人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：估算(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：估算(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了估算无理数的范围，已知估算的范围求值，估算无理数最接近的值，利用估算比较数的大小，无理数整数部分与小数部分问题等内容，欢迎下载使用。


题型一 估算无理数的范围
【例题1】（2022秋•儋州校级期末）无理数14的大小在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计27的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【变式1-3】（2011秋•淅川县期中）估算368的值是在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算32+1的值在（ ）
A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间
【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+15的值应在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【变式1-6】（2022秋•莲池区校级期末）估计18−3的值在（ ）
A．3到4 之间B．4到5之间C．1到2 之间D．2到3 之间
【变式1-7】（2022秋•南关区校级期末）估计56−5的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2−5介于（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．0和﹣1之间D．﹣1和﹣2之间
【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=4+5，则估计无理数x的范围正确的是（ ）
A．1＜x＜2B．2＜x＜3C．3＜x＜4D．4＜x＜5
【变式1-10】（2022秋•双牌县期末）满足−2＜x＜3的整数共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（ ）
A．5.0＜x＜5.2B．5.2＜x＜5.5C．5.5＜x＜5.7D．5.7＜x＜6.0
【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果m＝210−1，那么m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜5B．4＜m＜6C．5＜m＜6D．5＜m＜7
题型二 已知估算的范围求值
【例题2】（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足7＜a＜15，则整数a是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知n为整数，且40＜n＜50，则n等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2-2】（2022秋•镇平县期末）若5＜a＜3216，则整数a的值不可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜13＜n+1，则n的值为（ ）
A．1B．0C．2D．3
【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数n满足n＜213−2＜n+1，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m，n是两个连续的整数且m＜14＜n，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在−3与10之间的整数之和是 ．
【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜10＜n，则（m﹣n）2023的值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．1D．﹣1
【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足5−2≤x≤7−1，则x＝ ．
【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若a＜21＜b，且a，b是两个连续的正整数，则a+b的值是（ ）
A．9B．5C．4D．3
【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a＜23＜b，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根是 ．
【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a＜6+11＜b，则a+b的立方根为 ．
【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知a，b为两个连续的整数，且a＜−33＜b，则2a﹣3b＝ ．
【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+365≤x≤65+2，则x的值是 ．
题型三 估算无理数最接近的值
【例题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与37接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与5最接近的整数是 ．
【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与51最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-3】（2022•三门峡二模）数轴上与﹣3最接近的整数是 ．
【变式3-4】（2022秋•苏州期末）下列整数中，与(π−4)2最接近的是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+10最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-6】（2022春•泸县期末）与40−1最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-7】下列整数中，与13+3最接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6﹣15最接近的整数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[3]=1，[4.1]＝4，则满足[n]=5，则n的最大整数为 ．
【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
题型四 利用估算比较数的大小
【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比−3小的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．−12D．0
【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（ ）
A．369＞16B．−10＞3−27C．7−22＜12D．15＜25
【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将−2，6，23，11四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A．−2B．23C．6D．11
【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）已知：a=2−1，b=2−5，则a、b的大小关系为：a b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【变式4-4】通过估算比较大小：5−23 13；2+12 1；10−12 89．（填“＜”或“＞”）
【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：
（1）3−12，12； （2）15，3.85．
【变式4-6】通过估算比较大小：
（1）99−72与85 （2）310−13与13．
题型五 无理数整数部分与小数部分问题
【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝ ．
【变式5-1】（2022秋•尤溪县期末）实数7+2的小数部分是 ．
【变式5-2】（2022秋•明水县校级期末）如果3的小数部分为a，13的整数部分为b，则a+b−3= ．
【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期末）已知：2+3的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝ ．
【变式5-4】（2022秋•双峰县期末）若x表示5的整数部分，y表示它的小数部分，则(5+x)y的值为 ．
【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若5+10与5−10的小数部分分别为a，b，则a+b＝ ．
【变式5-6】（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是15的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是 ．
【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是37的整数部分，则mn的立方根为 ．
【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以2的小数部分我们不可能全部写出来，由于2的整数部分是1，将2减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此2的小数部分可用2−1表示．由此我们得到一个真命题：如果2=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y=2−1．
请解答下列问题：
（1）如果5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值；
（2）如果−5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，d的值；
（3）已知3+5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．
【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如4＜7＜9，即2＜7＜3，
∴7的整数部分为2，小数部分为7−2；
请解答：
（1）57的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果11的小数部分为a，7的整数部分为b，求|a﹣b|+11|的值；
（3）已知：9+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【变式5-10】（2022秋•沧州期末）已知一个正数a的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，c是15的整数部分．求：
（1）a，b，c的值；
（2）求2a+4b﹣c2的平方根．
【变式5-11】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，2是无理数，而1＜2＜2，所以2的整数部分是1，于是可用2−1来表示2的小数部分．
材料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b=−12．
根据以上材料，完成下列问题：
（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+3＜b，求a+b的算术平方根．
【变式5-12】（2022秋•烟台期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：因为4＜7＜9，即2＜7＜3，所以7的整数部分为2，小数部分为7−2．
请解答下列各题：
（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知9−17小数部分是m，9+17小数部分是n，且x2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
七年级下册数学《第六章 实数》
专题 估 算
题型一 估算无理数的范围
【例题1】（2022秋•儋州校级期末）无理数14的大小在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】先找离14最近的两个平方数，即9＜14＜16，即可得出14的范围．
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜14＜4；
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的估值，解题关键找到离14最近的两个平方数．
【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计27的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
【解答】解：∵25＜27＜36，
∴5＜27＜6，
∴估计27的值在5和6之间，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式1-3】（2011秋•淅川县期中）估算368的值是在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【分析】根据根式的性质得出364＜368＜3125，求出364、3125的值，代入即可．
【解答】解：∵364＜368＜3125，
∴4＜368＜5，
∴368在4和5之间．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，主要考查学生能否知道368的范围．
【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算32+1的值在（ ）
A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间
【分析】根据25＜32＜36，即5＜32＜6，可得．
【解答】解：∵5＜32＜6，
∴6＜32+1＜7，
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数大小的估算，解题的关键是会用夹逼法进行估算．
【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+15的值应在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【分析】先估算15，然后进一步估算3+15即可．
【解答】解：∵3＜15＜4，
∴6＜3+15＜7．
故估计3+15的值应在6和7之间．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
【变式1-6】（2022秋•莲池区校级期末）估计18−3的值在（ ）
A．3到4 之间B．4到5之间C．1到2 之间D．2到3 之间
【分析】首先得出4＜18＜5，进而求出结论．
【解答】解：∵16＜18＜25，
∴4＜18＜5，
∴18−3的值在1到2之间．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定11的范围．
【变式1-7】（2022秋•南关区校级期末）估计56−5的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：∵49＜56＜64，
∴7＜56＜8，
∴2＜56−5＜3，
∴估计56−5的值在2和3之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2−5介于（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．0和﹣1之间D．﹣1和﹣2之间
【分析】估算无理数5的大小，可得结论．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴﹣1＜2−5＜0，
∴2−5介于﹣1和0之间．
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=4+5，则估计无理数x的范围正确的是（ ）
A．1＜x＜2B．2＜x＜3C．3＜x＜4D．4＜x＜5
【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴4＜5＜9．
∴2＜5＜3．
∴4+2＜4+5＜4+9．
∵4=2，
∴4＜2+5＜5．
∵x=4+5，
∴4＜x＜5．
故选：D．
【点评】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握被开方数越大，其算术平方根越大是解决本题的关键．
【变式1-10】（2022秋•双牌县期末）满足−2＜x＜3的整数共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】先估算出−2和3的范围，再求出即可．
【解答】解：∵1＜2＜2，
∴﹣2＜−2＜−1，
∵1＜3＜2，
∴满足−2＜x＜3的整数有﹣1，0，1，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出−2和3的范围是解此题的关键．
【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（ ）
A．5.0＜x＜5.2B．5.2＜x＜5.5C．5.5＜x＜5.7D．5.7＜x＜6.0
【分析】利用正方形的面积＝边长×边长可得正方形边长x=31，再估算31的范围即可．
【解答】解：正方形边长x=31，
∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，
∵5.5＜31＜5.6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数．
【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果m＝210−1，那么m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜5B．4＜m＜6C．5＜m＜6D．5＜m＜7
【分析】先估算10在3与4之间，再根据m＝210−1，即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵3＜10＜4，
∴2×3﹣1＜210−1＜2×4﹣1，
即5＜210−1＜7，
∴m的取值范围是5＜m＜7．
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握题意确定无理数的整数部分是关键．
题型二 已知估算的范围求值
【例题2】（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足7＜a＜15，则整数a是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先计算(7)2=7，(15)2=15，然后看哪个平方数在7和15之间即可．
【解答】解：∵7＜9＜15，
∴7＜3＜15，
∴如果整数a满足7＜a＜15，则a的值是：3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知n为整数，且40＜n＜50，则n等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先估算出40与50的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵36＜40＜49，
∴6＜40＜7，
∵49＜50＜64，
∴7＜50＜8，
∵n为整数，且40＜n＜50，
∴n＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•镇平县期末）若5＜a＜3216，则整数a的值不可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由3216=6，2＜5＜3，5＜a＜3216，可求出符合条件a的整数．
【解答】解：∵3216=6，5＜a＜3216，
∴5＜a＜6，
∵2＜5＜3，
∴整数a的值可为3或4或5，
∴整数a的值不可能为2．
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握根式的运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜13＜n+1，则n的值为（ ）
A．1B．0C．2D．3
【分析】利用完全平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∵n为整数，n＜13＜n+1，
∴n＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数n满足n＜213−2＜n+1，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数213的大小，再由不等式的性质得出213−2的大小即可．
【解答】解：213=4×13=52，
∵49＜52＜64，即7＜52＜8，
∴5＜52−2＜6，
即5＜213−2＜6，
∵n＜213−2＜n+1，而n是自然数，
∴n＝5，
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m，n是两个连续的整数且m＜14＜n，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先估算出14的值的范围，从而求出m，n的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜14＜4，
∵m，n是两个连续的整数且m＜14＜n，
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝3+4＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在−3与10之间的整数之和是 ．
【分析】根据估算−3和10的近似值，可得−3和10之间的所有的整数，再求和即可．
【解答】解：∵22＞3＞12，32＜10＜42，
∴−2＜−3＜−1，3＜10＜4，
∴−3与10之间的所有的整数为﹣1、0、1、2，3；﹣1+0+1+2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了无理数的近似值，正确估计出无理数的近似值是解题关键．
【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜10＜n，则（m﹣n）2023的值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．1D．﹣1
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数10的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵3＜10＜4，而m＜10＜n，其中m，n为两个连续的整数，
∴m＝3，n＝4，
∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足5−2≤x≤7−1，则x＝ ．
【分析】先估算出5与7的值的范围，从而估算出5−2与7−1的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴0＜5−2＜1，
∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
∴1＜7−1＜2，
∵整数x满足5−2≤x≤7−1，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若a＜21＜b，且a，b是两个连续的正整数，则a+b的值是（ ）
A．9B．5C．4D．3
【分析】直接利用21的近似值得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a＜21＜b，且a，b为两个连续的正整数，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b=4+5=3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出21的取值范围是解题关键．
【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a＜23＜b，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根是 ．
【分析】根据16＜23＜25解答．
【解答】解：∵16＜23＜25，
∴4＜23＜5，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9，
∴a+b的平方根是±3．
【点评】本题考查了平方根，求出a、b的值是解题的关键．
【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a＜6+11＜b，则a+b的立方根为 ．
【分析】先估算出6的值的范围，从而估算出6+11的值的范围，然后求出a，b的值，最后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜6＜3，
∴13＜6+11＜14，
∵a，b为两个相连的整数，满足a＜6+11＜b，
∴a＝13，b＝14，
∴a+b＝27，
∴a+b的立方根为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知a，b为两个连续的整数，且a＜−33＜b，则2a﹣3b＝ ．
【分析】首先估算−33在﹣5和﹣6之间，然后可得a、b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵−36＜−33＜−25，
∴﹣6＜−33＜−5，
∴a＝﹣6，b＝﹣5，
∴2a﹣3b＝﹣12+15＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了估算无理数，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+365≤x≤65+2，则x的值是 ．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数365和65的大小，进而得出3+365和2+65的大小即可．
【解答】解：∵43＝64，，53＝125，而64＜65＜125，
∴4＜365＜5，
∴7＜3+365＜8，
又：∵82＝64，，92＝81，而64＜65＜81，
∴8＜65＜9，
∴10＜65+2＜11，
又∵整数x满足3+365≤x≤65+2，
∴x＝8或x＝9或x＝10，
故答案为：8或9或10．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确估算的前提．
题型三 估算无理数最接近的值
【例题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与37接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】直接利用已知得出接近37的有理数即可．
【解答】解：∵36＜37，
∴与37接近的是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键．
【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与5最接近的整数是 ．
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵4＜5＜6.25，
∴2＜5＜2.5，
∴与5最接近的整数是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与51最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先计算51位于哪两个相邻的整数之间，再确定51距离哪个整数的平方接近即可确定答案．
【解答】解：∵49＜51＜64，
∴49＜51＜64，
即7＜51＜8，
∵7.52＝56.25，51＜56.25，
∴与51最接近的整数是7．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式3-3】（2022•三门峡二模）数轴上与﹣3最接近的整数是 ．
【分析】3大约等于1.7，由此可得出本题的答案．
【解答】解：﹣3≈﹣1.7，
∴最接近的整数为-2．
故答案为：-2．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式3-4】（2022秋•苏州期末）下列整数中，与(π−4)2最接近的是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】由π﹣4＜0，结合二次根式的性质即可得出(π−4)2=4−π，从而可确定(π−4)2最接近的是1．
【解答】解：∵π﹣4＜0，
∴(π−4)2=4−π．
∵4﹣π最接近1，
∴与(π−4)2最接近的是1．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质．掌握a2=a(a≥0)−a(a＜0)是解题关键．
【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+10最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜10＜4，
∵3.52＝12.25，
∴3＜10＜3.5，
∴5＜2+10＜5.5，
∴与2+10最接近的整数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式3-6】（2022春•泸县期末）与40−1最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵36＜40＜42.25，
∴6＜40＜6.5，
∴5＜40−1＜5.5，
∴最接近的整数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式3-7】下列整数中，与13+3最接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先估算出13的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出13+3的取值范围即可．
【解答】解：∵3.62＜13＜3.72，
∴3.6＜13＜3.7，
∴3.6+3＜13+3＜3.7+3，
即6.6＜13+3＜6.7，
∴与13+3最接近的是7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6﹣15最接近的整数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用实数的大小比较来判断．
【解答】解：∵15最接近的数是4，
∴6﹣15最接近的整数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数，解题的关键是实数的大小比较．
【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[3]=1，[4.1]＝4，则满足[n]=5，则n的最大整数为 ．
【分析】由题意得：5＜n≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∵5≤n＜6，
∴25≤n＜36，
∴n的最大整数为35．
故答案为：35．
【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：18，
∵16＜18＜4.52，
∴4＜18＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．
题型四 利用估算比较数的大小
【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比−3小的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．−12D．0
【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案．
【解答】解：A、∵|﹣2|＝2，|−3|=3，
由2＞3，
∴﹣2＜−3，故此选项正确；
B、∵|﹣1|＝1，|−3|=3，
由1＜3，
∴﹣1＞−3，故此选项错误；
C、∵|−12|=12，|−3|=3，
由12＜3，
∴−12＞−3，故此选项错误；
D、0＞−3，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键．
【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（ ）
A．369＞16B．−10＞3−27C．7−22＜12D．15＜25
【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义估算各根式的大小，然后再比较大小即可．
【解答】解：A、因为64＜69，所以4＜369，由16=4，可知369＞16，故A正确，与要求不符；
B、3−27=−3，−10＜−9=−3，故−10＜3−27，故B错误，与要求相符；
C、7＜3，故此，7−2＜1，故此7−22＜12，则C正确，与要求不符；
D、25=20，15＜20，故D正确，与要求不符．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是实数大小比较，掌握无理数的大小的方法是解题的关键．
【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将−2，6，23，11四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A．−2B．23C．6D．11
【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论．
【解答】解：−2是负数，在原点的左侧，不符合题意；
23=12＞9=3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
4＜6＜9，即2＜6＜3，符合题意；，
11＞9，即11＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的范围是解题的关键．
【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）已知：a=2−1，b=2−5，则a、b的大小关系为：a b（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先判断a、b的正负，再比较它们的大小．
【解答】解：∵1＜2＜2，
∴a=2−1＞0，
∵2＜5＜3，
∴b＝2−5＜0，
∴a＞b，
故答案为：＞．
【点评】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小．
【变式4-4】通过估算比较大小：5−23 13；2+12 1；10−12 89．（填“＜”或“＞”）
【分析】先估算出各个数的范围，再比较大小．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴0＜5−2＜1，
∴5−23＜13；
∵1＜2＜2，
∴2＜2+1＜3，
∴2+12＞1；
∵3＜10＜4，
∴2＜10−1＜3，
∴10−12＞1，
∵89＜1，
∴10−12＞89，
故答案为：＜，＞，＞．
【点评】本题考查了实数大小比较的方法，估算出无理数的大小是解决本题的关键．
【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：
（1）3−12，12； （2）15，3.85．
【分析】（1）首先得出3的近似值，进而得出答案；
（2）首先求出3.852，进而比较即可．
【解答】解：（1）∵3≈1.73，
∴3−1＜1，
∴3−12＜12；
（2）∵3.852≈14.8，
∴15＞3.85．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确估算3的近似值是解题关键．
【变式4-6】通过估算比较大小：
（1）99−72与85 （2）310−13与13．
【分析】（1）先把99看作100得出99−72＜32，再比较32与85的大小，即可得出99−72与85的大小，
（2）把310看作38可得 310−13＞38−13，即310−13＞13．
【解答】解：（1）99−72＜100−72，即99−72＜32，
∵32=1510，85=1610，
∴32＜1610，
∴99−72＜85，
（2）310−13＞38−13，
∴310−13＞13．
【点评】此题主要考查了的是实数的大小比较，解题的关键是选择合适的被开方数．
题型五 无理数整数部分与小数部分问题
【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝ ．
【分析】先估算无理数3的大小，确定出x的值，再根据已知条件得出y的值，然后代入要求的式子进行计算即可．
【解答】解：∵1＜3＜2，x是整数，
∴x＝1，
∵3=x+y，
y=3−1，
∴xy=3−1．
故答案为：3−1．
【点评】本题考查估算无理数的大小，估算出3的大小是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•尤溪县期末）实数7+2的小数部分是 ．
【分析】先判断出7在那两个整数之间，再判断出7+2的整数，再用7+2减去它的整数部分，即可求出小数部分．
【解答】解：∵2＜7＜3，
∴4＜7+2＜5，
∴7+2的整数部分是4，
∴7+2的小数部分是7+2﹣4=7−2；
故答案为：7−2．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分．
【变式5-2】（2022秋•明水县校级期末）如果3的小数部分为a，13的整数部分为b，则a+b−3= ．
【分析】先估算出3和13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵1＜3＜2，3＜13＜4，
∴a=3−1，b＝3，
∴a+b−3
=3−1+3−3
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算出3和13的范围是关键．
【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期末）已知：2+3的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝ ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数3的大小，进而估算出2+3的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵1＜3＜2，
∴3＜2=3＜4，
∴2+3的整数部分m＝3，小数部分n＝2+3−3=3−1，
∴2m﹣n＝6−3+1＝7−3，
故答案为：7−3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确计算的关键．
【变式5-4】（2022秋•双峰县期末）若x表示5的整数部分，y表示它的小数部分，则(5+x)y的值为 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数5的大小，进而确定x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴5的整数部分x＝2，小数部分y=5−2，
∴(5+x)y
＝（5+2）（5−2）
＝5﹣4
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若5+10与5−10的小数部分分别为a，b，则a+b＝ ．
【分析】先估算出10的大小，再用含10的式子表示出a，b，然后代入计算即可．
【解答】解：∵3＜10＜4，
∴8＜5+10＜9，1＜5−10＜2，
∴a=5+10−8=10−3，b=5−10−1=4−10，
∴a+b=10−3+4−10=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、代数式求值以及二次根式的加减运算，求得a，b的值是解题的关键．
【变式5-6】（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是15的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是 ．
【分析】根据平方根、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a的立方根是2，b是15的整数部分，c是9的平方根，
∴a＝8，b＝3，c＝±3，
当a＝8，b＝3，c＝3时，a+b+c＝14，
∴a+b+c的算术平方根是 14；
当a＝8，b＝3，c＝﹣3，a+b+c＝8，
∴a+b+c的算术平方根是 8=22，
故答案为：14或22．
【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数的大小，理解平方根、立方根的定义、掌握估算无理数的大小的方法是正确解答的前提．
【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是37的整数部分，则mn的立方根为 ．
【分析】根据平方根的意义可得﹣2m＝﹣8，从而可得：m＝4，然后估算出37的值的范围，从而可得3n＝6，进而求出n的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵﹣2m是64的负的平方根，
∴﹣2m＝﹣8，
解得：m＝4，
∵36＜37＜49，
∴6＜37＜7，
∴37的整数部分是6，
∴3n＝6，
解得：n＝2，
∴mn＝4×2＝8，
∴mn的立方根为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以2的小数部分我们不可能全部写出来，由于2的整数部分是1，将2减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此2的小数部分可用2−1表示．由此我们得到一个真命题：如果2=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y=2−1．
请解答下列问题：
（1）如果5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值；
（2）如果−5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，d的值；
（3）已知3+5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．
【分析】（1）估算出2＜5＜3，依此即可确定出a，b的值；
（2）估算出2＜5＜3，可得﹣3＜−5＜−2，依此即可确定出c，d的值；
（3）根据题意确定出m与n的值，代入求出|m﹣n|即可．
【解答】解：（1）∵5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
2＜5＜3，
∴a＝2，b=5−2；
（2）∵−5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，
2＜5＜3，
﹣3＜−5＜−2，
∴c＝﹣3，d＝3−5；
（3）∵2+5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，
∴m＝4，n=5−2，
则|m﹣n|＝|4−5+2|＝6−5．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如4＜7＜9，即2＜7＜3，
∴7的整数部分为2，小数部分为7−2；
请解答：
（1）57的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果11的小数部分为a，7的整数部分为b，求|a﹣b|+11|的值；
（3）已知：9+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【分析】（1）估算出57的范围，即可得出答案；
（2）分别确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得到y的值，进而求出y的值，即可求出所求．
【解答】解：（1）∵7＜57＜8，
∴57的整数部分是7，小数部分是57−7．
故答案为：7，57−7．
（2）∵3＜11＜4，
∴a=11−3，
∵2＜7＜3，
∴b＝2，
∴|a﹣b|+11
=|11−3−2|+11
=5−11+11
＝5．
（3）∵2＜5＜3，
∴11＜9+5＜12，
∵9+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y=9+5−11=5−2，
∴x﹣y=11−(5−2)=13−5，
∴x﹣y的相反数是：5−13．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-10】（2022秋•沧州期末）已知一个正数a的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，c是15的整数部分．求：
（1）a，b，c的值；
（2）求2a+4b﹣c2的平方根．
【分析】（1）由平方根的性质知2a﹣5和2a+1互为相反数，可列式，解之可求得a的值；根据立方根定义可得b的值；根据3＜15＜4可得c的值；
（2）分别将a，b，c的值代入2a+4b﹣c2中，即可求得它的值及平方根．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，
∴2a﹣5+2a+1＝0，b＝8，
解得：a＝1，
则a的值是1，b的值是8；
∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∴15的整数部分是3，
∴c＝3，
综上所述，a＝1，b＝8，c＝3；
（2）∵a＝1，b＝8，c＝3，
∴2a+4b﹣c2＝2+32﹣9＝25，
∵25的平方根±5，
∴2a+4b﹣c2的平方根±5．
【点评】本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
【变式5-11】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，2是无理数，而1＜2＜2，所以2的整数部分是1，于是可用2−1来表示2的小数部分．
材料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b=−12．
根据以上材料，完成下列问题：
（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+3＜b，求a+b的算术平方根．
【分析】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；
（2）先估算出3的值的范围，从而估算出3+3的值的范围，进而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜17＜5，
∴17的整数部分是4，小数部分是17−4，
故答案为：4，17−4；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴4＜3+3＜5，
∵3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+3＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式5-12】（2022秋•烟台期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：因为4＜7＜9，即2＜7＜3，所以7的整数部分为2，小数部分为7−2．
请解答下列各题：
（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知9−17小数部分是m，9+17小数部分是n，且x2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
【分析】（1）类比题目中方法进行估算；
（2）先通过估算确定出m，n的值，再求解x．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
即4＜17＜5，
∴17的整数部分是4，小数部分是17−4，
故答案为：4，17−4；
（2）∵17的整数部分是4，
∴9−17小数部分是m＝9−17−4＝5−17，9+17小数部分是n＝9+17−13=17−4，
∴x2＝m+n＝5−17+17−4＝1，
∴x＝±1，
即满足条件的x的值是±1．
【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．