专题7.2 平行线中的常见模型（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．

（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；
（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．
①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）过P作PE//AB，利用平行线的性质即可得出答案；
（2）①过P作PE//AB，再利用平行线的性质即可得出答案；
②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）如图2，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，
∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）①∠APC=∠α+∠β，
理由：如图3，过P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
②∠APC=∠α−∠β．
如备用图1，当P在BD延长线上时，∠APC=∠α−∠β；

理由：如备用图1，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β；
如备用图2所示，当P在DB延长线上时，∠APC=∠β−∠α；
理由：如备用图2，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α；
综上所述，∠APC=∠α−∠β．
1．（2021·全国·九年级专题练习）在图中，若AB//CD，又得到什么结论？
2．（2021春·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
3．（2021春·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
4．（2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
5．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
（1）求证：EG⊥FG；
（2）填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
6．（2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝ ；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
7．（2021春·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；

【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
8．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
9．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
10．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；
②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝ ．
11．（2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
12．（2021春·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．
（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；
（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．
13．（2022春·广东珠海·七年级统考期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；
（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．
①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；
②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
14．（2021春·浙江杭州·七年级统考期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
15．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
16．（2021春·浙江宁波·七年级统考期中）如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°<∠EPF<180°．
（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．如图1，当点P在EF的左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF；如图2，当点P在EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系_________．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF=100°，则∠EQF的度数为______；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，以此类推，则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）