专题9.2 因式分解（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，a1x  c1a2x  c2  a1a2x2 a1c2x  a2c1x  c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x  c1c2．
反过来，就得到：a1a2x2+a1c2+a2c1x+c1c2=a1x+c1a2x+c2．
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为a1x  c1a2 x  c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2−x−6就可以分解为(x  2)(x  3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2−x−6= ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）2x2+5x−7= ；
（2）6x2−7xy+2y2= ．
【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b ， pk  qj  e ，mk  nj  d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式3x2+5xy−2y2+x+9y−4= ；
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y2−5x+my−24可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=−1，请写出一组符合题意的x，y的值．
【思路点拨】
【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；
（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；
（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．
【解题过程】
解：【阅读与思考】画十字交叉图：
∴x2−x−6=  x -3 x  2．
故答案是： x- 3 x  2；
【理解与应用】（1）画十字交叉图：
∴2x2  5x  7 =  x 12x  7，
故答案是： x 12x  7；
（2）画十字交叉图：
∴6x2 7xy  2y2 = 2x  y3x  2y，
故答案是：2x  y3x  2y；
【探究与拓展】（1）画十字交叉图：
∴3x2 5xy  2y2 x  9y  4  x  2y 13x  y  4，
故答案是：x  2y 13x  y  4；
（2）如图，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3，
∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78．
∴m的值为：43或－78；
（3）∵x2+3xy+2y2+2x+3y=−1，
∴x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0，
画十字交叉图：
∴(x+2y+1)(x+y+1)=0，
∴x+2y+1=0或x+y+1=0，
∵x，y为整数，
∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．
【思路点拨】
利用十字相乘法，分别对二次项系数，常数项进行因数分解，交叉乘加，检验是否得中项的系数，从而确定适当的“十字”进行因式分解．
【解题过程】
解：利用十字相乘法，如图，
将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，
15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．
故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：x6−28x3+27=______．
【思路点拨】
利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．
【解题过程】
解：原式=x32−28x3+27，
=x3−1x3−27，
=x−1x2+x+1x−3x2+3x+9．
故答案为：x−1x2+x+1x−3x2+3x+9．
3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：a4−4a3+4a2−9=___________．
【思路点拨】
本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．
【解题过程】
解：a4−4a3+4a2−9
=(a4−4a3+4a2)−9
=a2(a−2)2−32
=(a2−2a−3)(a2−2a+3)
=(a−3)(a+1)(a2−2a+3)
故答案为：(a−3)(a+1)(a2−2a+3)．
4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．
【思路点拨】
首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．
【解题过程】
解：x3﹣6x2+11x﹣6
＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6
＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）
＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）
＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]
＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）
＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：6x2−5xy+y2+17x−7y+12=_______．
【思路点拨】
将原式进行拆解变形为6x2−5xy+y2+8x−4y+9x−3y+12后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.
【解题过程】
解：6x2−5xy+y2+17x−7y+12
=6x2−5xy+y2+8x−4y+9x−3y+12
=2x−y3x−y+42x−y+33x−y+12
=2x−y3x−y+4+33x−y+4
=2x−y+33x−y+4.
所以答案为2x−y+33x−y+4.
6．（2023春·七年级课时练习）分解因式：x+y−2xyx+y−2+xy−12= ______ ．
【思路点拨】
先利用乘法公式展开、合并得到原式=x+y2−2x+y−2xyx+y+xy2+2xy+1，再进行分组得到完全平方公式，所以原式=[x+y−xy+1]2，然后再把括号内分组分解即可．
【解题过程】
解：原式=x+y2−2x+y−2xyx+y+4xy+xy2−2xy+1
=x+y2−2x+y−2xyx+y+xy2+2xy+1
=x+y2−2x+yxy+1+xy+12
=x+y−xy+12
=x+y−xy−12
=(x−1)(y−1)2
=x−12y−12．
故答案为：x−12y−12．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
（1）x2−7x+10
（2）x2x2−9x+18
（3）x2x2−5x−6
（4）x2x2−9x−22
（5）x23x2+x−2
（6）x23x2+x−4
（7）x2−12x2+25x−12
（8）x2−3x2−x+10
（9）x2x2−y2−x−y
（10）x2x3+x2+x+1
（11）x2a2+4a−9b2+4
（12）x2a2−4b2−2a+4b
【思路点拨】
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解因式即可；
（3）利用十字相乘法分解因式即可；
（4）利用十字相乘法分解因式即可；
（5）利用十字相乘法分解因式即可；
（6）利用十字相乘法分解因式即可；
（7）利用十字相乘法分解因式即可；
（8）利用十字相乘法分解因式即可；
（9）利用分组分解法分解因式即可；
（10）利用分组分解法分解因式即可；
（11）利用分组分解法分解因式即可；
（12）利用分组分解法分解因式即可．
【解题过程】
（1）解：x2−7x+10
∴x2−7x+10=x−2x−5；
（2）解：x2−9x+18
∴x2−9x+18=x−3x−6
（3）解：x2−5x−6
∴x2−5x−6=x+1x−6；
（4）解： x2−9x−22
∴x2−9x−22=x+2x−11；
（5）解：3x2+x−2
∴3x2+x−2=x+13x−2；
（6）解：3x2+x−4
∴3x2+x−4=x−13x+4；
（7）解：−12x2+25x−12=−12x2−25x+12
∴原式=−3x−44x−3；
（8）解：−3x2−x+10=−3x2+x−10
∴原式=−x+23x−5；
（9）解：x2−y2−x−y
=x+yx−y−x+y
=x+yx−y−1；
（10）解：x3+x2+x+1
=x2x+1+x+1
=x2+1x+1；
（11）解：a2+4a−9b2+4
=a2+4a+4−9b2
=a+22−9b2
=a+2+3ba+2−3b；
（12）解：a2−4b2−2a+4b
=a2−4b2−2a−4b
=a+2ba−2b−2a−2b
=a+2b−2a−2b．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：
（1）x2−2x3+16x2−24x；
（2）x2(a2+b2−c2)2−4a2b2；
（3）x2(x2−x−3)(x2−x−5)−3；
（4）x2x+y3−x3−y3；
（5）x2x3−9x+8．
【思路点拨】
（1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．
（2）运用公式法进行因式分解．
（3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解．
（4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解．
（5）先分组，再提公因式进行因式分解．
【解题过程】
（1）解：（1）−2x3+16x2−24x
＝−2xx2−8x+12
＝−2x(x−2)(x−6)．
（2）(a2+b2−c2)2−4a2b2
＝a2+b2−c2+2aba2+b2−c2−2ab
＝a+b2−c2a−b2−c2
＝a+b+c(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c)．
（3）(x2−x−3)(x2−x−5)−3
＝x2−x2−8x2−x+15−3
＝x2−x2−8x2−x+12
＝x2−x−2x2−x−6
＝x+1(x−2)x+2(x−3)
（4）x+y3−x3−y3
＝x+y2x+y−x3−y3
＝x2+y2+2xyx+y−x3−y3
＝x3+x2y+xy2+y3+2x2y+2xy2−x3−y3
＝3x2y+3xy2
＝3xyx+y．
（5）x3−9x+8
＝x3−x−8x+8
＝xx2−1−8（x−1）
＝xx+1x−1−8x−1
＝(x−1)(x2+x−8)．
9．（2023春·七年级课时练习）因式分解：
（1）x2a2−4b2+12bc−9c2；
（2）x2x2−2x−15；
（3）x2x2−y2−4x+6y−5．
【思路点拨】
（1）利用分组法变形为a2−(4b2−12bc+9c2)后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．
（2）利用十字相乘法xx×3−5分解因式即可．
（3）变形为x2−4x+4−y2−6y+9后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．
【解题过程】
（1）解：原式=a2−(4b2−12bc+9c2)
=a2−(2b−3c)2
=(a+2b−3c)(a−2b+3c)；
（2）解：原式=(x−5)(x+3)；
（3）解：原式=x2−4x+4−y2−6y+9
=(x−2)2−(y−3)2
=(x+y−5)(x−y+1)．
10．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式：
（1）3a(b2+9)2−108ab2；
（2）2b3−b2−6b+5a−10ab+3；
（3）计算：24+1414+1444+1434+1464+1454+14；
（4）4x2−14xy+6y2−7x+y−2．
【思路点拨】
（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；
（2）利用分组分解法进行因式分解即可得；
（3）先利用公式法分解x4+14和x+14+14，从而可得x+14+14x4+14的值，再代入计算即可得；
（4）先利用十字相乘法分解4x2−14xy+6y2，再利用提公因式法进行因式分解即可得．
【解题过程】
解：（1）原式=3a(b2+9)2−36b2
=3a(b2+9+6b)(b2+9−6b)
=3a(b+3)2(b−3)2；
（2）原式=2b3−b2+5a−10ab−6b−3
=b22b−1−5a2b−1−32b−1
=2b−1b2−5a−3；
（3）∵x4+14=x2+122−x2=x2+x+12x2−x+12，
x+14+14=x+12+122−x+12
=x+12+x+1+12x+12−x+1+12
=x2+3x+52x2+x+12，
∴x+14+14x4+14=x2+3x+52x2+x+12x2+x+12x2−x+12=x2+3x+52x2−x+12，
∴24+1414+1444+1434+1464+1454+14
=12+3×1+5212−1+12×32+3×3+5232−3+12×52+3×5+5252−5+12
=13212×412132×852412
=85；
（4）原式=x−3y4x−2y−7x+y−2
=x−3y4x−2y+x−3y−8x+4y−2
=x−3y4x−2y+1−24x−2y+1
=4x−2y+1x−3y−2．
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式：
（1）a2+4ab+4b2−ac−2bc
（2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx
（3）a2−b2−x2+y2−2ay+2bx
（4）1+y2−2x21−y2+x41−y2
【思路点拨】
（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；
（4）利用完全平方公式分解即可．
【解题过程】
解：（1）a2+4ab+4b2−ac−2bc
=a+2b2−ca+2b
=a+2b−ca+2b；
（2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx
=ax2+bx2+cx2+ax+bx+cx
=a+b+cx2+a+b+cx
=xx+1a+b+c；
（3）a2−b2−x2+y2−2ay+2bx
=a2−2ay+y2−b2+x2−2bx
=a−y2−b−x2
=a−y+b−xa−y−b−x
=−x−a−b+yx+a−b−y；
（4）1+y2−2x21−y2+x41−y2
=1+y2−2x21+y1−y+x41−y2
=1+y−x21−y2
=x2y−x2+y+12．
12．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
（1）2aa−12−28a21−a+18aa−1
（2）x2+3x2−8x2+3x−20
（3）4x3−2x2−9xy2−3xy
（4）yy−4−m+2m−2
【思路点拨】
（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设x2+3x=t，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【解题过程】
（1）2aa−12−28a21−a+18aa−1
=2aa−12+28a2a−1+18aa−1
=2aa−1a−1+14a+9
=2aa−115a+8；
（2）设x2+3x=t，
∴原式=t2−8t−20=t+2t−10
∴x2+3x2−8x2+3x−20
=x2+3x+2x2+3x−10
=x+1x+2x−2x+5；
（3）4x3−2x2−9xy2−3xy
=x4x2−2x−9y2−3y
=x4x2−9y2−2x+3y
=x2x+3y2x−3y−2x+3y
=x2x+3y2x−3y−1；
（4）yy−4−m+2m−2
=y2−4y−m2+4
=y2−4y+4−m2
=y−22−m2
=y−2+my−2−m．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2
【思路点拨】
前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，展开后利用等式的性质求得a=-5z，b=2z，即可分解．
【解题过程】
解：x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2
=(x−y)(x+2y)−3xz−12yz−10z2，
设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，
则(x-y+a) (x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，
∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，
解得：a=-5z，b=2z，
∴x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2
=(x−y−5z)(x+2y+2z)．
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：
（1）2x2+6x+12+5x2+1x2+6x+1+2x2+12
（2）x2y−z3+y2z−x3+z2x−y3
【思路点拨】
（1）先将x2+6x+1和x2+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；
（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子x−y，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设x2y−z3+y2z−x3+z2x−y3 =x−yy−zz−xAx2+y2+z2+Bxy+yz+zx，利用待定系数法即可求解．
【解题过程】
（1）解：2x2+6x+12+5x2+1x2+6x+1+2x2+12
=2x2+12x+2+x2+1x2+6x+1+2x2+2
=9x2+4x+1x2+2x+1
=9x2+4x+1x+12
（2）解：当x=y时，原式等于0，故原式含有因子x−y，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设x2y−z3+y2z−x3+z2x−y3 =x−yy−zz−xAx2+y2+z2+Bxy+yz+zx
令x=−1，y=0，z=1得2A−B=−1，
令x=0，y=1，z=2得5A+2B=2，
解得A=0，B=1，
所以x2y−z3+y2z−x3+z2x−y3=x−yy−zz−xxy+yz+zx．
15．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当m为何值时，多项式6x2+mxy−5y2−15x+38y−21可以分解为两个关于x，y的一次三项式的乘积？
【思路点拨】
先将x项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比较，列出方程求解即可．
【解题过程】
解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy−5y2−15x+38y−21中6x2−15x−21三项应当分解为：2x−73x+3，
现在要考虑y，只须先改写作2x−7+ay3x+3+by，
然后根据−5y2，38y这两项，即可断定是：ab=−53a−7b=38，
解得：a=1，b=−5或a=353，b=−37，
又∵m=2b+3a，
∴当a=1，b=−5时，m=−7，
当a=353，b=−37时，m=2397．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【思路点拨】
（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【解题过程】
解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by=ax+ay+bx+by=ax+y+bx+y=x+ya+b
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2−y2−x−y；
（2）分解因式：9m2−4x2+4xy−y2；
（3）分解因式：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1.
【思路点拨】
（1）先运用平方差公式，再提取公因式即可；
（2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；
（3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．
【解题过程】
（1）解：x2−y2−x−y
=x−yx+y−x+y
=x+yx−y−1；
（2）解：9m2−4x2+4xy−y2
=9m2−4x2−4xy+y2
=9m2−2x−y2
=3m+2x−y3m−2x+y；
（3）解：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1
=4a2−4a2b2+4a−4ab2+1−b2
=4a21−b2+4a1−b2+1−b2
=4a2+4a+11−b2
=4a2+4a+11−b2
=2a+121+b1−b．
18．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
【思路点拨】
（1）用十字相乘法分解．
（2）根据因式分解的结果进行计算，比较系数即可求解；
（3）先分组，再用待定系数法分解．
【解题过程】
（1）解：x2﹣15x﹣34
＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）
＝（x﹣17）（x+2）．
故答案为：（x﹣17）（x+2）．
（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．
故选填一组即可．
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．
（3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）
＝（3×1）m2+[3m×（2n﹣1）﹣m（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）
＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．
19．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2−4y2−2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
x2−4y2−2x+4y
=x2−4y2−2x+4y
=x+2yx−2y−2x+2y
=x−2yx+2y−2
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
（1）mn2−2mn+2n−4；
（2）x2−2xy+y2−16；
（3）4x2−4x−y2+4y−3．
【思路点拨】
（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，分别因式分解，再提取公因式即可；
（2）对前三项利用完全平方公式因式分解，再整体运用平方差公式分解即可；
（3）前两项加1，后三项减1，分别构建完全平方式，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【解题过程】
（1）解：mn2−2mn+2n−4
=mnn−2+2n−2
=n−2mn+2
（2）x2−2xy+y2−16
=x−y2−42
=x−y+4x−y−4
（3）4x2−4x−y2+4y−3
=4x2−4x+1−y2+4y−3−1
=4x2−4x+1−y2−4y+4
=2x−12−y−22
=2x−1+y−22x−1−y−2
=2x+y−32x−y+1
20．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：x2−2xy+y2−16=x−y2−16=x−y+4x−y−4．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2−6ab+9b2−25；
（2）因式分解：x2+x−5x−5；
（3）若m、n、p为非零实数，且14m−n2=p−nm−p，求证：2p=m+n．
【思路点拨】
（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案；
（3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：a2−6ab+9b2−25
=a−3b2−25
=a−3b−5a−3b+5；
（2）解：x2+x−5x−5
=x2+x−5x+5
=xx+1−5x+1
=x+1x−5；
（3）证明：14m−n2=p−nm−p，
m2−2mn+n2=4pm−p2−mn+pn，
m2−2mn+n2=4pm−4p2−4mn+4pn，
m2−2mn+n2+4mn−4pm−4pn+4p2=0，
m2+2mn+n2−4pm+4pn+4p2=0，
m+n2−4pm+n+4p2=0，
m+n−2p2=0，
m+n−2p=0，
∴2p=m+n．