＝180°，没有点C、E、F共线的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；
D．∠HCE＝∠CEG，可判断EG∥CH，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相交线和平行线，掌握内错角相等两直线平行是解题关键．
【变式1-1】（2022春•隆阳区校级月考）如图所示，以下5个条件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：①∠B＝∠3可判断AD∥BC，而∠3≠∠4+∠5，故①错误；
②根据内错角相等，两直线平行可得∠2＝∠4可判定BC∥AD，故②正确；
③∠1＝∠5判断AB∥CD，故③错误；
④∠B＝∠3可判断AD∥BC，故④正确；
⑤∠D+∠4+∠5＝180°可判定BC∥AD，故⑤正确．
故能判定AD∥BC的有三个．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练应用判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【变式1-2】（2021秋•上蔡县校级期末）如图，下列条件能判断直线l1∥l2的有（ ）
①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
②∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
④∵∠2＝∠3，不能得到l1∥l2，故本条件不符合题意；
⑤∵∠6＝∠3+∠2不能得到l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
【变式1-3】（2022春•商城县期末）学习过平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件可得③∠3＝∠1可得AB∥CD；④∠4＝∠2，可得AB∥CD．
【解答】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；
将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；
∵AB⊥m，CD⊥m，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∵∠3＝∠1，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确．
∵∠4＝∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．
【变式1-4】（2022秋•城关区校级期末）已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC．
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义可得∠CAF的度数，进而可得∠CAF＝∠C，由平行线的判定即可得到EF∥BC．
【解答】证明：∵∠B＝80°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF＝50°，
∴∠C＝∠CAF，
∴EF∥BC．
【点评】本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的各种判定方法．
【变式1-5】（2022秋•秦州区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12 （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12 ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•临汾期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．
求证：CE∥DF．
【分析】根据题意和图形，可以在证明过程中写入相应的条件，本题得以解决．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，（已知）
∴∠DBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB．（角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB，（已知）
∴∠DBC＝∠ECB．（等量代换）
又∵∠DBF＝∠F，（已知）
∴∠ECB＝∠F．（等量代换）
∴CE∥DF．（同位角相等，两直线平行）
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型二 平行线的性质
【例题2】（2022秋•宣汉县校级期末）如图，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，则∠D＝（ ）
A．145°B．150°C．120°D．165°
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠C的度数，由DE∥CB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝35°，
又∵DE∥CB，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣35°＝145°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记平行线的各性质定理是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度数．
【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF＝65°，
∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【变式2-2】（2022春•梁子湖区期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：延长BC至G，如下图所示，
由题意得，AF∥BE，AD∥BC，
∵AF∥BE，
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵AD∥BC，
∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝∠1＝40°，
∵CD∥BE，
∴∠6＝∠4＝40°（两直线平行，同位角相等），
∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，
∴∠5＝∠6＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
【变式2-3】（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 30 度．
【分析】利用平行线的性质和光的反射原理可解此题．
【解答】解：要使反射光线DE∥AB，
则∠APD＝∠PDE，
∵∠APD＝120°，
∴∠PDE＝120°，
∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，
∴∠ADP＝∠CDE＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，
故答案为：30．
【点评】本本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练应用平行线的性质．
【变式2-4】（2022秋•明水县校级期末）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
【分析】由CD∥AB，∠CDO＝50°，∠DOB的度数，又由OE平分∠DOA，即可求得∠DOE的度数，然后由OE⊥OF，求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠CDO+∠DOB＝180°，
∴∠DOB＝180°﹣∠CDO＝180°﹣50°＝130°，
∵OE平分∠DOA，
∴∠DOE=12∠DOA＝65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠EOD＝25°．
【点评】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2-5】（2022秋•伊川县期末）如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．
（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数；
（2）求证：OG平分∠AOC．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂直的定义和角平分线的判定解答即可．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠C＝50°，
∴∠AOE＝130°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝65°，
∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝50°+65°＝115°；
（2）∵OG⊥OF，即∠GOF＝90°，
∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠EOF+∠COG＝90°，
∵∠AOF＝∠EOF，
∴∠AOG＝∠COG，
∴OG平分∠AOC．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠BOE＝∠C解答．
题型三 平行线的判定与性质的综合运用
【例题3】（2022秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠BCD+∠D＝90°；
④∠DBF＝60°．
其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，则可对③进行判断；再由平行线的性质得∠D＝∠DBF，由角平分线定义得∠DBF＝∠DBE，则∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以∠ABC＝∠CBE，则可对①进行判断；接着由BC平分∠ACD得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝∠CBE，根据平行线的判定即可得到AC∥BE，于是可对②进行判断；当∠DBF＝2∠ABC，3∠ABC＝90°，∠ABC＝30°，∠DBF＝60°，利用平行线的性质得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，又因为∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，当则可对④进行判断．
【解答】解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，即∠CBE+∠DBE＝90°，
∴∠BCD+∠D＝90°，所以③正确；
∵AF∥CD，
∴∠D＝∠DBF，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBF＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠BCE，
∵AB∥CE
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠CBE，
∴BC平分∠ABE，所以①正确；
∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∴AC∥BE，所以②正确；
当∠DBF＝2∠ABC时，3∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，
而∠D＝∠DBE＝∠DBF，
∠D≠∠BED，
∴∠DBF≠2∠ABC，
∴∠DBF≠60°．故④错误．
故正确的结论有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【变式3-1】（2022秋•伊川县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．
【分析】根据平行线的性质和判定即可解答．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2＝∠E，（两直线平行，内错角相等）
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2．（角平分线的定义）
∴∠1＝∠E．（等量代换）
∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴AB∥DC．（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝∠CFE．（两直线平行，同位角相等）
∴∠CFE＝∠E．（等量代换）
【点评】本题考查平行线的性质和判定、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-2】（2022春•凤泉区校级期末）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数．
【分析】（1）根据平行线想性质可得∠1＝∠DCB，进而可得∠2＝∠DCB，再根据平行线的判定可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠ADC＝90°，再根据平角的定义可得答案．
【解答】解：（1）EF∥DC，
理由：∵DG∥BC，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴EF∥CD；
（2）∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∵EF∥DC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠1＝56°，
∴∠ADG＝180°﹣90°﹣56°＝34°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
【变式3-3】（2022秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理即可说明．
【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），
∵∠5＝∠A（已知），
∴∠EDC＝∠A（等量代换），
∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠5+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），
即∠BCF+∠3＝180°，
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．
【变式3-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（垂直的定义），
故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
【变式3-5】（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只需推知∠A＝∠D即可；
（2）利用平行线的判定定理推知CE∥FB，然后由平行线的性质、等量代换推知∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．
【解答】证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）∵∠1+∠2＝180°，
又∵∠CGD+∠2＝180°，
∴∠CGD＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°．
又∵∠BEC＝2∠B+30°，
∴2∠B+30°+∠B＝180°，
∴∠B＝50°．
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
专 题 难 点 突 破 练
1、如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF，结合∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF（角平分线的定义）．
又∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠CAE+∠CAF）
＝116°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
【点评】本题考查了角平分线的定义、角的计算以及平行线的判定，根据各角之间的关系，找出∠BAD+∠B＝180°是解题的关键．
2．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．
【分析】利用平行线的性质和平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵AD//BC（ 已知 ），
∴∠DAC+∠ACB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝120° （已知），
∴∠ACB＝180°﹣120°＝60° （等式的性质）．
又∵∠ACF＝20° （已知），
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF//BC （同旁内角互补，两直线平行）．
∵AD∥BC （已知），
∴EF//AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+12∠4＝135°．其中，正确的结论有 ．（填序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°+12∠4，
∴∠3+12∠4＝135°，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
4．（2023•临川区校级一模）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BDC＝∠1，进而得出AE∥FC；
（2）根据AE∥FC，可得∠C+∠ABC＝180°，再根据∠A＝∠C，可得∠A+∠ABC＝180°，进而得出AD∥BC；
（3）根据BC平分∠EBD，可得∠3＝∠4，再根据平行线的性质，可得∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，进而得到∠5＝∠6，即DA平分∠BDF．
【解答】解：（1）AE与FC平行．
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°，
∴∠BDC＝∠1，
∴AE∥FC；
（2）AD与BC平行．
∵AE∥FC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（3）DA平分∠BDF．如图所示，
∵BC平分∠EBD，
∴∠3＝∠4，
∵AD∥BC，AB∥CD，∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∴DA平分∠BDF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
5．（2022秋•二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．
【分析】【提出问题】（1）根据平行线的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质即可得解；
【得出结论】结合（1）（2）得出结论；
【拓展应用】（3）根据“若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可；
（4）根据题意画出图形，可直接得出结论．
【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，
当x＝2x﹣60°时，
解得x＝60°，
此时两个角为60°，60°；
当x+2x﹣60°＝180°，
解得x＝80°，
则2x﹣60＝100°，
此时两个角为80°，100°；
∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．
（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【点评】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，依据∠BCD+∠ACE＝180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
7．（2022秋•郸城县校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
当DE∥AC时，如图②，∠CAE＝45°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°或45°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
【分析】（1）由题意可知∠ADC＝∠NBC，在△BOG和△COD中，利用三角形内角和求出∠BGO＝∠DCO＝90°即可得结论；
（2）再由角平分线的定义可得∠DHF=12∠ADM＝90°，再由（1）可得BE∥DF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠ADC＝∠NBC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵BE平分∠ABC的邻补角，
∴∠OBE＝∠NBE，
∴∠OBE＝CDO，
∵∠DOC＝∠BOE，
∴∠DCO＝∠OGB，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
∴DF⊥BE；
（2）过点D作DH平分∠ADC交BE于点H，
由（1）可知，DH⊥BE，
∵DF平分∠MDC，
∴∠MDF＝∠CDF，
∵BH平分∠ADC，
∴∠DHF=12∠ADM＝90°，
∴DH⊥BE，
∵DH⊥DF，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，四边形的内角和定理是解题的关键．
解题技巧提炼
本题考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
解题技巧提炼
1、两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．
2、利用平行线的性质可以角的度数，证明两直线垂直等.
解题技巧提炼
1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3、平行线的判定与性质常常综合运用，见到角相等或互补就应该相等能否判定两直线平行，见到两直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.
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