人教版七年级数学下册同步精讲精练9.1不等式(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练9.1不等式(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了1 不等式，5C．2D．2，5B．x＞4等内容，欢迎下载使用。


知识点一
不等式的定义
◆不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应.
知识点二
不等式的解（解集）与解不等式
◆1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
◆2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
◆3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
◆4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
◆5、在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法:
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
知识点三
不等式的性质
◆1、不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±c＞b±c；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或ac＞bc；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或ac＜bc；
◆2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
◆3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c．
知识点四
解简单的不等式
◆1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化．
◆2、应用时要注意把握两关：
①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
题型一 不等式的识别
【例题1】下列是不等式的是（ ）
A．x+yB．3x＞7C．2x+3＝5D．x3y2
【变式1-1】下列各式中，不等式有（ ）
①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】下列式子中：①2＜0；②2x﹣3＞0；③x＝2012；④x2﹣x；⑤x≠0；⑥x+3＞x+1，其中是不等式的有 （填序号）
【变式1-3】（2022秋•西湖区校级期中）以下表达式：①4x+3y≤0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-4】（2023春•灞桥区校级月考）在下列各式：①x2≠0；②|x|+1＞0；③x+2＜﹣5；④x+y＝3；⑤1x＜0，其中是不等式的是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．②③⑤
题型二 用不等式表示不等关系
【例题2】（2021秋•灌阳县期末）用不等式表示“x的5倍大于﹣7”的数量关系是（ ）
A．5x＜﹣7B．5x＞﹣7C．x＞7D．7x＜5
【变式2-1】（2022秋•桥西区校级期末）x是不大于5的数，则下列表示正确的是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤5
【变式2-2】（2022春•祁东县期末）x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）
A．12x+3＞0B．12x+3＜0C．12（x+3）＞0D．12（x+3）＜0
【变式2-3】（2021春•铁西区期中）“x的23与x的差不大于6”可以表示为（ ）
A．23x﹣x＜6B．23x﹣x＞6C．23x﹣x≤6D．23x﹣x≥6
【变式2-4】（2022春•滁州期末）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 ．
【变式2-5】（2021秋•江干区校级期中）用不等式表示“5a与6b的差是非正数” ．
【变式2-6】用不等式表示：
（1）2x与3y的差为非负数： ；
（2）a与b的12的和不超过2： ．
题型三 不等式的解与不等式的解集
【例题3】（2021秋•雁山区校级期末）下列各数中，是不等式x＞2解的是（ ）
A．3B．2C．0D．﹣1
【变式3-1】（2023春•西安月考）在﹣2，6，0，8，13，5中，是不等式x+3≤8的解的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式3-2】（2022春•大田县期中）若x＝3.5是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A．x＞5B．x＞4C．x＜4D．x＜3
【变式3-3】（2022秋•慈溪市校级期中）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解（ ）
A．2B．13C．−12D．﹣3
【变式3-4】（2022•南关区校级模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【变式3-5】（2021春•凌海市期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4
B．不等式x＜5的正整数解有无数多个
C．﹣20是不等式2x＜﹣8的一个解
D．不等式x＞﹣5的负整数解有有限个
题型四 在数轴上表示不等式的解集
【例题4】（2022秋•零陵区期末）不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】（2022秋•长兴县期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥1
【变式4-2】（2022春•吴江区期中）在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2022•荣昌区自主招生）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-4】（2021秋•新昌县期中）在数轴上表示下列不等式：
（1）x＞﹣2； （2）﹣1≤x＜3．
【变式4-5】写出下列各数轴上所表示的不等式的解集：
题型五 判断不等式的变形是否正确
【例题5】（2023春•北碚区校级期中）若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣a＜﹣bB．ac＞bcC．a+c＞b+cD．ac2＞bc2
【变式5-1】（2023春•定远县校级月考）若x+2023＞y+2023，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2x＜﹣2yB．1+x＜1+yC．3x＜3yD．5﹣x＞5﹣y
【变式5-2】（2023•桐乡市校级开学）已知实数a，b满足a＞b﹣1，则（ ）
A．a＞bB．b＞aC．a+2＞b+1D．b+1＞a+2
【变式5-3】（2023春•项城市月考）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+2＞b+2B．a﹣5＞b﹣5C．a3＞b3D．﹣3a＞﹣3b
【变式5-4】（2022秋•郴州期末）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．﹣2x＞﹣2y
C．x+2＞y+2D．x2022＞y2022
【变式5-5】（2023春•南海区校级期中）下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2B．若a＞b，则﹣a＜﹣b
C．若a＞b，则2a＞2bD．若a＞b，则ac2＞bc2
题型六 利用不等式的性质比较大小
【例题6】已知x1和x2是两个实数，且x1＞x2，试比较﹣3x1+2和﹣3x2+2的值的大小．
【变式6-1】若a＜b＜0，则﹣a ﹣b，|a| |b|，1a 1b．
【变式6-2】（2021春•青浦区校级期末）已知a＜b，且c+1＜0，则ac bc．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
【变式6-3】已知x＜y，试比较2x﹣8与2y﹣8的大小，并说明理由．
【变式6-4】（2021春•祥云县期末）阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A﹣B＞0，则A＞B；
若A﹣B＝0，则A＝B；
若A﹣B＜0，则A＜B．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较3与22−3的大小．
解：∵3−（22−3）
=3−22+3
＝23−22＞0，
∴3 22−3．
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）．
【变式6-5】（2022秋•余姚市期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a﹣b＞0，则a b；
（2）若a﹣b＝0，则a b；
（3）若a﹣b＜0，则a b．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
题型七 利用不等式的性质确定字母的取值范围
【例题7】（2021春•未央区校级月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范围．
【变式7-1】由不等式a＞b得到am＜条件是m 0．
【变式7-2】（2022春•常宁市期末）若x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范围是 ．
【变式7-3】（2022春•孟州市校级期中）欢欢由不等式（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，由此我们知道m的取值范围是 ．
【变式7-4】若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，求k的取值范围．
【变式7-5】（2021春•饶平县校级期末）已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜6m−1，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．
题型八 利用不等式的性质解简单不等式
【例题8】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x﹣1＞2；（2）﹣x＜56；（3）12x＜3．
【变式8-1】利用不等式的性质解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）﹣2x≥5； （2）﹣4x+12＜0．

【变式8-2】（2023春•项城市月考）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1； （2）﹣x﹣2＜7．
【变式8-3】根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3； （2）6x＜5x﹣1；
（3）12x＞5； （4）﹣4x＞3．
题型九 不等关系在实际生活的应用
、
【例题9】（2023春•西安月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（ ）
x≥4.5B．x＞4.5C．x≤4.5D．0＜x≤4.5
【变式9-1】（2022秋•金华期末）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【变式9-2】（2022春•香坊区校级期中）2021年2月3日是我国24节气中的立春，据天气预报报道，哈尔滨当天最高气温是﹣13℃，最低气温是﹣21℃，则当天哈市气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞13B．t≤﹣21C．﹣21＜t＜﹣13D．﹣21≤t≤﹣13
【变式9-3】（2022春•灌南县校级月考）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
A．x＝15，y＝30B．x＝10，y＝20C．x＝15，y＝20D．x＝10，y＝30
【变式9-4】（2021春•罗湖区校级期末）小亮从家到学校的路程为2400米，他早晨8时离开家，要在8时30分到8时50分之间到学校，如果用x表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为 ．
【变式9-5】（2022春•萍乡月考）江上某座桥桥头的限重标志如图，其中的“60t”表示该桥梁限制载重后总质量超过60t的车辆过桥梁，设一辆自重18t的卡车，其载重的质量为xt，
（1）若它要通过此座桥，则x应满足的关系为 （用含x的不等式表示）
（2）将（1）中所列的不等式化为“x≤a”或“x≥a”的形式．
【变式9-6】（2021春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，试比较新得到的两位数与原来的两位数的大小．
解题技巧提炼
判断一个式子是等式还是不等式要根据各自的概念，主要看连接两个式子的符号是什么，若用等号连接，则为等式；若用不等号连接，则为不等式.
解题技巧提炼
表示不等关系时，首先要明确应该用哪一个不等号来表示，解此类题的关键是将文字语言改成符号语言，并用代数式表示出来，表示时一定要抓住关键的词语，选择正确的不等号.
解题技巧提炼
1、用代入检验法判定某个数是否为不等式的解，方法是：直接将数代入不等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是不等式的解，反之，则不是. 2、不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
解题技巧提炼
在数轴上表示不等式的解集，首先要弄清“＞”“＜”“≥”“≤”的含义，含等号的用实心圆点，不含等号的用空心圆圈；其次方向一定不能弄错，即“大于开口向右，小于开口向左”.
解题技巧提炼
判断从一个不等式到另一个不等式的变形过程是否正确，其方法是判断出第二个不等式是由第一个不等式经过怎样的变形得到的，再确定每一步变形的依据，最后确定不等号是否需要改变方向.
解题技巧提炼
利用不等式的性质比较大小的方法是：作差比较法.
作差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
欲要证A＞B,只需证A﹣B＞0；欲要证A＜B,只需证A﹣B＜0
解题技巧提炼
不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向必须改变；当除以的一个数是字母常数时，要注意先判断这个字母常数的正负性，再确定是利用不等式的性质2还是性质3进行解答.
解题技巧提炼
利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化．易错点是利用不等式的性质3时不等号的方向要改变.
解题技巧提炼
此题考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依据题意列出不等式进行求解.
用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□
七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.1 不等式
知识点一
不等式的定义
◆不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应.
知识点二
不等式的解（解集）与解不等式
◆1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
◆2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
◆3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
◆4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
◆5、在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法:
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
知识点三
不等式的性质
◆1、不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±c＞b±c；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或ac＞bc；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或ac＜bc；
◆2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
◆3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c．
知识点四
解简单的不等式
◆1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化．
◆2、应用时要注意把握两关：
①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
题型一 不等式的识别
【例题1】下列是不等式的是（ ）
A．x+yB．3x＞7C．2x+3＝5D．x3y2
【分析】根据不等式的定义，逐项判断即可．
【解答】解：A、x+y是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意；
B、3x＞7是不等式，故此选项符合题意；
C、2x+3＝5是等式，故此选项不符合题意；
D、x3y2是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的定义．解题的关键是掌握不等式的定义．用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式1-1】下列各式中，不等式有（ ）
①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子，判断即可．
【解答】解：下列各式中，
①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3，
其中是不等式的有：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；④x≠2；⑤x+2＞y+3，
所以共有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【变式1-2】下列式子中：①2＜0；②2x﹣3＞0；③x＝2012；④x2﹣x；⑤x≠0；⑥x+3＞x+1，其中是不等式的有 （填序号）
【分析】要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②⑤⑥为不等式，共有4个．
故答案为：①②⑤⑥．
【点评】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
【变式1-3】（2022秋•西湖区校级期中）以下表达式：①4x+3y≤0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】据不等式的定义进行判断即可．
【解答】解：a+b、a＞3、x≠5是不等式，x2+xy和a2+b2＝c2不是不等式，
即不等式有3个，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．
【变式1-4】（2023春•灞桥区校级月考）在下列各式：①x2≠0；②|x|+1＞0；③x+2＜﹣5；④x+y＝3；⑤1x＜0，其中是不等式的是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．②③⑤
【分析】依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②③⑤为不等式，共有4个．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．
题型二 用不等式表示不等关系
【例题2】（2021秋•灌阳县期末）用不等式表示“x的5倍大于﹣7”的数量关系是（ ）
A．5x＜﹣7B．5x＞﹣7C．x＞7D．7x＜5
【分析】x的5倍可表示为5x，根据x的5倍大于﹣7，可得出不等式．
【解答】解：根据题意可得，5x＞﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【变式2-1】（2022秋•桥西区校级期末）x是不大于5的数，则下列表示正确的是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤5
【分析】本题考查了不等式的应用，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键，根据已知列出不等式即可．
【解答】解：∵x是不大于5的数，
∴x≤5．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键．
【变式2-2】（2022春•祁东县期末）x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）
A．12x+3＞0B．12x+3＜0C．12（x+3）＞0D．12（x+3）＜0
【分析】理解：和的一半，应先和，再一半；负数，即小于0．
【解答】解：根据题意，得
12（x+3）＜0．故选D．
【点评】找准关键字，把文字语言转换为数学语言．
【变式2-3】（2021春•铁西区期中）“x的23与x的差不大于6”可以表示为（ ）
A．23x﹣x＜6B．23x﹣x＞6C．23x﹣x≤6D．23x﹣x≥6
【分析】根据题意，可以用含x的不等式表示出“x的23与x的差不大于6”，本题得以解决．
【解答】解：“x的23与x的差不大于6”可以表示为23x﹣x≤6，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
【变式2-4】（2022春•滁州期末）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 ．
【分析】根据“x与y的2倍的和是正数”，即可得出关于x，y的不等式，此题得解．
【解答】解：依题意得：x+2y＞0．
故答案为：x+2y＞0．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
【变式2-5】（2021秋•江干区校级期中）用不等式表示“5a与6b的差是非正数” ．
【分析】由5a与6b的差是非正数，可得出关于a，b的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：依题意，得：5a﹣6b≤0．
故答案为：5a﹣6b≤0．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式是解题的关键．
【变式2-6】用不等式表示：
（1）2x与3y的差为非负数： ；
（2）a与b的12的和不超过2： ．
【分析】（1）根据2x与3y的差为非负数，即可列出不等式；
（2）根据a与b的12的和不超过2，即可列出不等式．
【解答】解：（1）依题意得：2x﹣3y≥0．
故答案为：2x﹣3y≥0；
（2）依题意得：a+12b≤2．
依题意得：a+12b≤2．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
题型三 不等式的解与不等式的解集
【例题3】（2021秋•雁山区校级期末）下列各数中，是不等式x＞2解的是（ ）
A．3B．2C．0D．﹣1
【分析】判断各个选项是否满足不等式的解即可．
【解答】解：四个选项中的数满足不等式x＞2的值只有3，
故选：A．
【点评】本题考查不等式解的概念，关键是明白解集的概念．
【变式3-1】（2023春•西安月考）在﹣2，6，0，8，13，5中，是不等式x+3≤8的解的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据一元一次不等式解法计算即可．
【解答】解：解不等式x+3≤8，
可得：x≤5，
所以，在﹣2，6，0，8，13，5中，是不等式x+3≤8的解的有﹣2，0，13，5共4个，
故选：B．
【点评】此题考查一元一次不等式解法，关键是根据一元一次不等式解法：移项、合并同类项和系数化为1计算即可．
【变式3-2】（2022春•大田县期中）若x＝3.5是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A．x＞5B．x＞4C．x＜4D．x＜3
【分析】利用不等式的解集的意义解答即可．
【解答】解：∵3.5＜4，
∴x＝3.5满足不等式x＜4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的解集，正确利用不等式的解集的意义解答是解题的关键．
【变式3-3】（2022秋•慈溪市校级期中）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解（ ）
A．2B．13C．−12D．﹣3
【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得x＜−12，
因为只有﹣3＜−12，
所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
【变式3-4】（2022•南关区校级模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根据x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解即可得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b，
因为x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，
所以b的值不可能是1．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据不等式的解的概念得出关于b的不等式并熟练掌握解一元一次不等式的能力．
【变式3-5】（2021春•凌海市期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4
B．不等式x＜5的正整数解有无数多个
C．﹣20是不等式2x＜﹣8的一个解
D．不等式x＞﹣5的负整数解有有限个
【分析】正确解出不等式的解集，就可以进行判断．
【解答】解：A、不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4，正确，不符合题意；
B、不等式x＜5的正整数解有4，3，2，1，故错误，符合题意；
C、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，包括﹣20，正确，不符合题意；
D、不等式x＞﹣5的负整数解有4个，正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用了不等式的性质，注意不等式的两边都除以或乘以同一个负数，不等号的方向改变．
题型四 在数轴上表示不等式的解集
【例题4】（2022秋•零陵区期末）不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可．
【解答】解：不等式x＞4的解集在数轴上表示，
故选：D．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．
【变式4-1】（2022秋•长兴县期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥1
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．
【解答】解：由题意，得：x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式4-2】（2022春•吴江区期中）在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【解答】解：∵不等式x≥﹣2中包含等于号，
∴必须用实心圆点，
∴可排除A、C，
∵不等式x≥﹣2中是大于等于，
∴折线应向右折，
∴可排除B．
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式4-3】（2022•荣昌区自主招生）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可得．
【解答】解：将不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示如下：
故选：D．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【变式4-4】（2021秋•新昌县期中）在数轴上表示下列不等式：
（1）x＞﹣2； （2）﹣1≤x＜3．
【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
（2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．
【解答】解：（1）将x＞﹣2表示在数轴上如下：
（2）将不等式组﹣1≤x＜3表示在数轴上如下：
．
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式4-5】写出下列各数轴上所表示的不等式的解集：
【分析】根据用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”写出答案即可．
【解答】解：（1）x＜3；
（2）x＞14；
（3）x≥﹣2；
（4）x≤13．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握“两定”．
题型五 判断不等式的变形是否正确
【例题5】（2023春•北碚区校级期中）若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣a＜﹣bB．ac＞bcC．a+c＞b+cD．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：a＜b，两边同时乘以一个小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A错误，不符合要求；
a＜b，两边同时除以一个小于0的值c，可得ac＞bc，故B正确，符合要求；
a＜b，两边同时加上c，可得a+c＜b+c，故C错误，不符合要求；
a＜b，两边同时乘以一个大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D错误，不符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
【变式5-1】（2023春•定远县校级月考）若x+2023＞y+2023，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2x＜﹣2yB．1+x＜1+yC．3x＜3yD．5﹣x＞5﹣y
【分析】根据已知x+2023＞y+2023，可得x＞y，然后利用不等式的性质，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵x+2023＞y+2023，
∴x＞y，
A、∵x＞y，∴﹣2x＜﹣2y，故A符合题意；
B、∵x＞y，∴1+x＞1+y，故B不符合题意；
C、∵x＞y，∴3x＞3y，故C不符合题意；
D、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴5﹣x＜5﹣y，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023•桐乡市校级开学）已知实数a，b满足a＞b﹣1，则（ ）
A．a＞bB．b＞aC．a+2＞b+1D．b+1＞a+2
【分析】根据不等式的基本性质，不等式的两边同时加上2，不等号的方向不变，即可求解．
【解答】解：∵a＞b﹣1，
∴a+2＞b﹣1+2，即a+2＞b+1，
∴C符合题意；
当a＝3，b＝3时，a＞b﹣1，
但a＝b，
故A、B不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023春•项城市月考）若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a+2＞b+2B．a﹣5＞b﹣5C．a3＞b3D．﹣3a＞﹣3b
【分析】根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
【解答】解：∵a＜b，
∴a+2＜b+2，
故A不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣5＜b﹣5，
故B不符合题意；
∵a＜b，
∴a3＜b3，
故C不符合题意；
∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式5-4】（2022秋•郴州期末）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．﹣2x＞﹣2y
C．x+2＞y+2D．x2022＞y2022
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、若x＞y，则x﹣1＞y﹣1，故本选项正确，不符合题意；
B、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故本选项错误，符合题意；
C、若x＞y，则x+2＞y+2，故本选项正确，不符合题意；
D、若x＞y，则x2022＞y2022，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式5-5】（2023春•南海区校级期中）下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+2＞b+2B．若a＞b，则﹣a＜﹣b
C．若a＞b，则2a＞2bD．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加2，不等式仍成立，即a+2＞b+2，正确，不符合题意；
B、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，即﹣a＜﹣b，正确，不符合题意；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b，正确，不符合题意；
D、当c＝0时，ac2＝bc2，原变形错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
题型六 利用不等式的性质比较大小
【例题6】已知x1和x2是两个实数，且x1＞x2，试比较﹣3x1+2和﹣3x2+2的值的大小．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；可得答案．
【解答】解：∵x1＞x2，
∴﹣3x1＜﹣3x2，
∴﹣3x1+2＜﹣3x2+2．
【点评】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
【变式6-1】若a＜b＜0，则﹣a ﹣b，|a| |b|，1a 1b．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得﹣a＞﹣b；
根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得|a|＞|b|．
根据不等式的性质3，由a＜b＜0，得1a＞1b．
故答案为：＞，＞，＞．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式6-2】（2021春•青浦区校级期末）已知a＜b，且c+1＜0，则ac bc．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
【分析】根据不等式的基本性质解决此题．
【解答】解：∵c+1＜0，
∴c＜﹣1．
∵a＜b，
∴ac＞bc．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
【变式6-3】已知x＜y，试比较2x﹣8与2y﹣8的大小，并说明理由．
【分析】根据不等式的性质2，可得2x与2y的关系，根据不等式的性质1，可得答案．
【解答】解；x＜y，
不等式的两边都乘以2，得
2x＜2y，
不等式的两边都减8得
2x﹣8＜2y﹣8．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都加或减同一个数，不等号的方向不变．
【变式6-4】（2021春•祥云县期末）阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A﹣B＞0，则A＞B；
若A﹣B＝0，则A＝B；
若A﹣B＜0，则A＜B．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较3与22−3的大小．
解：∵3−（22−3）
=3−22+3
＝23−22＞0，
∴3 22−3．
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）．
【分析】（1）根据“A﹣B＞0，则A＞B”作答；
（2）利用作差法进行解答．
【解答】解：（1）根据题意可知：若A﹣B＞0，
则A＞B，
∵3−（22−3）＝23−22＞0，
∴3＞22−3．
故答案为：＞；
（2）2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＝4a2﹣2ab+14+3a2+2ab﹣7＝7a2+7，
∵a2+1＞0，
∴7a2+7＞0．
∴2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＞0，
∴2（2a2﹣ab+7）＞﹣3a2﹣2ab+7．
【点评】本题考查不等式的性质和实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是解决本题的关键．
【变式6-5】（2022秋•余姚市期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a﹣b＞0，则a b；
（2）若a﹣b＝0，则a b；
（3）若a﹣b＜0，则a b．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
【分析】（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，等式的两边同时加上b即可；
（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
【解答】解：（1）因为a﹣b＞0，
所以a﹣b+b＞0+b，
即a＞b；
（2）因为a﹣b＝0，
所以a﹣b+b＝0+b，
即a＝b；
（3）因为a﹣b＜0，
所以a﹣b+b＜0+b，
即a＜b．
（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
＝b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
故答案为：＞、＝、＜．
【点评】（1）此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握．
题型七 利用不等式的性质确定字母的取值范围
【例题7】（2021春•未央区校级月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范围．
【分析】根据不等式性质3可得结果．
【解答】解：∵m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，
∴a﹣5＜0，
解得a＜5．
答：a的取值范围为a＜5．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
【变式7-1】由不等式a＞b得到am＜条件是m 0．
【分析】根据不等式的性质可以判断题目中的m的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：由不等式a＞b得到am＜bm的条件是m＜0，
故答案为：＜．bm的
【点评】本题考查不等式的性质，解答此类问题的关键是明确不等式的性质．
【变式7-2】（2022春•常宁市期末）若x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范围是 ．
【分析】根据不等式的性质1，可得答案．
【解答】解：x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范围是 a＞2，
故答案为；a＞2．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用了不等式的性质1．
【变式7-3】（2022春•孟州市校级期中）欢欢由不等式（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，由此我们知道m的取值范围是 ．
【分析】运用不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：∵（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故答案为：m＜3．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是看不等号的方向是否改变．
【变式7-4】若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，求k的取值范围．
【分析】根据不等式的性质不等式两边同除以一个负数，不等号方向改变，进而得出答案．
【解答】解：∵不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，
∴2k+1＜0，
解得：k＜−12．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
【变式7-5】（2021春•饶平县校级期末）已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜6m−1，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．
【分析】首先根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得m﹣1＜0，所以m＜1；然后判断出2﹣m的正负，求出|m﹣1|﹣|2﹣m|的值是多少即可．
【解答】解：因为（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜6m−1，
所以m﹣1＜0，m＜1，
所以2﹣m＞0，
所以|m﹣1|﹣|2﹣m|
＝（1﹣m）﹣（2﹣m）
＝1﹣m﹣2+m
＝﹣1
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出m﹣1＜0．
题型八 利用不等式的性质解简单不等式
【例题8】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x﹣1＞2；（2）﹣x＜56；（3）12x＜3．
【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变作答．
【解答】解：（1）x﹣1＞2；
x﹣1+1＞2+1，
可得：x＞3；
（2）﹣x＜56；
﹣x×（﹣1）＞56×(−1)，
可得：x＞−56；
（3）12x＜3．
12x×2＜3×2，
可得：x＜6．
【点评】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式8-1】利用不等式的性质解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）﹣2x≥5；
（2）﹣4x+12＜0．
【分析】（1）利用不等式的基本性质3，将x系数化为1求出解集，表示在数轴上即可；
（2）利用不等式的基本性质1移项，再利用不等式的基本性质3将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）不等式两边同时除以﹣2得：x≤−52；
（2）不等式两边同时减去12得：﹣4x+12﹣12＜0﹣12，
即﹣4x＜﹣12，
不等式两边同时除以﹣4得：x＞3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
【变式8-2】（2023春•项城市月考）将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x﹣1；
（2）﹣x﹣2＜7．
【分析】（1）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，求解即可；
（2）根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．
【解答】解：（1）两边同时减去4x，
得5x﹣4x＞4x﹣1﹣4x，
即x＞﹣1；
（2）两边同时加上2，
得﹣x＜9，
两边同时乘﹣1，
得x＞﹣9．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式8-3】根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3； （2）6x＜5x﹣1；
（3）12x＞5； （4）﹣4x＞3．
【分析】（1）根据不等式的性质1求出答案即可；
（2）根据不等式的性质1求出答案即可；
（3）根据不等式的性质2求出答案即可；
（4）根据不等式的性质3求出答案即可．
【解答】解：（1）∵x﹣2＜3，
∴x﹣2+2＜3+2，
∴x＜5；
（2）∵6x＜5x﹣1，
∴6x﹣5x＜5x﹣1﹣5x，
∴x＜﹣1；
（3）∵12x＞5，
∴12x•2＞5×2，
∴x＞10；
（4）∵﹣4x＞3，
∴−4x−4＜3−4，
∴x＜−34．
【点评】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
题型九 不等关系在实际生活的应用
、
【例题9】（2023春•西安月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（ ）
A．x≥4.5B．x＞4.5C．x≤4.5D．0＜x≤4.5
【分析】根据不等式的定义解决此题．
【解答】解：由题意可得，0＜x≤4.5．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
【变式9-1】（2022秋•金华期末）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．
【解答】解：根据≥的含义，“每100克内含钙＞150毫克”，就是“每100克内含钙高于150毫克”，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容．
【变式9-2】（2022春•香坊区校级期中）2021年2月3日是我国24节气中的立春，据天气预报报道，哈尔滨当天最高气温是﹣13℃，最低气温是﹣21℃，则当天哈市气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞13B．t≤﹣21C．﹣21＜t＜﹣13D．﹣21≤t≤﹣13
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：∵最高气温是﹣13℃，最低气温是﹣21℃，
∴当天哈市气温t（℃）的变化范围是﹣21℃≤t≤﹣13℃．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式9-3】（2022春•灌南县校级月考）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
A．x＝15，y＝30B．x＝10，y＝20C．x＝15，y＝20D．x＝10，y＝30
【分析】若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间．
【解答】解：若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间，
若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间，
所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间，
所以x＝10，y＝30．
故选：D．
【点评】本题考查了对有理数的除法运算的实际运用．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．
【变式9-4】（2021春•罗湖区校级期末）小亮从家到学校的路程为2400米，他早晨8时离开家，要在8时30分到8时50分之间到学校，如果用x表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为 ．
【分析】早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学校，即所用的时间是大于等于30分钟并且小于等于50分钟，设速度是x米/分，则时间是2400x分钟，根据以上的不等关系，就可以列出不等式组，求出x的范围．
【解答】解：由题意可得，30≤2400x≤50
解之得48≤x≤80．
故答案为：48≤x≤80．
【点评】本题考查了不等式的定义．解答此题关键是用代数式2400x，表示阳阳从家到校的时间，时间=路程速度．
【变式9-5】（2022春•萍乡月考）江上某座桥桥头的限重标志如图，其中的“60t”表示该桥梁限制载重后总质量超过60t的车辆过桥梁，设一辆自重18t的卡车，其载重的质量为xt，
（1）若它要通过此座桥，则x应满足的关系为 （用含x的不等式表示）
（2）将（1）中所列的不等式化为“x≤a”或“x≥a”的形式．
【分析】（1）设一辆自重18t的卡车，其载重的质量为xt，根据题意列不等式，即可得到结论；
（2）解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设一辆自重18t的卡车，其载重的质量为xt，
根据题意可得：18+x≤60，
故答案为：18+x≤60；
（2）18+x≤60，
移项得x≤60﹣18，
∴x≤42．
【点评】此题考查一元一次不等式问题，关键是根据题意列出不等式解答．
【变式9-6】（2021春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，试比较新得到的两位数与原来的两位数的大小．
【分析】先分别用a和b表示出原来的两位数和对调后的两位数，再用新得到的两位数减去原来的两位数，然后按照a＞b时、a＝b时、a＜b时分类计算即可．
【解答】解：∵原来的两位数为10b+a，新得到的两位数为10a+b
∴10a+b﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a
＝9（a﹣b）
∴当a＞b时，a﹣b＞0，则9（a﹣b）＞0，则新得到的两位数大于原来的两位数；
当a＝b时，a﹣b＝0，则9（a﹣b）＝0，则新得到的两位数等于原来的两位数；
当a＜b时，a﹣b＜0，则9（a﹣b）＜0，则新得到的两位数小于原来的两位数．
【点评】本题考查了不等式的性质在整式大小比较中的应用，根据题意正确列式并分类讨论是解题的关键．
解题技巧提炼
判断一个式子是等式还是不等式要根据各自的概念，主要看连接两个式子的符号是什么，若用等号连接，则为等式；若用不等号连接，则为不等式.
解题技巧提炼
表示不等关系时，首先要明确应该用哪一个不等号来表示，解此类题的关键是将文字语言改成符号语言，并用代数式表示出来，表示时一定要抓住关键的词语，选择正确的不等号.
解题技巧提炼
1、用代入检验法判定某个数是否为不等式的解，方法是：直接将数代入不等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是不等式的解，反之，则不是. 2、不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
解题技巧提炼
在数轴上表示不等式的解集，首先要弄清“＞”“＜”“≥”“≤”的含义，含等号的用实心圆点，不含等号的用空心圆圈；其次方向一定不能弄错，即“大于开口向右，小于开口向左”.
解题技巧提炼
判断从一个不等式到另一个不等式的变形过程是否正确，其方法是判断出第二个不等式是由第一个不等式经过怎样的变形得到的，再确定每一步变形的依据，最后确定不等号是否需要改变方向.
解题技巧提炼
利用不等式的性质比较大小的方法是：作差比较法.
作差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
欲要证A＞B,只需证A﹣B＞0；欲要证A＜B,只需证A﹣B＜0
解题技巧提炼
不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向必须改变；当除以的一个数是字母常数时，要注意先判断这个字母常数的正负性，再确定是利用不等式的性质2还是性质3进行解答.
解题技巧提炼
利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化．易错点是利用不等式的性质3时不等号的方向要改变.
解题技巧提炼
此题考查了不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依据题意列出不等式进行求解.
用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用．
规格：□□□□□□
贮藏：□□□□□□