专题9.3 因式分解的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】已知a，b，c三个数两两不等，且有a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，试求m的值．
【思路点拨】
a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，得a2+b2+mab=b2+c2+mbc，移项后因式分解得到a−ca+c+mb=0，由a，b，c三个数两两不等，则a−c≠0，得到a+c+mb=0①，同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况求解即可．
【解题过程】
解：∵a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，
∴a2+b2+mab=b2+c2+mbc，
即a2+b2+mab−b2−c2−mbc=0，
∴a2−c2+mab−mbc=0，
∴a+ca−c+mba−c=0，
∴a−ca+c+mb=0，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴a−c≠0，
∴a+c+mb=0①，
同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，
当a+b+c≠0时，
①＋②＋③得，2a+b+c+ma+b+c=0，
∴2a+b+c+ma+b+c=0，
∴a+b+c2+m=0，
∴2+m=0，
解得m=−2，
当a+b+c=0时，
∵a，b，c三个数两两不等，
∴a，b，c三个数中至少一个不是0，
设b≠0，
∴a+c=−b≠0,
∵a+c+mb=0，
∴−b+mb=0，
∴bm−1=0，
∴m−1=0，
解得m=1，
综上可知，m的值为−2或1．
1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）已知m，n均为正整数且满足mn−2m−3n−20=0，则m+n的最小值是（ ）
A．20B．30C．32D．37
2．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）已知x2+x=1，那么x4+2x3−x2−2x+2023的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
3．（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期中）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（ ）
A．M>NB．M＜NC．M=ND．不能确定
4．（2023·全国·九年级专题练习）已知当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m−n+2≠0，则当x=m+n+1时，多项式x2+4x+6的值等于（ ）
A．439B．1399C．3D．11
5．（2022春·重庆·九年级校联考期中）已知多项式A=x2+2y+m和B=y2−2x+n（m，n为常数），以下结论中正确的是（ ）
①当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B≥0；
②当m=n=0时，A×B所得的结果中不含一次项；
③当x=y时，一定有A≥B；
④若m+n=2且A+B=0，则x=y；
⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则x+y=1．
A．①②④B．①②⑤C．①④⑤D．③④⑤
6．（2022秋·七年级单元测试）正数a,b,c满足ab+2a+2b=bc+2b+2c=ac+2a+2c=12，那么a+2b+2c+2=______．
7．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知a=2021x+2000，b=2021x+2001，c=2021x+2002，则多项式a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为______．
8．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，则a4+b4值为 _______．
9．（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）若x≠y，且x2−4x+y=0，y2−4y+x=0，则x3+2xy+y3=____________．
10．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知m2=2n+1，4n2=m+1m≠2n，那么m+2n=______，4n3−mn+2n2=______．
11．（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）对于二次三项式x2+mx+n（m、n为常数），下列结论：
①若n=36，且x2+mx+n=x+a2，则a=6；
②若m2y，Ex,y>0，例如：40=5×8，10=2×5，则E40,10=40−10=30．若“如意数”x的“如意起点”为s，“如意数”y的“如意起点”为t，当Ex,y=48时，求st的最大值．
19．（2023秋·重庆大足·八年级统考期末）已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=abcda>c，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记TM=ba+dc．
例如：6237是“平方差数”，因为62−32=27，所以6237是“平方差数”；
此时T6237=26+73=99．
又如：5135不是“平方差数”，因为52−32=16≠15，所以5135不是“平方差数”．
（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
（2）若M=abcd是“平方差数”，且TM比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．
20．（2023春·七年级单元测试）若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”．
（1）求证：对任意“好数”m，m2−16一定为20的倍数．
（2）若m=p2−q2，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定：Hm=qp，例如24=52−12，称数对(5,1)为“友好数对”，则H24=15，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值．