北师大版七年级数学下册同步精讲精练2.2探索直线平行的条件-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练2.2探索直线平行的条件-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了∠8在a等内容，欢迎下载使用。

知识点一
同位角、内错角、同旁内角的概念
（1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。
注：如下图，位置相同指： = 1 \* GB3 ①两个角都在第三条直线c的同一侧； = 2 \* GB3 ②且两个角都在两条直线a、b的上方（或下方）。例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角
（2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角）
注：如下图，位置完全错开指： = 1 \* GB3 ①两个角在第三条直线c的不同侧； = 2 \* GB3 ②且两个角在两条直线a、b的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角
（3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。
注：如下图，同旁内角指： = 1 \* GB3 ①两个角在第三条直线c的同一侧； = 2 \* GB3 ②且两个角在a、b两条直线的内侧
例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。
注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。
知识点二
平行线的概念
（1）同一平面两条直线间的关系： = 1 \* GB3 ①平行； = 2 \* GB3 ②相交
（2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线
注： = 1 \* GB3 ①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”； = 2 \* GB3 ②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）
（3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。
知识点三
平行线的判定
（1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
（2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
（3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
（4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
（5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。
题型一 识别三线八角
【例题1】（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的和不是同位角的是
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022秋•榆树市期末）如图，直线，被直线所截，则与是
A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角
【变式1-2】（2022秋•宛城区期末）如图所示，下列结论中正确的是
A．和是同位角B．和是同旁内角
C．和是内错角D．和是对顶角
【变式1-3】（2022秋•南阳期末）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是
A．①、②B．①、②、④C．②、③、④D．①、②、③、④
【变式1-4】（2022•东阳市校级开学）图中，和是同位角的是
A．B．C．D．
【变式1-5】（2022春•秀山县校级月考）如图，直线，被所截，则与是
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
题型二 平行线的判定
【例题2】（2022春•东莞市期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022春•济南期中）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是
A．B．C．D．
【变式2-2】（2021秋•晋江市校级期末）如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是
A．B．C．D．
【变式2-4】（2022春•秦淮区校级月考）如图所示，下列条件中能判定是
A．B．C．D．
【变式2-5】（2021秋•船山区期末）如图，有下列一些条件：
①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥．
其中能判断直线的有
A．5个B．4个C．3个D．2个
题型三 平行线间的面积问题
【例题3】正方形网格中的交点，我们称之为格点如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．现有格点、，那么，在网格图中找出格点，使以、和格点为顶点的三角形的面积为2．这样的点可找到的个数为
A．7B．8C．9D．10
【变式3-1】（2022春•宝山区校级月考）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，如果的面积和的面积之比为，那么的值为 ．
【变式3-2】（2022春•松江区校级期中）如图，四边形中，，、相交于点，的面积等于2，的面积等于1，那么的面积等于 ．
【变式3-3】（2021春•株洲期末）如图，直线，点在上，若，，三角形的面积为6，则三角形的面积为 ．
【变式3-4】（2021春•湘乡市期末）如图，已知，的面积是15，则面积等于 ．
【变式3-5】如图所示，直线，是上的动点，当点的位置变化时，三角形的面积 （填“变大”“变小”或者“不变” ．
题型四 平行线的判定的综合应用
【例题4】（2021秋•遂川县期末）如图，平分，若，，求证：．
【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）如图，如果直线与交于点，，，试判断与是否平行，并说明理由．
【变式4-2】（2022秋•北京期中）如图，已知，，，求证：．
【变式4-3】（2022春•邛崃市期中）如图：，平分，平分，，求证：．请完成下面的解题过程．
解：平分，平分（已知）
， （角平分线的定义）
又（已知）
．
又 （已知）

．
【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）如图，已知中，点、、分别在线段、、上，且，．请说明的理由．
【变式4-5】（2022春•清镇市期中）如图所示，已知：，，，．
求证：．
解题技巧提炼
方法一、定义法：如下图：
= 1 \* GB3 ①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
= 2 \* GB3 ②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①同位角：F = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②内错角：Z = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③同旁内角：C
解题技巧提炼
1）借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。
2）转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。
解题技巧提炼
两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
解题技巧提炼
解题的关键是熟练掌握基本知识．
2.2 探索直线平行的条件
知识点一
同位角、内错角、同旁内角的概念
（1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。
注：如下图，位置相同指： = 1 \* GB3 ①两个角都在第三条直线c的同一侧； = 2 \* GB3 ②且两个角都在两条直线a、b的上方（或下方）。例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角
（2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角）
注：如下图，位置完全错开指： = 1 \* GB3 ①两个角在第三条直线c的不同侧； = 2 \* GB3 ②且两个角在两条直线a、b的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角
（3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。
注：如下图，同旁内角指： = 1 \* GB3 ①两个角在第三条直线c的同一侧； = 2 \* GB3 ②且两个角在a、b两条直线的内侧
例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。
注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。
知识点二
平行线的概念
（1）同一平面两条直线间的关系： = 1 \* GB3 ①平行； = 2 \* GB3 ②相交
（2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线
注： = 1 \* GB3 ①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”； = 2 \* GB3 ②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）
（3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。
知识点三
平行线的判定
（1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
（2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
（3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
（4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
（5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。
题型一 识别三线八角
【例题1】（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的和不是同位角的是
A．B．
C．D．
【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意；
选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意；
选项中的与，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项符合题意；
选项中的与，是直线、被直线所截的同位角，因此选项不符合题意；
故选：．
【变式1-1】（2022秋•榆树市期末）如图，直线，被直线所截，则与是
A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由题意可得，与是直线，被直线所截而成的同位角．
故选：．
【变式1-2】（2022秋•宛城区期末）如图所示，下列结论中正确的是
A．和是同位角B．和是同旁内角
C．和是内错角D．和是对顶角
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．
【解答】解：、和是同旁内角，故本选项错误；
、和是同旁内角，故本选项正确；
、和是同位角，故本选项错误；
、和是邻补角，故本选项错误；
故选：．
【变式1-3】（2022秋•南阳期末）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是
A．①、②B．①、②、④C．②、③、④D．①、②、③、④
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．
【解答】解：①由同位角的概念得出：与是同位角；
②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角；
③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出：与是内错角，错误．
故正确的有2个，是①②．
故选：．
【变式1-4】（2022•东阳市校级开学）图中，和是同位角的是
A．B．C．D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：、和不是同位角，故不符合题意；
、和不是同位角，故不符合题意；
、和不是同位角，故不符合题意；
、和是同位角，故符合题意．
故选：．
【变式1-5】（2022春•秀山县校级月考）如图，直线，被所截，则与是
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义进行判断即可．
【解答】解：与是直线，被所截得的内错角，
故选：．
题型二 平行线的判定
【例题2】（2022春•东莞市期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”分别进行分析．
【解答】解：、根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
、根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
、根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
、根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：．
【变式2-1】（2022春•济南期中）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是
A．B．C．D．
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条旋转的度数．
【解答】解：时，，
要使木条与平行，木条旋转的度数至少是．
故选：．
【变式2-2】（2021秋•晋江市校级期末）如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定
A．B．C．D．
【分析】欲证，在图中发现、被直线所截，且已知，可根据同位角相等，两直线平行，再结合答案来补充条件．
【解答】解：，要使，
则需（同位角相等，两直线平行），
由图可知，与是邻补角，
则只需，
故选：．
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：、当时，可得：，符合题意；
、当时，可得：，不合题意；
、当时，可得：，不合题意；
、当时，可得：，不合题意．
故选：．
【变式2-4】（2022春•秦淮区校级月考）如图所示，下列条件中能判定是
A．B．C．D．
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别得出即可求解．
【解答】解：、，
（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
、由无法得到，故此选项不符合题意；
、，
（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
、，
（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意．
故选：．
【变式2-5】（2021秋•船山区期末）如图，有下列一些条件：
①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥．
其中能判断直线的有
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解答】解：①由，可得；
②由，不能得到；
③由，可得；
④由，可得；
⑤由，，可得，即可得到；
⑥由，可得；
故能判断直线的有5个．
故选：．
题型三 平行线间的面积问题
【例题3】正方形网格中的交点，我们称之为格点如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．现有格点、，那么，在网格图中找出格点，使以、和格点为顶点的三角形的面积为2．这样的点可找到的个数为
A．7B．8C．9D．10
【分析】因为每个小正方形的边长是1，则可以先找到一点，则三角形的面积是2，满足题目要求，再过点作的平行线，平行线与网格点重合的点，因这些点与、组成的三角形都是同底等高，则这些三角形的面积都是2，所以这些点即为符合要求的点；同理，过点作的平行线，与网格点重合的点也是符合要求的格点．将所有的符合要求的格点数加起来，就是问题的答案．
【解答】解：如图所示，在网格图中可以找到点，
则三角形的面积是2，再过点作的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点，
这样的点有5个；
同样的方法，过点作的平行线，又能得到4个不同符合要求的格点，
所以符合要求的格点共有：（个；
故选：．
【变式3-1】（2022春•宝山区校级月考）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，如果的面积和的面积之比为，那么的值为 ．
【分析】利用行线间的距离处处相等得到点到直线的距离等于点到直线的距离，然后根据三角形面积求解．
【解答】解：直线，
点到直线的距离等于点到直线的距离，
的面积和的面积，
的面积和的面积之比为，
．
故答案为：．
【变式3-2】（2022春•松江区校级期中）如图，四边形中，，、相交于点，的面积等于2，的面积等于1，那么的面积等于 ．
【分析】先计算出的面积为3，再根据平行线的性质得到点和点到的距离相等，然后根据三角形面积公式得到的面积．
【解答】解：的面积等于2，的面积等于1，
的面积为，
，
点和点到的距离相等，
的面积等于的面积，
即的面积为3．
故答案为：3．
【变式3-3】（2021春•株洲期末）如图，直线，点在上，若，，三角形的面积为6，则三角形的面积为 ．
【分析】过点作于点，由的面积为6可求出的长，再由可知为的高，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点作于点，如图所示：
的面积为6，，
，
解得：，
，
是的高，
．
故答案为：10．
【变式3-4】（2021春•湘乡市期末）如图，已知，的面积是15，则面积等于 ．
【分析】根据平行线之间的距离处处相等，可得点到的距离与点到的距离相等，从而可得的面积等于的面积．
【解答】解：，
点到的距离与点到的距离相等，
即的边上的高等于的边上的高，
与共有边，
．
故答案为：15．
【变式3-5】如图所示，直线，是上的动点，当点的位置变化时，三角形的面积 （填“变大”“变小”或者“不变” ．
【分析】由平行线的性质得到点到的距离不变，从而得到结果．
【解答】解：，
点在上运动时，点到的距离不变，
的高不变，
的面积不变，
故答案为：不变．
题型四 平行线的判定的综合应用
【例题4】（2021秋•遂川县期末）如图，平分，若，，求证：．
【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题．
【解答】证明：平分，，
（角平分线定义），
，（已知），
（等量代换），
（同位角相等两直线平行）．
【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）如图，如果直线与交于点，，，试判断与是否平行，并说明理由．
【分析】根据内错角相等，两直线平行可得，根据同位角相等，两直线平行可得，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．
【解答】解：，理由如下：
，
，
，
，
．
【变式4-2】（2022秋•北京期中）如图，已知，，，求证：．
【分析】先根据三角形外角性质，求得，再根据，即可得到，进而根据平行线的判定可得．
【解答】证明：是，所在三角形的外角，
，
又，
，
．
【变式4-3】（2022春•邛崃市期中）如图：，平分，平分，，求证：．请完成下面的解题过程．
解：平分，平分（已知）
， （角平分线的定义）
又（已知）
．
又 （已知）

．
【分析】根据角平分线的定义结合题意推出，即可判定．
【解答】解：平分，平分（已知），
，（角平分线的定义）．
又（已知），
，
又（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；；；；；；；同位角相等，两直线平行．
【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）如图，已知中，点、、分别在线段、、上，且，．请说明的理由．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
【变式4-5】（2022春•清镇市期中）如图所示，已知：，，，．
求证：．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行．以及两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．
【解答】证明：，，，，
，，
，，
．
解题技巧提炼
方法一、定义法：如下图：
= 1 \* GB3 ①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
= 2 \* GB3 ②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①同位角：F = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②内错角：Z = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③同旁内角：C
解题技巧提炼
1）借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。
2）转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。
解题技巧提炼
两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
解题技巧提炼
解题的关键是熟练掌握基本知识．