河南省信阳市淮滨县2024届九年级下学期开学学情调研测试数学试卷(含答案)

这是一份河南省信阳市淮滨县2024届九年级下学期开学学情调研测试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是( )
A.-1B.0C.D.2
2．2023年2月16日交通运输部发布信息，为期40天的春运于2月15日收官，全国营业性客运量约亿人次比2022年同期增长50.5%，数据“亿”用科学记数法可表示为( )
A.B.C.D.
3．下列运算正确的是( )
A.B.
C.D.
4．如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A.B.C.D.
5．如图，直线，若，，则的度数为( )
A.B.C.D.
6．小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表，那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是( )
A.平均数、方差B.中位数、方差C.平均数、中位数D.众数、中位数
7．若事件“关于x的一元二次方程有实数根”是必然事件，则a的取值范围是( )
A.B.C.且D.且
8．明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗，现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒.试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶?设有好酒x瓶，薄酒y瓶.依题意，可列方程组为( )
A.B.C.D.
9．如图，在中，.按以下步骤作图：
①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；
②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；
③作射线.若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为( )
A.3B.C.D.5
10．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，其中点B的坐标为，第1次将菱形绕着点O顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第2次将菱形绕着点O顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），第3次将菱形绕着点O顺时针旋转，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即）…依次类推，则点的坐标为( )
A.B.C.D.
二、填空题
11．请写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式：____________.
12．不等式组的最大整数解为____________.
13．将标有“中”“华”“崛”“起”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是_____.
14．如图，在中，，，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点，点B是的中点，则_____________.

15．如图是一张菱形纸片，，，点E在边上，且，点F在边上，把沿直线对折，点A的对应点为点，当点落在菱形对角线上时，则___________.
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：.
17．青春是校园生活的主旋律，某学校为了丰富学生的课余生活，焕发青春活力，激励学生成长，推动校园文化建设，开展了一次“美好青春，和谐校园”的校歌比赛，并在九（1）班和九（2）班各随机抽取了10名同学参加.
比赛成绩收集、整理如下：
九（1）班成绩：9，9.5，9，9，8，10，9，8，4，9.5
九（2）班成绩：
比赛成绩分析：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，_______，________；
（2）如果你是评委，请根据以上数据，判断两个班中哪个班的校歌歌唱水平比较好？并说明理由.
18．如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长.
19．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当时，称点P为“最佳视角点”，作，垂足C在OB的延长线上，且.
（1）当时，求PC的长；
（2）若，求PC的长.（结果精确到0.1cm，参考数据：，）
20．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功.飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个.
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元.
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于第二象限的点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为，点B到y轴的距离为2.
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出点O关于直线的对称点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（3）点O，A，B与（2）中的点，组成四边形.求证：四边形是菱形.
22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于点和点B，点B为二次函数图象的顶点.
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）点M为二次函数图象上的一个动点，且点M的横坐标为m，将点M向右平移1个单位长度得到点N.若线段与一次函数图象有交点，直接写出点M横坐标m的取值范围.
23．已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：
（1）如图1，若和均为等边三角形，①线段与线段的数量关系是________；②直线与直线相交所夹锐角的度数是________；
类比探究：
（2）如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，若，，，，当点B，D，E三点共线时，请直接写出的长.
参考答案
1．答案：C
解析：，
，
最小的数是.
故选C.
2．答案：C
解析：数据“15.95亿”用科学记数法可表示为，
故选C.
3．答案：C
解析：A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意.
故选C.
4．答案：B
解析：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块，
即主视图为：
故选B.
5．答案：D
解析：，，
，
，
.
故选D.
6．答案：D
解析：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D.
7．答案：C
解析：关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得且.
故选C.
8．答案：B
解析：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意得
,
故选B.
9．答案：B
解析：由作法得CG平分，
作CB上截取，连接交CG于E，如图
垂直平分，
，
，
此时的值最小，最小值为的长，
，D为AC边的中点，
，
在，，
的最小值为.
故选B.
10．答案：A
解析：如图，连接OB，，过点B作，过点作，垂足分别是F、E，
，，
，
，
，，
第1次将菱形OABC绕着点O顺时针转，，同时扩大为原来的2倍得到菱形（即），
，，
，
在中，，
的坐标为，即，
同样的方法，得：坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
由，
的坐标为，
故选A.
11．答案：（答案不唯一）
解析：若该函数为一次函数，设一次函数的表达式为，
当时，y随x的增大而减小，
只要保证即可，
(答案不唯一).
12．答案：1
解析：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为，
最大整数解为1，
故答案为1.
13．答案：
解析：从不透明的口袋中随机摸出两个球，共有6种等可能的结果：中华，中崛，中起，华崛，华起，崛起，其中摸到的球上的汉字可以组成“中华”的结果有1种，
摸到的球上的汉字可以组成“中华”的概率是.
故答案为.
14．答案：
解析：如图，连按DC，
B是的中点，
，，
，
，
，
，，
，
.
15．答案：或
解析：分情况讨论：
①当点落在菱形对角线BD上时，如图所示：
在菱形ABCD中，，，
，
，
是等边三角形，
，
根据折叠，可知，，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，，
，
，
解得（舍去）或，
；
②当点落在菱形对角线BD上时，如图所示：
在菱形ABCD中，，
，
根据折叠可知，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
综上所述，AF的长为或3，
故答案为或3.
16．答案：（1）2
（2）
解析：（1）原式
；
（2）原式
.
17．答案：（1）8.35；8.5；9
（2）见解析
解析：（1），
由表格可知，第5个数据和第6个数据都是，
；
数据9出现了4次，出现的次数最多，
；
故答案为：8.35；8.5；9；
（2）九（1）班歌唱水平比较好，因为九（1）班成绩的平均数、中位数和众数均高于九（2）班.
18．答案：（1）见解析
（2）7.5
解析：（1）证明：如图，连接.
是的切线，是的半径，D是切点，
，
，
，
.
，
，
，
平分；
（2）如图，连接，
在中，，，
，
.
是直径，
，
，
由（1）知，
，
，即，
.
19．答案：（1）27cm
（2）34.6cm
解析：（1）连接PO，如图，
点D为AO中点，且，
是AO的垂直平分线，
，
，，，
，
在中，，
即PC长为27cm；
（2）过D点作于E点，过D点作于F点，如图，
，
四边形DECF是矩形，即，，
在中，，
，
，，
，，
，，
，
在中，，
，
，
即PC的长度为34.6cm.
20．答案：（1）“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
（2）①
②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元
解析：（1）设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）①“神舟”模型a个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
当时，（元）.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
21．答案：（1）
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、点B，
故将点A的坐标代入反比例函数得：，
解得：，
反比例函数的关系式为.
（2）点O关于直线的对称点，如图：
作法：以点A为圆心，的长为半径，画弧；点B为圆心，的长为半径，画弧；两弧交于点，即为所求.
理由：连接，，，如图：
，
点A在线段的垂直平分线上，
同理点B也在线段的垂直平分线上，
点A与点B所在的直线垂直平分线段，
即垂直平分，
故点O与点关于直线对称，
即点O与点关于直线对称.
（3）连接，，如图：
点A的坐标为，
，
点B在第二象限且到y轴的距离为，
，
将代入反比例函数得，
解得：，
；
，
，
由（2）可得，，
即，
四边形是菱形.
22．答案：（1），
（2）
（3）点M横坐标m的取值范围为或
解析：（1）把点代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：
，
点B的坐标为，
把点，代入得：
，解得：，
二次函数的解析式为；
（2）观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
不等式的解集为；
（3）点M的横坐标为m，
点M的坐标为，
点M向右平移1个单位长度得到点N，
点N的坐标为，
当点N位于一次函数的图象上时，有
，
解得：或，
当点M位于一次函数的图象上时，
由（1）得：或1，
结合图象得：若线段与一次函数图象有交点，点M横坐标m的取值范围为或.
23．答案：（1）；
（2）见解析
（3）的长为或
解析：（1）如图1，延长交的延长线于点F.
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，.
，
.
综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是.
故答案为：；；
（2）①不成立，；②成立.
理由：如图2，延长交的延长线于点F.
，，
，
，，
，
，，
.
，
.
综上所述，，直线与直线相交所夹锐角的度数是；
（3）的长为或.
如图3，当点D落在线段上时.
，，，
，，
，.
，
，
；
如图4，当点E落在线段上时，同理可得.
综上所述，的长为或.
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
2
15
x
成绩
6
8
8.5
9
9.5
10
人数
2
1
3
1
2
1
平均数
中位数
众数
九（1）班
8.5
9
c
九（2）班
a
b
8.5