鲁教版 (五四制)七年级下册5 角平分线课时作业

这是一份鲁教版 (五四制)七年级下册5 角平分线课时作业，共13页。试卷主要包含了5　　　　B等内容，欢迎下载使用。

知识点1 角平分线的性质定理
1.(2021山东济南莱芜期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知DC=2,则BD的长为(M7210008)( )
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
2.【一题多变】(2023河南新乡辉县期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若△ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为(M7210008)( )
A.2 B.3 C.4 D.6
[变式·条件变结论](2022北京中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S△ACD= .
3.【一题多解】已知△ABC是等腰直角三角形,AB是其斜边,AD平分∠BAC,求证:AC+CD=AB.
4.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.
(1)求证:BE=CF;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
知识点2 角平分线的判定定理
5.如图所示,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,连接OP,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )
A.∠1=∠2 B.∠1>∠2
C.∠1<∠2 D.无法确定
6.【一题多解】如图,DB⊥AB于B,DC⊥AC于C,BD=DC,∠BAC=80°,则∠BAD的度数为( )
A.10° B.40° C.30° D.20°
7.(2023陕西咸阳武功期中)如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为N、M,OM=ON,BM与AN相交于点P,连接OP.求证:点P在∠AOB的平分线上.(M7210008)
知识点3 三角形三个内角的平分线的性质
8.【社会主义先进文化】要想富,先修路.道路通,百业兴.古往今来,人们一直很重视修建道路.因为只有交通便利,货物才能流通,商业才能发达.如图,三条公路两两相交,现计划在△ABC内部安装一个探照灯,要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,则探照灯的位置是△ABC 的交点.( )
A.三条角平分线 B.三条中线
C.三边上高的交点 D.三边垂直平分线

9.(2023山东临沂一模)如图,点P是△ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若∠BPC=130°,则∠BAC的度数为 ( )
A.65° B.80° C.100° D.70°
能力提升全练
10.(2023山东枣庄薛城期中,9,★★☆)如图,△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=( )
A.4∶3∶2 B.5∶3∶2
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
【新考向·尺规作图】(2023山东济南长清二模,9,★★☆)如图,在△ABC中,∠C
=90°,以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点O,作射线AO,交BC于点E.已知CE=3,BE=5,则AC的长为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
12.【一题多解】(2022黑龙江牡丹江中考,17,★★☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD= .(M7210008)
13.【教材变式·P126T2】(2022山东聊城临清期中,19,★★☆)如图,某私营企业要修建一个加油站,其设计要求:加油站到两村A、B的距离必须相等,且到两条公路m、n的距离也必须相等,那么加油站应修在什么位置?在图上标出它的位置.(要有作图痕迹)
14.(2022山东烟台海阳期末,22,★★☆)如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.
(1)求∠PAD的度数;
(2)求证:P是线段CD的中点.
素养探究全练
15.【推理能力】(2022江西赣州上犹月考)如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E.
(1)求证:BD=CE;
(2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 过D点作DE⊥AB于E,如图,
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC=2.
在Rt△BDE中,∵∠B=30°,∴BD=2DE=4.故选B.
2.C 如图,过点D作DF⊥AC,
垂足为F,
∵△ACD的面积为16,AC=8,
∴12AC·DF=16,∴DF=4,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF=4,故选C.
[变式] 答案 1
解析 过D点作DH⊥AC于H,如图,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DE=DH=1,∴S△ACD=12×2×1=1.
3.证明 证法一:如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵△ABC是等腰直角三角形,AB是斜边,
∴∠B=45°,∠C=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形,∴BE=DE,
∵AD平分∠BAC,CD⊥AC,DE⊥AB,
∴CD=DE,∴CD=BE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,
∵AE+BE=AB,∴AC+CD=AB.
证法二:如图,延长线段AC到E,使CE=CD,连接DE,
∵CE=CD,∴∠E=∠EDC,
∵∠ACB=90°,
∠E+∠EDC=∠ACB,
∴∠E=∠EDC=45°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,∴∠B=∠E,
∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠BAD,
在△EAD和△BAD中,∠EAD=∠BAD,∠E=∠B,AD=AD,
∴△EAD≌△BAD(AAS),∴AE=AB,
又∵AE=AC+CE=AC+CD,∴AC+CD=AB.
4.解析 (1)证明:连接BD、CD,如图.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AF,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
∵DG垂直平分BC,∴BD=CD.
在Rt△BED与Rt△CFD中,BD=CD,DE=DF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.
(2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中,∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,
设BE=x,则CF=x,
∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,
∴5-x=3+x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=5-1=4.
5.A ∵AD⊥OB,BC⊥OA,
∴∠ACP=∠BDP,
又∵∠APC=∠BPD,PA=PB,
∴△ACP≌△BDP(AAS),
∴CP=DP,∴OP平分∠AOB,∴∠1=∠2.故选A.
6.B 解法一:【角平分线法】∵DB⊥AB,DC⊥AC,且BD=DC,∴AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°.故选B.
解法二:【全等三角形法】∵DB⊥AB,DC⊥AC,
∴∠B=∠C=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,AD=AD,BD=CD,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴∠BAD=∠CAD,
又∵∠BAC=80°,∴∠BAD=40°.故选B.
7.证明 ∵AN⊥OB,BM⊥OA,
∴∠ANO=∠BMO=90°,
在Rt△ONP和Rt△OMP中,OP=OP,ON=OM,
∴Rt△ONP≌Rt△OMP(HL),
∴PN=PM,
∴OP平分∠AOB,即点P在∠AOB的平分线上.
8.A ∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,
∴探照灯的位置是△ABC三条角平分线的交点.
9.B 由题意可知,BP、CP是∠ABC、∠ACB的平分线,
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,
∵∠BPC=130°,∴∠PBC+∠PCB=50°,
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2(∠PBC+∠PCB)=100°,
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°.故选B.
能力提升全练
10.A 如图,过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F,
∵点O是△ABC三条角平分线的交点,
∴OD=OE=OF,
∵S△OAB=12AB·OD=12×16OD=8OD,
S△OBC=12BC·OE=12×12OE=6OE,
S△OAC=12AC·OF=12×8OF=4OF,
∴S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=8OD∶6OE∶4OF=4∶3∶2.故选A.
11.C 过点E作ED⊥AB于点D(图略),
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线,
∵EC⊥AC,ED⊥AB,∴EC=ED=3,
在Rt△ACE和Rt△ADE中,AE=AE,EC=ED,
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),∴AC=AD,
∵在Rt△EDB中,DE=3,BE=5,∴BD=4,
设AC=x,则AB=4+x,
故在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,
即x2+82=(x+4)2,解得x=6,即AC的长为6.故选C.
12.答案 3
解析 如图,过点D作DE⊥AB于E,
解法一:∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=AC2+BC2=62+82=10,
∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE.
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC,∴12AC·CD+12AB·DE=12AC·BC,即12×6CD+12×10CD=12×6×8,
解得CD=3.
解法二:由解法一知CD=DE,AB=10,
在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AE=AC=6,
∴BE=AB-AE=10-6=4,
设CD=DE=x,则BD=8-x,
在Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3,故CD的长为3.
13.解析 如图,点P或点P'即为所求作的点.
14.解析 (1)∵AD∥BC,∴∠C+∠D=180°,
∴∠C=180°-∠D=180°-90°=90°,
∵∠CPB=30°,∴∠PBC=90°-∠CPB=60°,
∵BP平分∠ABC,∴∠ABC=2∠PBC=120°,
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠DAB=180°-120°=60°,
∵AP平分∠DAB,∴∠PAD=12∠DAB=30°.
(2)证明:过P点作PE⊥AB于E点,如图,
∵AP平分∠DAB,PD⊥AD,PE⊥AB,∴PD=PE,
∵BP平分∠ABC,PC⊥BC,PE⊥AB,
∴PC=PE,∴PD=PC,∴P是线段CD的中点.
素养探究全练
15.解析 (1)证明:连接PB,PC,如图,
∵PQ垂直平分BC,∴PB=PC,
∵AP平分∠DAC,PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE.
在Rt△BPD和Rt△CPE中,PB=PC,PD=PE,
∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL),∴BD=CE.
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中,AP=AP,PD=PE,
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE,
∵BD=CE,∴AD+AB=AC-AE,
∴AD+6=12-AD,∴AD=3 cm.