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高考物理一轮复习重难点逐个突破专题32天体质量密度的计算宇宙速度卫星的追及问题(原卷版+解析)
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这是一份高考物理一轮复习重难点逐个突破专题32天体质量密度的计算宇宙速度卫星的追及问题(原卷版+解析)，共20页。
考点一 和中心天体的质量密度有关的计算
1.利用万有引力知识只能求出中心天体的质量和密度，求不出环绕体的质量.
2.有关中心天体质量计算的方法
1）利用物体在天体表面的重力近似等于万有引力：mg＝Geq \f(Mm,R2)
3 .对均匀球体： ，
4.为便于分析和计算，与密度有关的选择题直接将Geq \f(Mm,R2)或Geq \f(Mm,r2)中的M表示为ρeq \f(4,3)πR3，其中r是M和m间的距离，R是中心天体的半径，当卫星绕中心天体表面运行时R=r.
1.有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A．eq \f(1,4) B．4倍
C．16倍D．64倍
2. （2020·全国Ⅱ卷·）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A. B. C. D.
3.(多选)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )
A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
4. （2020·全国Ⅲ卷）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A. B. C. D.
5．德国天文学家们曾于2008年证实，位于银河系中心，与地球相距2.6万光年的“人马座A”其实是一个质量超大的黑洞．假设银河系中心仅此一个黑洞，太阳系绕该黑洞中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量已知)( )
A．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期
B．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离
C．太阳系的运行速度和该黑洞的半径
D．太阳系绕该黑洞的公转周期和公转半径
6.(2021·河北卷)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的eq \f(1,10)，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A.eq \r(3,4) B. eq \r(3,\f(1,4)) C. eq \r(3,\f(5,2)) D. eq \r(3,\f(2,5))
7．观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现其每经过时间2t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示，已知引力常量为G，由此可推导出地球的质量为( )
A.eq \f(l3,4Gθt2) B.eq \f(2l3θ,Gt2) C.eq \f(l,4Gθt2) D.eq \f(2l2,Gθt2)
8.(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. eq \r(\f(RKg,Q)) B. eq \r(\f(RPKg,Q)) C. eq \r(\f(RQg,KP)) D. eq \r(\f(RPg,QK))
9.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
考点二 三个宇宙速度
1.第一宇宙速度：是最小的发射速度，是近地卫星的环绕速度，是最大的环绕速度，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
第二宇宙速度(脱离速度) ：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
第三宇宙速度(逃逸速度) ：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
2.以地球为例，如果抛出的物体不再落回地球的表面，那么抛出的最小速度等于地球的第一宇宙速度，也等于近地卫星的环绕速度，所以可以根据近地卫星来求抛出的最小速度.
10．关于地球的第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度
B．它是使卫星进入近地圆轨道的最大发射速度
C．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度
11．中国北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统．该系统由静止轨道卫星、中轨道卫星（离地高度约21000km）及其它轨道卫星组成．则（ ）
A．静止轨道卫星可定位在北京上空
B．中轨道卫星运行的线速度比同步轨道卫星线速度大
C．中轨道卫星周期可能大于 24 小时
D．静止轨道卫星的发射速度小于第一宇宙速度
12 ．（2022·河北邢台·模拟预测）2022年2月27日11时06分我国在文昌航天发射场使用长征八号运载火箭，以“1箭22星”方式，成功将泰景三号01卫星等22颗卫星发射升空。卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，卫星主要用于提供商业遥感信息、海洋环境监测、森林防火减灾等服务（ ）
A．火箭的发射速度应该大于7.9km/s
B．火箭发射过程中卫星不受地球吸引力
C．火箭发射的最初阶段卫星处于失重状态
D．若卫星的轨道为圆形，卫星进入轨道后的运行线速度大于11.2km/s
13 ．(多选)随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度为v0t
B．月球的质量为2v0R2Gt
C．宇航员在月球表面获得Rv0t的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为π2Rtv0
14 .(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2).下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的eq \f(\r(2),3)
15.(2022·永州三模)2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星。至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成。已知地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，该导航卫星为地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．该导航卫星运行速度大于第一宇宙速度
B．该导航卫星的发射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．该导航卫星在轨道运行时的加速度大小会小于质量较小的同步卫星加速度大小
D．该导航卫星的预定轨道离地高度为h＝ eq \r(3,\f(GM,ω2))
16.某星球的质量为M，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v0平抛一物体，经时间t该物体落到山坡上。欲使该物体不再落回星球的表面，求至少应以多大的速度抛出该物体？(不计一切阻力，引力常量为G)
考点三 两颗卫星在不同的圆轨道上运动时相距最近或最远的问题(追及问题)
1.同一中心天体的两颗卫星之间的距离有最近和最远时都处在通过中心天体球心的同一条直线上。如果它们初始时的位置在该直线上，当内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是再次出现最近或最远的时刻。分析时根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。
2.若从两颗卫星相距最近时开始计时
1)根据角度关系建立方程(ω1>ω2)
相距最近：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近。
相距最远：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体相距最远。
2)根据圈数关系建立方程(T1相距最近：eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝ n，(n＝1,2,3，…)。
相距最远：eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n－eq \f(1,2)，(n＝1,2,3，…)。
17.(多选)如图所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动，运行方向相同。A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（ ）
A．经过时间t=T1T2T2−T1，两行星将再次相距最近
B．经过时间t=T1+T2，两行星将再次相距最近
C．经过时间t=nT1T22T2−T1（n=1，3，5，…），两行星相距最远
D．经过时间t=nT1+T22（n=1，3，5，…），两行星相距最远
18．(多选)中国向世界公布了空间站的轨道参数让世界各国的卫星注意躲避，防止碰撞中国空间站。最值得注意的是马斯克的星链卫星，已经跟中国空间站发生过两次近距离接触了，分别发生在2021年的7月份和10月份，中国空间站进行了紧急规避。为了保护地球和人类安全，中国将组建近地小行星防御系统。假设“星链”系统中的某一卫星与中国空间站均在同一轨道平面内绕地球同方向做匀速圆周运动，它们运动的轨道离地高度分别为550km与400km，运行周期分别为T0与T（T0与T已知）；某一时刻它们相距最远，则下面正确的是（ ）
A．若星链卫星要降低到中国空间站的轨道上运行，必须要先加速后减速
B．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0T2T0−T
C．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0TT0−T
D．星链卫星与中国空间站再次相距最远的时间为T0TT0−T
19．（2022·辽宁丹东·二模）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道在同一平面内且绕行方向相同。若A离地面的高度为h，运行周期为T，根据观测记录可知，A观测B的最大张角θ=60°。设地球的半径为R，则下列说法中不正确的是（ ）
A．卫星B的运行轨道半径为R+ℎ2
B．卫星A与B的加速度之比为1：4
C．卫星A与B运行的周期之比为22:1
D．若某时刻卫星A和B相距最近，则再经过时间T，它们又相距最近
20.一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r＝2R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g.求：
(1)该卫星所在处的重力加速度；
(2)该卫星绕地球转动的角速度；
(3)若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间．
专题32 天体质量密度的计算 宇宙速度 卫星的追及问题
考点一 和中心天体的质量密度有关的计算
1.利用万有引力知识只能求出中心天体的质量和密度，求不出环绕体的质量.
2.有关中心天体质量计算的方法
1）利用物体在天体表面的重力近似等于万有引力：mg＝Geq \f(Mm,R2)
3 .对均匀球体： ，
4.为便于分析和计算，与密度有关的选择题直接将Geq \f(Mm,R2)或Geq \f(Mm,r2)中的M表示为ρeq \f(4,3)πR3，其中r是M和m间的距离，R是中心天体的半径，当卫星绕中心天体表面运行时R=r.
1.有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A．eq \f(1,4) B．4倍
C．16倍D．64倍
【答案】D
【解析】
天体表面的物体所受重力mg＝Geq \f(Mm,R2)，又知ρ＝eq \f(3M,4πR3)，所以M＝eq \f(9g3,16π2ρ2G3)，故 eq \f(M星,M地)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(g星,g地)))3＝64。D正确。
2. （2020·全国Ⅱ卷·）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则， ，
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期故A正确
3.(多选)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )
A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
【答案】AD
【解析】
根据h＝eq \f(1,2)gt2 得g＝eq \f(2h,t2)，则月球表面上该石块的重力G′＝mg＝meq \f(2h,t2)，故A正确；一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，同样有竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2，得g＝eq \f(2h,t2)，又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq \f(2hR2,Gt2)，因不知道月球半径，则求不出月球的质量，故B错误；从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，又M＝ρeq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3π,gT2)，故D正确。
4. （2020·全国Ⅲ卷）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为和的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有，
解得
设嫦娥四号卫星的质量为，根据万有引力提供向心力得
解得 故选D。
5 ．德国天文学家们曾于2008年证实，位于银河系中心，与地球相距2.6万光年的“人马座A”其实是一个质量超大的黑洞．假设银河系中心仅此一个黑洞，太阳系绕该黑洞中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量已知)( )
A．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期
B．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离
C．太阳系的运行速度和该黑洞的半径
D．太阳系绕该黑洞的公转周期和公转半径
【答案】D
【解析】
设太阳系的质量为m，该黑洞的质量为M，太阳系绕该黑洞做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，则Geq \f(M,r2)m＝meq \f(4π2,T2)r＝meq \f(v2,r)，解得该黑洞的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)＝eq \f(rv2,G)，则已知太阳系绕该黑洞的公转周期T和公转半径r，或者已知太阳系的运行速度v和公转半径r，可以估算出该黑洞的质量，故选D.
6.(2021·河北卷)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的eq \f(1,10)，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A.eq \r(3,4) B. eq \r(3,\f(1,4)) C. eq \r(3,\f(5,2)) D. eq \r(3,\f(2,5))
【答案】D
【解析】
物体绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，则T＝ eq \r(\f(4π2R3,GM))，R＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1，则飞船的轨道半径R飞＝ eq \r(3,\f(GM火（2T）2,4π2))＝ eq \r(3,\f(G×0.1M地×4×\f(4π2Req \\al(3,同),GM地),4π2))＝eq \r(3,\f(2,5))R同，则eq \f(R飞,R同)＝ eq \r(3,\f(2,5))。
7 ．观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现其每经过时间2t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示，已知引力常量为G，由此可推导出地球的质量为( )
A.eq \f(l3,4Gθt2) B.eq \f(2l3θ,Gt2) C.eq \f(l,4Gθt2) D.eq \f(2l2,Gθt2)
【答案】A
【解析】
“神舟十号”的线速度v＝eq \f(l,2t)，轨道半径r＝eq \f(l,θ)，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得地球的质量为M＝eq \f(l3,4Gθt2)，故选A.
8 .(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. eq \r(\f(RKg,Q)) B. eq \r(\f(RPKg,Q)) C. eq \r(\f(RQg,KP)) D. eq \r(\f(RPg,QK))
【答案】D
【解析】
假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有G eq \f(Mm,R2) ＝mg，G eq \f(\f(M,Q)m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,P)))\s\up12(2)) ＝m0g′，解得g′＝ eq \f(P2,Q) g，设嫦娥四号卫星的质量为m1，根据万有引力提供向心力得G eq \f(\f(M,Q)m1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(K\f(R,P)))\s\up12(2)) ＝m1 eq \f(v2,K\f(R,P)) ，解得v＝ eq \r(\f(RPg,QK)) ，故选D。
9 .假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
【答案】1)eq \f(3πR＋h3,GT12R3) (2)eq \f(3π,GT22)
【解析】
设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T12)(R＋h)，则有M＝eq \f(4π2R＋h3,GT12)
天体的体积为V＝eq \f(4,3)πR3
故该天体的密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R＋h3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πR＋h3,GT12R3)
(2)卫星贴近天体表面运动时有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T22)R，则有M＝eq \f(4π2R3,GT22)
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22).
考点二 三个宇宙速度
1.第一宇宙速度：是最小的发射速度，是近地卫星的环绕速度，是最大的环绕速度，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
第二宇宙速度(脱离速度) ：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
第三宇宙速度(逃逸速度) ：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
2.以地球为例，如果抛出的物体不再落回地球的表面，那么抛出的最小速度等于地球的第一宇宙速度，也等于近地卫星的环绕速度，所以可以根据近地卫星来求抛出的最小速度.
10 ．关于地球的第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度
B．它是使卫星进入近地圆轨道的最大发射速度
C．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度
【答案】A
【解析】
地球第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星在地球表面轨道处的运行速度，即人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度，卫星在不同椭圆轨道上运行时，近地点的速度不一样，远地点的速度也不一样，所以第一宇宙速度不是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度，也不是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度，A正确，BCD错误；
11．中国北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统．该系统由静止轨道卫星、中轨道卫星（离地高度约21000km）及其它轨道卫星组成．则（ ）
A．静止轨道卫星可定位在北京上空
B．中轨道卫星运行的线速度比同步轨道卫星线速度大
C．中轨道卫星周期可能大于 24 小时
D．静止轨道卫星的发射速度小于第一宇宙速度
【答案】B
【解析】
A．静止轨道卫星相对于地球是静止的，卫星轨道都与赤道共面，故不可能在北京上空，故A错误；
B．卫星绕地球做圆周运动，轨道半径越大，其运行速度越小，中地球轨道卫星比同步卫星离地心更近，故中轨道卫星比同步卫星线速度大，故B正确；
C．卫星的轨道半径越大，周期越长，所以中轨道卫星的运行周期小于地球同步卫星运行周期，小于24小时，故C错误；
D．第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球圆周运动的最大速度，是卫星发射的最小速度，故D错误．
12 ．（2022·河北邢台·模拟预测）2022年2月27日11时06分我国在文昌航天发射场使用长征八号运载火箭，以“1箭22星”方式，成功将泰景三号01卫星等22颗卫星发射升空。卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，卫星主要用于提供商业遥感信息、海洋环境监测、森林防火减灾等服务（ ）
A．火箭的发射速度应该大于7.9km/s
B．火箭发射过程中卫星不受地球吸引力
C．火箭发射的最初阶段卫星处于失重状态
D．若卫星的轨道为圆形，卫星进入轨道后的运行线速度大于11.2km/s
【答案】A
【解析】
A．7.9km/s是第一宇宙速度，为发射卫星的最小速度，故A正确；
B．火箭发射过程中卫星仍受地球吸引力，且随高度增大越来越小，故B错误；
C．火箭发射的最初阶段，卫星在向上加速，处于超重状态，故C错误；
D．若卫星的速度大于11.2km/s，则会逃逸出地球的引力场，故D错误。
13 ．(多选)随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度为v0t
B．月球的质量为2v0R2Gt
C．宇航员在月球表面获得Rv0t的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为π2Rtv0
【答案】BD
【解析】
A．小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动规律有t=2v0g月
可得g月=2v0t故A错误；
B．物体在月球表面上时，由重力等于地月球的万有引力有GMmR2=mg月
可得月球的质量为M=g月R2G=2v0R2Gt故B正确；
C．宇航员离开月球表面，围绕月球做圆周运动至少应获得的速度大小等于月球的第一宇宙速度大小，根据万有引力提供向心力则有GMmR2=mv2R
可得v=GMR=2v0Rt故C错误；
宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，
根据万有引力提供向心力则有GMmR2=4π2mRT2
可得T=π2Rtv0故D正确；
14 .(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2).下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的eq \f(\r(2),3)
【答案】CD
【解析】
根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝eq \f(M地,9)，R火＝eq \f(R地,2)，
则eq \f(vm,v1)＝eq \r(\f(GM火,R火))∶eq \r(\f(GM地,R地))＝eq \f(\r(2),3).
15.(2022·永州三模)2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星。至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成。已知地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，该导航卫星为地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．该导航卫星运行速度大于第一宇宙速度
B．该导航卫星的发射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．该导航卫星在轨道运行时的加速度大小会小于质量较小的同步卫星加速度大小
D．该导航卫星的预定轨道离地高度为h＝ eq \r(3,\f(GM,ω2))
【答案】B
【解析】
卫星绕地球转动时万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可知Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，变形可得v＝ eq \r(\f(GM,r))，由该公式可知轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度在数值上等于卫星绕地球表面转动时的环绕速度，该导航卫星轨道半径大于地球半径，所以其速度小于第一宇宙速度，故A错误；第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，第二宇宙速度指卫星摆脱地球引力最小发射速度，该导航卫星绕地球转动，没有摆脱地球引力，所以其发射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，B正确；卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可知Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知加速度大小与卫星质量无关，C错误；卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可知Geq \f(Mm,r2)＝mrω2，由几何关系可知r＝R＋h，联立可得h＝ eq \r(3,\f(GM,ω2))－R，D错误。
16.某星球的质量为M，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v0平抛一物体，经时间t该物体落到山坡上。欲使该物体不再落回星球的表面，求至少应以多大的速度抛出该物体？(不计一切阻力，引力常量为G)
【答案】eq \r(4,\f(2GMv0tan θ,t))
【解析】
由题意可知，要求该星球上的“近地卫星”的绕行速度，即第一宇宙速度。设该星球表面处的重力加速度为g，
由平抛运动规律可得tan θ＝eq \f(1,2)gt2/v0t ∴g＝eq \f(2v0,t)tan θ①
对于该星球表面上的物体有：Geq \f(Mm,R2)＝mg = 2 \* GB3 ②
联立① = 2 \* GB3 ②解得R＝eq \r(\f(GMt,2v0tan θ)) = 3 \* GB3 ③
对于绕该星球做匀速圆周运动的“近地卫星”，应有：m′g＝m′eq \f(v2,R) = 4 \* GB3 ④
解得：v＝ eq \r(4,\f(2GMv0tan θ,t))。
考点三 两颗卫星在不同的圆轨道上运动时相距最近或最远的问题(追及问题)
1.同一中心天体的两颗卫星之间的距离有最近和最远时都处在通过中心天体球心的同一条直线上。如果它们初始时的位置在该直线上，当内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是再次出现最近或最远的时刻。分析时根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。
2.若从两颗卫星相距最近时开始计时
1)根据角度关系建立方程(ω1>ω2)
相距最近：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近。
相距最远：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体相距最远。
2)根据圈数关系建立方程(T1相距最近：eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝ n，(n＝1,2,3，…)。
相距最远：eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n－eq \f(1,2)，(n＝1,2,3，…)。
17.(多选)如图所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动，运行方向相同。A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（ ）
A．经过时间t=T1T2T2−T1，两行星将再次相距最近
B．经过时间t=T1+T2，两行星将再次相距最近
C．经过时间t=nT1T22T2−T1（n=1，3，5，…），两行星相距最远
D．经过时间t=nT1+T22（n=1，3，5，…），两行星相距最远
【答案】AC
【解析】
AB．当A、B再次相距最近时，即A比B多运动一圈，设经过时间t二者再次相距最近，
有tT1−tT2=1
解得t=T1T2T2−T1故A正确，B错误；
CD．当A、B相距最远时，即A比B多运动n2（n=1，3，5，…）圈，设经过的时间为t′，
有t′T1−t′T2=n2（n=1，3，5，…）
解得t′=nT1T22T2−T1（n=1，3，5，…）故C正确，D错误。
18．(多选)中国向世界公布了空间站的轨道参数让世界各国的卫星注意躲避，防止碰撞中国空间站。最值得注意的是马斯克的星链卫星，已经跟中国空间站发生过两次近距离接触了，分别发生在2021年的7月份和10月份，中国空间站进行了紧急规避。为了保护地球和人类安全，中国将组建近地小行星防御系统。假设“星链”系统中的某一卫星与中国空间站均在同一轨道平面内绕地球同方向做匀速圆周运动，它们运动的轨道离地高度分别为550km与400km，运行周期分别为T0与T（T0与T已知）；某一时刻它们相距最远，则下面正确的是（ ）
A．若星链卫星要降低到中国空间站的轨道上运行，必须要先加速后减速
B．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0T2T0−T
C．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0TT0−T
D．星链卫星与中国空间站再次相距最远的时间为T0TT0−T
【答案】BD
【解析】
A．若星链卫星要降低到中国空间站的轨道上运行，必须要减速，做近心运动，A错误；
BC．星链卫星与中国空间站从相距最远到再次相距最近的时间（设为t）内，中国空间站比星链卫星多转半圈，即tT−tT0=12
解得星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为t=T0T2T0−TB正确，C错误；
D．设星链卫星与中国空间站再次相距最远的时间为t′，可得t′T−t′T0=1
解得t′=T0TT0−TD正确。
19．（2022·辽宁丹东·二模）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道在同一平面内且绕行方向相同。若A离地面的高度为h，运行周期为T，根据观测记录可知，A观测B的最大张角θ=60°。设地球的半径为R，则下列说法中不正确的是（ ）
A．卫星B的运行轨道半径为R+ℎ2
B．卫星A与B的加速度之比为1：4
C．卫星A与B运行的周期之比为22:1
D．若某时刻卫星A和B相距最近，则再经过时间T，它们又相距最近
【答案】D
【解析】
A．卫星B的运行轨道半径为rB=rAsin30° rA=R+ℎ
解得rB=R+ℎ2 A正确，不符合题意；
B．根据牛顿第二定律得 GMmArA2=mAaA GMmBrB2=mBaB
解得 卫星A与B的加速度之比为 aA:aB=1:4 B正确，不符合题意；
C．根据牛顿第二定律得 GMmArA2=mA4π2TA2rA GMmBrB2=mB4π2TB2rB
解得 TATB=221 C正确，不符合题意；
D．若某时刻卫星A和B相距最近，设再经过时间t，它们又相距最近 2πTBt−2πTAt=2π
解得 t=22+17T D错误，符合题意。
故选D。
20.一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r＝2R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g.求：
(1)该卫星所在处的重力加速度；
(2)该卫星绕地球转动的角速度；
(3)若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间．
【答案】(1)eq \f(g,4) (2)eq \r(\f(g,8R)) (3)eq \f(2π,\r(\f(g,8R))－ω0)
【解析】
(1)忽略地球自转的影响，在地球表面处物体受到的重力近似等于万有引力，
m0g＝eq \f(Gm地m0,R2)(2分)
在轨道半径为r＝2R处，卫星所受万有引力等于其重力，mg′＝eq \f(Gm地m,2R2)(2分)
联立解得：g′＝eq \f(g,4)(1分)
(2)卫星所受万有引力提供其做圆周运动的向心力，
有：eq \f(Gm地m,2R2)＝mω2·2R(2分)
结合(1)中式子可得ω＝eq \r(\f(g,8R))(2分)
(3)卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，且卫星的转动方向与地球自转方向相同，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空，
即ωΔt－ω0Δt＝2π(3分)
解得：Δt＝eq \f(2π,\r(\f(g,8R))－ω0)(2分)
考点一 和中心天体的质量密度有关的计算
1.利用万有引力知识只能求出中心天体的质量和密度，求不出环绕体的质量.
2.有关中心天体质量计算的方法
1）利用物体在天体表面的重力近似等于万有引力：mg＝Geq \f(Mm,R2)
3 .对均匀球体： ，
4.为便于分析和计算，与密度有关的选择题直接将Geq \f(Mm,R2)或Geq \f(Mm,r2)中的M表示为ρeq \f(4,3)πR3，其中r是M和m间的距离，R是中心天体的半径，当卫星绕中心天体表面运行时R=r.
1.有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A．eq \f(1,4) B．4倍
C．16倍D．64倍
2. （2020·全国Ⅱ卷·）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A. B. C. D.
3.(多选)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )
A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
4. （2020·全国Ⅲ卷）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A. B. C. D.
5．德国天文学家们曾于2008年证实，位于银河系中心，与地球相距2.6万光年的“人马座A”其实是一个质量超大的黑洞．假设银河系中心仅此一个黑洞，太阳系绕该黑洞中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量已知)( )
A．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期
B．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离
C．太阳系的运行速度和该黑洞的半径
D．太阳系绕该黑洞的公转周期和公转半径
6.(2021·河北卷)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的eq \f(1,10)，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A.eq \r(3,4) B. eq \r(3,\f(1,4)) C. eq \r(3,\f(5,2)) D. eq \r(3,\f(2,5))
7．观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现其每经过时间2t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示，已知引力常量为G，由此可推导出地球的质量为( )
A.eq \f(l3,4Gθt2) B.eq \f(2l3θ,Gt2) C.eq \f(l,4Gθt2) D.eq \f(2l2,Gθt2)
8.(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. eq \r(\f(RKg,Q)) B. eq \r(\f(RPKg,Q)) C. eq \r(\f(RQg,KP)) D. eq \r(\f(RPg,QK))
9.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
考点二 三个宇宙速度
1.第一宇宙速度：是最小的发射速度，是近地卫星的环绕速度，是最大的环绕速度，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
第二宇宙速度(脱离速度) ：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
第三宇宙速度(逃逸速度) ：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
2.以地球为例，如果抛出的物体不再落回地球的表面，那么抛出的最小速度等于地球的第一宇宙速度，也等于近地卫星的环绕速度，所以可以根据近地卫星来求抛出的最小速度.
10．关于地球的第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度
B．它是使卫星进入近地圆轨道的最大发射速度
C．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度
11．中国北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统．该系统由静止轨道卫星、中轨道卫星（离地高度约21000km）及其它轨道卫星组成．则（ ）
A．静止轨道卫星可定位在北京上空
B．中轨道卫星运行的线速度比同步轨道卫星线速度大
C．中轨道卫星周期可能大于 24 小时
D．静止轨道卫星的发射速度小于第一宇宙速度
12 ．（2022·河北邢台·模拟预测）2022年2月27日11时06分我国在文昌航天发射场使用长征八号运载火箭，以“1箭22星”方式，成功将泰景三号01卫星等22颗卫星发射升空。卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，卫星主要用于提供商业遥感信息、海洋环境监测、森林防火减灾等服务（ ）
A．火箭的发射速度应该大于7.9km/s
B．火箭发射过程中卫星不受地球吸引力
C．火箭发射的最初阶段卫星处于失重状态
D．若卫星的轨道为圆形，卫星进入轨道后的运行线速度大于11.2km/s
13 ．(多选)随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度为v0t
B．月球的质量为2v0R2Gt
C．宇航员在月球表面获得Rv0t的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为π2Rtv0
14 .(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2).下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的eq \f(\r(2),3)
15.(2022·永州三模)2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星。至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成。已知地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，该导航卫星为地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．该导航卫星运行速度大于第一宇宙速度
B．该导航卫星的发射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．该导航卫星在轨道运行时的加速度大小会小于质量较小的同步卫星加速度大小
D．该导航卫星的预定轨道离地高度为h＝ eq \r(3,\f(GM,ω2))
16.某星球的质量为M，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v0平抛一物体，经时间t该物体落到山坡上。欲使该物体不再落回星球的表面，求至少应以多大的速度抛出该物体？(不计一切阻力，引力常量为G)
考点三 两颗卫星在不同的圆轨道上运动时相距最近或最远的问题(追及问题)
1.同一中心天体的两颗卫星之间的距离有最近和最远时都处在通过中心天体球心的同一条直线上。如果它们初始时的位置在该直线上，当内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是再次出现最近或最远的时刻。分析时根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。
2.若从两颗卫星相距最近时开始计时
1)根据角度关系建立方程(ω1>ω2)
相距最近：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近。
相距最远：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体相距最远。
2)根据圈数关系建立方程(T1
相距最远：eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n－eq \f(1,2)，(n＝1,2,3，…)。
17.(多选)如图所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动，运行方向相同。A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（ ）
A．经过时间t=T1T2T2−T1，两行星将再次相距最近
B．经过时间t=T1+T2，两行星将再次相距最近
C．经过时间t=nT1T22T2−T1（n=1，3，5，…），两行星相距最远
D．经过时间t=nT1+T22（n=1，3，5，…），两行星相距最远
18．(多选)中国向世界公布了空间站的轨道参数让世界各国的卫星注意躲避，防止碰撞中国空间站。最值得注意的是马斯克的星链卫星，已经跟中国空间站发生过两次近距离接触了，分别发生在2021年的7月份和10月份，中国空间站进行了紧急规避。为了保护地球和人类安全，中国将组建近地小行星防御系统。假设“星链”系统中的某一卫星与中国空间站均在同一轨道平面内绕地球同方向做匀速圆周运动，它们运动的轨道离地高度分别为550km与400km，运行周期分别为T0与T（T0与T已知）；某一时刻它们相距最远，则下面正确的是（ ）
A．若星链卫星要降低到中国空间站的轨道上运行，必须要先加速后减速
B．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0T2T0−T
C．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0TT0−T
D．星链卫星与中国空间站再次相距最远的时间为T0TT0−T
19．（2022·辽宁丹东·二模）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道在同一平面内且绕行方向相同。若A离地面的高度为h，运行周期为T，根据观测记录可知，A观测B的最大张角θ=60°。设地球的半径为R，则下列说法中不正确的是（ ）
A．卫星B的运行轨道半径为R+ℎ2
B．卫星A与B的加速度之比为1：4
C．卫星A与B运行的周期之比为22:1
D．若某时刻卫星A和B相距最近，则再经过时间T，它们又相距最近
20.一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r＝2R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g.求：
(1)该卫星所在处的重力加速度；
(2)该卫星绕地球转动的角速度；
(3)若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间．
专题32 天体质量密度的计算 宇宙速度 卫星的追及问题
考点一 和中心天体的质量密度有关的计算
1.利用万有引力知识只能求出中心天体的质量和密度，求不出环绕体的质量.
2.有关中心天体质量计算的方法
1）利用物体在天体表面的重力近似等于万有引力：mg＝Geq \f(Mm,R2)
3 .对均匀球体： ，
4.为便于分析和计算，与密度有关的选择题直接将Geq \f(Mm,R2)或Geq \f(Mm,r2)中的M表示为ρeq \f(4,3)πR3，其中r是M和m间的距离，R是中心天体的半径，当卫星绕中心天体表面运行时R=r.
1.有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A．eq \f(1,4) B．4倍
C．16倍D．64倍
【答案】D
【解析】
天体表面的物体所受重力mg＝Geq \f(Mm,R2)，又知ρ＝eq \f(3M,4πR3)，所以M＝eq \f(9g3,16π2ρ2G3)，故 eq \f(M星,M地)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(g星,g地)))3＝64。D正确。
2. （2020·全国Ⅱ卷·）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则， ，
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期故A正确
3.(多选)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )
A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
【答案】AD
【解析】
根据h＝eq \f(1,2)gt2 得g＝eq \f(2h,t2)，则月球表面上该石块的重力G′＝mg＝meq \f(2h,t2)，故A正确；一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，同样有竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2，得g＝eq \f(2h,t2)，又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq \f(2hR2,Gt2)，因不知道月球半径，则求不出月球的质量，故B错误；从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；由万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝m(eq \f(2π,T))2R，得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，又M＝ρeq \f(4,3)πR3，联立解得ρ＝eq \f(3π,gT2)，故D正确。
4. （2020·全国Ⅲ卷）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为和的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有，
解得
设嫦娥四号卫星的质量为，根据万有引力提供向心力得
解得 故选D。
5 ．德国天文学家们曾于2008年证实，位于银河系中心，与地球相距2.6万光年的“人马座A”其实是一个质量超大的黑洞．假设银河系中心仅此一个黑洞，太阳系绕该黑洞中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量已知)( )
A．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期
B．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离
C．太阳系的运行速度和该黑洞的半径
D．太阳系绕该黑洞的公转周期和公转半径
【答案】D
【解析】
设太阳系的质量为m，该黑洞的质量为M，太阳系绕该黑洞做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，则Geq \f(M,r2)m＝meq \f(4π2,T2)r＝meq \f(v2,r)，解得该黑洞的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)＝eq \f(rv2,G)，则已知太阳系绕该黑洞的公转周期T和公转半径r，或者已知太阳系的运行速度v和公转半径r，可以估算出该黑洞的质量，故选D.
6.(2021·河北卷)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的eq \f(1,10)，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
A.eq \r(3,4) B. eq \r(3,\f(1,4)) C. eq \r(3,\f(5,2)) D. eq \r(3,\f(2,5))
【答案】D
【解析】
物体绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，则T＝ eq \r(\f(4π2R3,GM))，R＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1，则飞船的轨道半径R飞＝ eq \r(3,\f(GM火（2T）2,4π2))＝ eq \r(3,\f(G×0.1M地×4×\f(4π2Req \\al(3,同),GM地),4π2))＝eq \r(3,\f(2,5))R同，则eq \f(R飞,R同)＝ eq \r(3,\f(2,5))。
7 ．观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现其每经过时间2t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示，已知引力常量为G，由此可推导出地球的质量为( )
A.eq \f(l3,4Gθt2) B.eq \f(2l3θ,Gt2) C.eq \f(l,4Gθt2) D.eq \f(2l2,Gθt2)
【答案】A
【解析】
“神舟十号”的线速度v＝eq \f(l,2t)，轨道半径r＝eq \f(l,θ)，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得地球的质量为M＝eq \f(l3,4Gθt2)，故选A.
8 .(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. eq \r(\f(RKg,Q)) B. eq \r(\f(RPKg,Q)) C. eq \r(\f(RQg,KP)) D. eq \r(\f(RPg,QK))
【答案】D
【解析】
假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有G eq \f(Mm,R2) ＝mg，G eq \f(\f(M,Q)m0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,P)))\s\up12(2)) ＝m0g′，解得g′＝ eq \f(P2,Q) g，设嫦娥四号卫星的质量为m1，根据万有引力提供向心力得G eq \f(\f(M,Q)m1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(K\f(R,P)))\s\up12(2)) ＝m1 eq \f(v2,K\f(R,P)) ，解得v＝ eq \r(\f(RPg,QK)) ，故选D。
9 .假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
【答案】1)eq \f(3πR＋h3,GT12R3) (2)eq \f(3π,GT22)
【解析】
设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星距天体表面的高度为h时，
Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T12)(R＋h)，则有M＝eq \f(4π2R＋h3,GT12)
天体的体积为V＝eq \f(4,3)πR3
故该天体的密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R＋h3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πR＋h3,GT12R3)
(2)卫星贴近天体表面运动时有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T22)R，则有M＝eq \f(4π2R3,GT22)
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(4π2R3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT22).
考点二 三个宇宙速度
1.第一宇宙速度：是最小的发射速度，是近地卫星的环绕速度，是最大的环绕速度，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
第二宇宙速度(脱离速度) ：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
第三宇宙速度(逃逸速度) ：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
2.以地球为例，如果抛出的物体不再落回地球的表面，那么抛出的最小速度等于地球的第一宇宙速度，也等于近地卫星的环绕速度，所以可以根据近地卫星来求抛出的最小速度.
10 ．关于地球的第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度
B．它是使卫星进入近地圆轨道的最大发射速度
C．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度
【答案】A
【解析】
地球第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星在地球表面轨道处的运行速度，即人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度，卫星在不同椭圆轨道上运行时，近地点的速度不一样，远地点的速度也不一样，所以第一宇宙速度不是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度，也不是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度，A正确，BCD错误；
11．中国北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统．该系统由静止轨道卫星、中轨道卫星（离地高度约21000km）及其它轨道卫星组成．则（ ）
A．静止轨道卫星可定位在北京上空
B．中轨道卫星运行的线速度比同步轨道卫星线速度大
C．中轨道卫星周期可能大于 24 小时
D．静止轨道卫星的发射速度小于第一宇宙速度
【答案】B
【解析】
A．静止轨道卫星相对于地球是静止的，卫星轨道都与赤道共面，故不可能在北京上空，故A错误；
B．卫星绕地球做圆周运动，轨道半径越大，其运行速度越小，中地球轨道卫星比同步卫星离地心更近，故中轨道卫星比同步卫星线速度大，故B正确；
C．卫星的轨道半径越大，周期越长，所以中轨道卫星的运行周期小于地球同步卫星运行周期，小于24小时，故C错误；
D．第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球圆周运动的最大速度，是卫星发射的最小速度，故D错误．
12 ．（2022·河北邢台·模拟预测）2022年2月27日11时06分我国在文昌航天发射场使用长征八号运载火箭，以“1箭22星”方式，成功将泰景三号01卫星等22颗卫星发射升空。卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，卫星主要用于提供商业遥感信息、海洋环境监测、森林防火减灾等服务（ ）
A．火箭的发射速度应该大于7.9km/s
B．火箭发射过程中卫星不受地球吸引力
C．火箭发射的最初阶段卫星处于失重状态
D．若卫星的轨道为圆形，卫星进入轨道后的运行线速度大于11.2km/s
【答案】A
【解析】
A．7.9km/s是第一宇宙速度，为发射卫星的最小速度，故A正确；
B．火箭发射过程中卫星仍受地球吸引力，且随高度增大越来越小，故B错误；
C．火箭发射的最初阶段，卫星在向上加速，处于超重状态，故C错误；
D．若卫星的速度大于11.2km/s，则会逃逸出地球的引力场，故D错误。
13 ．(多选)随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度为v0t
B．月球的质量为2v0R2Gt
C．宇航员在月球表面获得Rv0t的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为π2Rtv0
【答案】BD
【解析】
A．小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动规律有t=2v0g月
可得g月=2v0t故A错误；
B．物体在月球表面上时，由重力等于地月球的万有引力有GMmR2=mg月
可得月球的质量为M=g月R2G=2v0R2Gt故B正确；
C．宇航员离开月球表面，围绕月球做圆周运动至少应获得的速度大小等于月球的第一宇宙速度大小，根据万有引力提供向心力则有GMmR2=mv2R
可得v=GMR=2v0Rt故C错误；
宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，
根据万有引力提供向心力则有GMmR2=4π2mRT2
可得T=π2Rtv0故D正确；
14 .(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的eq \f(1,2).下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的eq \f(\r(2),3)
【答案】CD
【解析】
根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝eq \f(M地,9)，R火＝eq \f(R地,2)，
则eq \f(vm,v1)＝eq \r(\f(GM火,R火))∶eq \r(\f(GM地,R地))＝eq \f(\r(2),3).
15.(2022·永州三模)2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星。至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成。已知地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，该导航卫星为地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A．该导航卫星运行速度大于第一宇宙速度
B．该导航卫星的发射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．该导航卫星在轨道运行时的加速度大小会小于质量较小的同步卫星加速度大小
D．该导航卫星的预定轨道离地高度为h＝ eq \r(3,\f(GM,ω2))
【答案】B
【解析】
卫星绕地球转动时万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可知Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，变形可得v＝ eq \r(\f(GM,r))，由该公式可知轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度在数值上等于卫星绕地球表面转动时的环绕速度，该导航卫星轨道半径大于地球半径，所以其速度小于第一宇宙速度，故A错误；第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，第二宇宙速度指卫星摆脱地球引力最小发射速度，该导航卫星绕地球转动，没有摆脱地球引力，所以其发射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，B正确；卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可知Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知加速度大小与卫星质量无关，C错误；卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可知Geq \f(Mm,r2)＝mrω2，由几何关系可知r＝R＋h，联立可得h＝ eq \r(3,\f(GM,ω2))－R，D错误。
16.某星球的质量为M，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v0平抛一物体，经时间t该物体落到山坡上。欲使该物体不再落回星球的表面，求至少应以多大的速度抛出该物体？(不计一切阻力，引力常量为G)
【答案】eq \r(4,\f(2GMv0tan θ,t))
【解析】
由题意可知，要求该星球上的“近地卫星”的绕行速度，即第一宇宙速度。设该星球表面处的重力加速度为g，
由平抛运动规律可得tan θ＝eq \f(1,2)gt2/v0t ∴g＝eq \f(2v0,t)tan θ①
对于该星球表面上的物体有：Geq \f(Mm,R2)＝mg = 2 \* GB3 ②
联立① = 2 \* GB3 ②解得R＝eq \r(\f(GMt,2v0tan θ)) = 3 \* GB3 ③
对于绕该星球做匀速圆周运动的“近地卫星”，应有：m′g＝m′eq \f(v2,R) = 4 \* GB3 ④
解得：v＝ eq \r(4,\f(2GMv0tan θ,t))。
考点三 两颗卫星在不同的圆轨道上运动时相距最近或最远的问题(追及问题)
1.同一中心天体的两颗卫星之间的距离有最近和最远时都处在通过中心天体球心的同一条直线上。如果它们初始时的位置在该直线上，当内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是再次出现最近或最远的时刻。分析时根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。
2.若从两颗卫星相距最近时开始计时
1)根据角度关系建立方程(ω1>ω2)
相距最近：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近。
相距最远：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)，即如果经过时间t，两天体与中心连线的半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体相距最远。
2)根据圈数关系建立方程(T1
相距最远：eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n－eq \f(1,2)，(n＝1,2,3，…)。
17.(多选)如图所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动，运行方向相同。A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（ ）
A．经过时间t=T1T2T2−T1，两行星将再次相距最近
B．经过时间t=T1+T2，两行星将再次相距最近
C．经过时间t=nT1T22T2−T1（n=1，3，5，…），两行星相距最远
D．经过时间t=nT1+T22（n=1，3，5，…），两行星相距最远
【答案】AC
【解析】
AB．当A、B再次相距最近时，即A比B多运动一圈，设经过时间t二者再次相距最近，
有tT1−tT2=1
解得t=T1T2T2−T1故A正确，B错误；
CD．当A、B相距最远时，即A比B多运动n2（n=1，3，5，…）圈，设经过的时间为t′，
有t′T1−t′T2=n2（n=1，3，5，…）
解得t′=nT1T22T2−T1（n=1，3，5，…）故C正确，D错误。
18．(多选)中国向世界公布了空间站的轨道参数让世界各国的卫星注意躲避，防止碰撞中国空间站。最值得注意的是马斯克的星链卫星，已经跟中国空间站发生过两次近距离接触了，分别发生在2021年的7月份和10月份，中国空间站进行了紧急规避。为了保护地球和人类安全，中国将组建近地小行星防御系统。假设“星链”系统中的某一卫星与中国空间站均在同一轨道平面内绕地球同方向做匀速圆周运动，它们运动的轨道离地高度分别为550km与400km，运行周期分别为T0与T（T0与T已知）；某一时刻它们相距最远，则下面正确的是（ ）
A．若星链卫星要降低到中国空间站的轨道上运行，必须要先加速后减速
B．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0T2T0−T
C．星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为T0TT0−T
D．星链卫星与中国空间站再次相距最远的时间为T0TT0−T
【答案】BD
【解析】
A．若星链卫星要降低到中国空间站的轨道上运行，必须要减速，做近心运动，A错误；
BC．星链卫星与中国空间站从相距最远到再次相距最近的时间（设为t）内，中国空间站比星链卫星多转半圈，即tT−tT0=12
解得星链卫星与中国空间站再次相距最近的时间为t=T0T2T0−TB正确，C错误；
D．设星链卫星与中国空间站再次相距最远的时间为t′，可得t′T−t′T0=1
解得t′=T0TT0−TD正确。
19．（2022·辽宁丹东·二模）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道在同一平面内且绕行方向相同。若A离地面的高度为h，运行周期为T，根据观测记录可知，A观测B的最大张角θ=60°。设地球的半径为R，则下列说法中不正确的是（ ）
A．卫星B的运行轨道半径为R+ℎ2
B．卫星A与B的加速度之比为1：4
C．卫星A与B运行的周期之比为22:1
D．若某时刻卫星A和B相距最近，则再经过时间T，它们又相距最近
【答案】D
【解析】
A．卫星B的运行轨道半径为rB=rAsin30° rA=R+ℎ
解得rB=R+ℎ2 A正确，不符合题意；
B．根据牛顿第二定律得 GMmArA2=mAaA GMmBrB2=mBaB
解得 卫星A与B的加速度之比为 aA:aB=1:4 B正确，不符合题意；
C．根据牛顿第二定律得 GMmArA2=mA4π2TA2rA GMmBrB2=mB4π2TB2rB
解得 TATB=221 C正确，不符合题意；
D．若某时刻卫星A和B相距最近，设再经过时间t，它们又相距最近 2πTBt−2πTAt=2π
解得 t=22+17T D错误，符合题意。
故选D。
20.一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r＝2R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g.求：
(1)该卫星所在处的重力加速度；
(2)该卫星绕地球转动的角速度；
(3)若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间．
【答案】(1)eq \f(g,4) (2)eq \r(\f(g,8R)) (3)eq \f(2π,\r(\f(g,8R))－ω0)
【解析】
(1)忽略地球自转的影响，在地球表面处物体受到的重力近似等于万有引力，
m0g＝eq \f(Gm地m0,R2)(2分)
在轨道半径为r＝2R处，卫星所受万有引力等于其重力，mg′＝eq \f(Gm地m,2R2)(2分)
联立解得：g′＝eq \f(g,4)(1分)
(2)卫星所受万有引力提供其做圆周运动的向心力，
有：eq \f(Gm地m,2R2)＝mω2·2R(2分)
结合(1)中式子可得ω＝eq \r(\f(g,8R))(2分)
(3)卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，且卫星的转动方向与地球自转方向相同，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空，
即ωΔt－ω0Δt＝2π(3分)
解得：Δt＝eq \f(2π,\r(\f(g,8R))－ω0)(2分)
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