初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册2 等腰三角形第1课时精练

这是一份初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册2 等腰三角形第1课时精练，共14页。试卷主要包含了【新考向·新定义试题】定义等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点1 等腰三角形的性质定理
1.(2023广西防城港期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,下列结论不一定正确的是 ( )
A.AD⊥BC B.∠B=∠C
C.AD平分∠BAC D.AB=BC

2.(2023内蒙古锡林郭勒盟中考)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为(M7210003)( )
A.32° B.58° C.74° D.75°
3.【方程思想】(2022陕西西安碑林期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BC=BD=DA,那么∠A的度数是(M7210003)( )
A.72° B.60° C.45° D.36°

4.(2023四川成都金牛期末)如图,在等腰△EBC中,EB=EC,AB=BC,∠B=70°,则∠ACD的度数为( )
A.10° B.15° C.25° D.30°
5.【新独家原创】在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,若∠BAD=35°,则∠C= .

6.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,BD=BE,∠A=100°,则∠DEC= .
7.【新考向·新定义试题】(2022四川成都高新区期末)定义:在一个三角形中,当一个内角的度数是另一内角度数的12时,我们称这样的三角形为“半角三角形”.若等腰△ABC为“半角三角形”,则等腰△ABC的顶角度数为 .
8.(2023山东菏泽成武三模)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是AB、AC上的点,且AE=AF,求证:DE=DF.(M7210003)
9.(2022重庆沙坪坝期末)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:∠ABF=∠ACF;
(2)若∠BAC=48°,求∠CFE的度数.
知识点2 等腰三角形的判定定理
10.(2023湖北襄阳保康期末)各项数据如图所示,共有等腰三角形( )
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个

11.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,EF∥AD,交AB于F,交CA的延长线于G,下列说法正确的是( )
A.△ABD是等腰三角形B.△AGF是等腰三角形
C.△BEF是等腰三角形D.△ADC是等腰三角形
12.【易错题】如图,已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),
∠AON=45°,当∠A的度数为 时,△AOP为等腰三角形.
13.(2023浙江温州永嘉三模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E.(M7210003)
(1)求∠ADB的度数;
(2)求证:△ADE是等腰三角形.
14.(2023重庆期中)如图,在△ABC中,CE平分∠ACB交AB于E,B、C、G在同一直线上,CF平分∠ACG,EF∥BC交AC于点D,交CF于F,求证:DE=DF.
能力提升全练
15.(2022山东泰安中考,5,★☆☆)如图,l1∥l2,点A在直线 l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.70° B.65° C.60° D.55°

16.(2023山东泰安东平期末,10,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD、CE相交于点F,则图中等腰三角形共有(M7210003)( )
A.7个 B.8个 C.6个 D.9个
17.(2023新疆中考,13,★★☆)如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= .

18.(2023山东烟台芝罘期中,16,★★☆)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=50°,DE⊥AC于点E,交AB于点D,FD⊥AB于点D,则∠EDF的度数是 .
19.(2023山东烟台中考,23(1),★★☆)如图,点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.求证:DE=BF.
20.(2023山东烟台一模,19,★★☆)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D,连接BD,过点B且平行于AC的直线与过点D且平行于AB的直线相交于点E,连接CE,求∠CED的度数.
21.【角平分线+平行线模型】(2022浙江温州中考,20,★★☆)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
素养探究全练
22.【推理能力】(2023山东菏泽东明期中)
(1)如图1,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F,则线段EF与BE,CF之间有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)如图2,△ABC中,∠ABC的平分线BO与△ABC外角的平分线CO交于点O,过O点作OE∥BC交AB于点E,交AC于点F,直接写出EF与BE,CF之间的数量关系.

答案全解全析
基础过关全练
1.D ∵在△ABC中,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C,∵D为BC边的中点,∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,根据题中条件,无法证明AB=BC,故AB=BC不一定成立,故选D.
2.C ∵CA=CB,∴△ABC是等腰三角形,∴∠CBA=∠CAB=(180°-32°)÷2=74°,
∵a∥b,∴∠2=∠CBA=74°.故选C.
D ∵AB=AC,BC=BD=DA,∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠CDB,
设∠A=x°,则∠ABD=∠A=x°,
∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°,
∵∠A+∠C+∠ABC=180°,∴x+2x+2x=180,解得x=36,故∠A的度数是36°,故选D.
4.B ∵EB=EC,∴∠BCE=∠B=70°,∵AB=BC,∠B=70°,∴∠ACB=∠BAC=12×(180°-70°)=55°,∴∠ACD=∠ECB-∠ACB=70°-55°=15°.故选B.
5.答案 55°
解析 ∵D是BC边的中点,∴AD是BC边上的中线,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,AD平分∠BAC,∵∠BAD=35°,
∴∠BAC=2∠BAD=70°,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠B=∠C=55°.
6.答案 100°
解析 ∵在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠C=40°,
∵BD平分∠ABC,∴∠DBE=12∠ABC=20°,
∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED=80°,∴∠DEC=100°.
7.答案 36°或90°
解析 分两种情况:①顶角度数是底角度数的12时,顶角的度数为180°÷(2+2+1)=36°;
②底角度数是顶角度数的12时,顶角的度数为180°÷12+12+1=90°.
综上,等腰△ABC的顶角度数为36°或90°.
8.证明 如图,连接AD,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠EAD=∠FAD,
在△AED和△AFD中,
AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(SAS),∴DE=DF.
9.解析 (1)证明:∵AD⊥BC,AB=AC,
∴CD=BD,∠ABC=∠ACB,∠FDB=∠FDC=90°,
易证△FDB≌△FDC,∴BF=CF,
∴∠CBF=∠BCF,
∴∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF,
∴∠ABF=∠ACF.
(2)∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=∠ACB=66°,
∵BE⊥AC,∴∠ABF=90°-∠BAC=42°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=24°,
由(1)得∠CBF=∠BCF,∴∠BCF=24°,
∴∠CFE=∠CBF+∠BCF=48°.
10.B 根据三角形的内角和定理,得∠ABO=∠DCO=36°,根据三角形的外角的性质,
得∠AOB=∠COD=72°.根据等角对等边可知,等腰三角形有△AOB,△COD,
△ABC,△CBD,△BOC.故选B.
11.B ∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,
∵EF∥AD,∴∠G=∠CAD,∠AFG=∠BAD,∴∠G=∠AFG,
∴AG=AF,∴△AGF是等腰三角形,故选B.
12.答案 45°或67.5°或90°
解析 本题容易出现的错误是弄错等腰三角形的腰是哪条边的情况.
当△AOP为等腰三角形时,分三种情况:
①当AO=AP时,∠AON=∠APO=45°,∴∠A=90°;
②当AO=OP时,∠A=∠APO=180°−45°2=67.5°;
③当OP=AP时,∠A=∠AON=45°.
综上,∠A的度数为45°或67.5°或90°.
13.解析 (1)∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠C=12(180°-∠BAC)=72°,
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=12∠ABC=36°,
∴∠ADB=∠C+∠DBC=72°+36°=108°.
(2)证明:∵AE∥BC,∴∠EAC=∠C=72°,
∵∠C=72°,∠DBC=36°,
∴∠ADE=∠CDB=180°-72°-36°=72°,
∴∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
14.证明 ∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE.
∵CF平分∠ACG,∴∠ACF=∠GCF.
∵EF∥BC,∴∠GCF=∠F,∠BCE=∠CEF.
∴∠ACE=∠CEF,∠F=∠DCF.
∴CD=ED,CD=DF.∴DE=DF.
能力提升全练
15.A 如图,
设AC与l2交于点E,
∵AB=BC,∠C=25°,
∴∠BAC=∠C=25°,
∵l1∥l2,∠1=60°,
∴∠BEA=180°-60°-25°=95°,
∵∠BEA=∠C+∠2,
∴∠2=95°-25°=70°.故选A.
16.B ∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠A)=72°,
∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°,∠ACE=∠BCE=12∠ACB=36°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,
同理∠BEC=72°,∴∠EFB=∠DFC=180°-36°-72°=72°.
可知∠A=∠ACE=36°,∠A=∠ABD=36°,∠BEC=∠ABC=72°,
∠BDC=∠ACB=72°,∠BEF=∠EFB=72°,
∠BDC=∠DFC=72°,∠FBC=∠FCB=36°,
易得△ABD,△ACE,△FBC,△EFB,△DFC,△BDC,△BEC,△ABC都是等腰三角形,共8个等腰三角形,故选B.
17.答案 52°
解析 ∵AB=AC,AD=BD,∴∠B=∠C,∠B=∠BAD,
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+∠BAD,
∴180°-2∠C=24°+∠C,∴∠C=52°,故答案为52°.
18.答案 65°
解析 ∵AC=BC,∠C=50°,∴∠A=∠B=12(180°-50°)=65°,∵DE⊥AC于点E,FD⊥AB于点D,∴∠AED=∠FDA=90°,∴∠EDF=90°-∠EDA=∠A=65°.故答案为65°.
证明 ∵△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形,
∴∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,CE=BE,AD=CD,
∵∠A=∠CBE,∴∠A=∠ECB,∠ADC=∠CEB,
∴AD∥CE,∴∠ADC=∠DCE,∴∠DCE=∠CEB,
∵EF=AD,AD=CD,∴EF=CD,∴△DCE≌△FEB(SAS),∴DE=BF.
20.解析 ∵AB=AC,∠A=36°,∠A+∠BCD+∠ABC=180°,∴∠BCD=∠ABC=72°,
∵AB∥DE,∴∠CDE=∠A=36°,
∵AC∥BE,∴∠BED=∠CDE=36°,∠CBE=∠BCD=72°,由作图过程可知BC=BD,
∴∠CDE+∠BDE=∠BCD=72°,
∴∠BDE=36°,∴∠BDE=∠BED,∴BD=BE,
∴BC=BE,∴∠CEB=∠BCE,
∵∠CEB+∠BCE+∠CBE=180°,
∴∠CEB=54°,
∴∠CED=∠CEB-∠BED=54°-36°=18°.
21.解析 (1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠EBD,
∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.理由:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE,
由(1)得,∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.
素养探究全练
22.解析 (1)EF=BE+CF.
理由:∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,
∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴EB=EO,FC=FO,
∵EF=EO+FO,∴EF=BE+CF.
(2)EF=BE-CF.
详解:∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC,
∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,
∴∠EBO=∠EOB,∴EB=EO,
同理可得FO=CF,∵EF=EO-FO,∴EF=BE-CF.