四川省兴文第二中学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省兴文第二中学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．半径为,圆心角为所对的弧长为( )
A.B.C.D.
4．设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
6．放射性核素锶89会按某个衰减率衰减,设初始质量为,质量M与时间T（单位：天）的函数关系式为（其中H为常数）,若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天,那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为( )
（参考数据：）
A.B.C.D.
7．已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列函数中,既是偶函数,又在上单调递减的是( )
A.B.C.D.
10．若,则下列不等式成立的有( )
A.B.C.D.
11．函数（,,）的部分图象如图所示,将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍,然后向左平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A.
B.的解析式为
C.是图象的一个对称中心
D.的单调递减区间是,
12．已知实数x,,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．________________.
14．已知函数为偶函数,则____________.
15．已知,,则______________.
16．已知实数m,n满足,则______________.
四、解答题
17．已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
18．已知定义在R上的函数,满足.
(1)求的解析式;
(2)若点在图像上自由运动,求的最小值.
19．已知定义在上的函数,对于,,恒有.
(1)求证：是奇函数;
(2)若是增函数,解关于x的不等式.
20．随着全球对环保和可持续发展的日益重视,电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试,得到了该电动汽车每小时耗电量P(单位：与速度v(单位：)的数据如下表所示：
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系,现有以下两种函数模型供选择：①,②.
(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由）,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速,最高限速）匀速行驶到距离为的B地,出发前汽车电池存量为,汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电,该电动汽车能否到达地？并说明理由;若需要充电,求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.
21．已知函数,.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若函数在区间上有两个零点,求m的取值范围.
(3)若函数有且仅有3个零点,求所有零点之和.
22．若在定义域内存在实数,使得成立,则称函数有“飘移点”.
(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由;
(2)证明函数在上有“飘移点”;
(3)若函数在上有“飘移点”,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,
则.
故选：B.
2．答案：D
解析：“,”的否定为“,”,
故选：D.
3．答案：C
解析：由题意,圆心角,
根据弧长公式,则
故选：C.
4．答案：A
解析：当时,解得,可以推出;
反之,当时,可能,不能推出.
因此,“”是“”的充分而不必要的条件.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为,,,所以可知选：A.
6．答案：D
解析：由题意, 锶89半衰期 (质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天,
即,则,
所以质量为的锶89经过30天衰减后,
质量大约为,
故选：D.
7．答案：C
解析：由题可知: 任意的实数,都有成立,
所以函数为R上的增函数,所以,得到,即,
故选：C.
8．答案：D
解析：因为得,
则,
由题意可得,解得.
故选：D.
9．答案：BC
解析：
10．答案：AB
解析：不妨令,则,,CD 错误;
因为,不等式两边同乘以a得:,
不等式两边同乘以b得:,故,A正确;
因为,相乘得:,B正确.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：
12．答案：ABC
解析：因为x,,所以,解得,当且仅当取等号,则,所以C正确;
,所以B正确;
由可得,,则,所以A正确;
设,则函数在上单调递增,则,所以D错误,
故选：ABC.
13．答案：
解析：,
故答案为：.
14．答案：1
解析：因为函数
为偶函数,为奇函数,
所以为奇函数,
由 得,
所以.
故答案为：1.
15．答案：
解析：,故,,
,
故答案为：.
16．答案：
解析：由可得,
记,由于函数单调递减,
所以单调递增,
由 可得,
又 ,
因此,
由可得,
所以,可得,
故答案为：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以.
则.
（2）因为,,所以,
则.
所以.
18．答案：（1）
（2）最小值为8
解析：（1）因为,①
所以,②由①②可解得：.
（2）由题知：,
（当且仅当,即时取“＝”）. 的最小值为8.
19．答案：（1）为奇函数
（2）当时,不等式的解集为;
当时,解得,不等式的解集为.
当时,解得,不等式的解集为
解析：（1）取,则,解得,
取,则,
所以,故为奇函数;
（2）不等式,即,
又为R上的单调递增函数,
则,即,
当时,不等式的解集为;
当时,解得,不等式的解集为.
当时,解得,不等式的解集为.
20．答案：（1）
（2）小时
解析：（1）与的函数关系,在定义域内单调递增,由增长速度可知,选择函数模型①,
由题意有：解得：所以.
（2）设耗电量为,则,
任取,
,
由,,,,
则有,即,
所以函数在区间单调递增, ,
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量,所以该车不在服务区充电不能到达地.
又设行驶时间与充电时间分别为,总和为,若能到达地,
则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量,
即,解得,
所以总时间,
当且仅当,即时取等,所以该汽车到达B地的最少用时为小时.
21．答案：（1）
（2）,
（3）
解析：（1）由,得.
故函数的单调递增区间为：
（2）若函数在区间上有两个零点,
令,即与在区间上有两个交点,
令,由,则,
即与在区间上有两个交点,
画出与在区间上的图象,如下：
由图可知：,.
（3）函数有且仅有3个零点,
因为关于成中心对称,
而关于成中心对称,
设三个零点为,,
则,,
所以所有零点之和.
22．答案：（1）不存在,理由见解析
（2）函数在上有“飘移点”
（3）
解析：（1）不存在,理由如下：
对于,则,整理得,
,则该方程无解,
函数不存在“飘移点”.
（2）对于,则,整理得,
在内连续不断,且,
在内存在零点,则方程在内存在实根,
故函数在上有“飘移点”.
（3）对于,则,
即,
,则,
令,则,
,
又,当且仅当,即时等号成立,
则,,
,即,
故实数a的取值范围为.
60
70
80
90
100
8.8
11
13.6
16.6
20