北京市育才学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（每小题3分，共30分）.
1. 作为一名道路交通的参与者，在我们生活的周边有形色各异的交通标识，交通标识中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2，3，6B. 4，4，8C. 4，7，11D. 5，8，12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、，不能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，不能组成三角形；
D、，能够组成三角形．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则，根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
4. 已知图中的两个三角形全等，则等于( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，

和全等，，，
，，，
，
故选：B．
5. 如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据内角和求出边数，再根据外角和为，进行计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为，
由题意，得，
解得：，
∴正多边形的一个外角，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正多边形内角和的计算方法和外角和为是解题的关键．
6. 如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）

A. B. C. 平分D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
7. 如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到∠C=∠F，再证明CB=FE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：，
，
，
，
即，
当添加，即时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断．
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
8. 如图， 是 的角平分线， ，垂足为， ， ， ，则 长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 如图，，点在边上，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数．
详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
故选：C．
10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A. 随着θ的增大而增大
B. 随着θ的增大而减小
C. 不变
D. 随着θ的增大，先增大后减小
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共24分）.
11. 计算_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂的定义：，熟知定义是解决本题的关键；
【详解】解：
故答案为：
12. 右图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，则此作法的数学依据是______（请从“、、、、”中选择一个填入）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定，先根据角平分线的作图法知道，结合公共边，即可作答．，
【详解】解：∵上图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图
∴
∵
∴
故答案为：
13. 已知点与点关于轴对称，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征即可解答.
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟记关于轴对称的点坐标特征是解题的关键．
14. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
【答案】55°
【解析】
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
15. 如果等腰三角形的两条边长分别为3和4，则它的周长______．
【答案】10或11
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】有两种情况：腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形，
周长；
腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形，
周长．
故答案为：10或11．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
16. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于______．
【答案】19
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长，
故答案为：19．
17. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上的动点.若点在线段的垂直平分线上，______；当取得最小值时，______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，待定系数法，轴对称-最短路线问题，根据线段垂直平分线的性质和两点间的距离公式列方程解出即可求出若点P在线段的垂直平分线上a的值；确定点M关于x轴的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式即可求出当取得最小值时a的值．
【详解】解：当点P在线段的垂直平分线上时：有，
∴，
解得，
当取得最小值时：
取关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，
设直线解析式为：
将，代入，得
，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
解得，
∴．
故答案为：2，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，，，动点，分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线经过原点，且，过，分别作的垂线段，垂足分别为，．若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，运动时间为秒，当与全等时，的值为______．

【答案】1或2或5
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．
判断出再分三种情况讨论，表示出，建立一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
由题意，和是两直角三角形的斜边，
当与全等时，，
①当点P在上，点Q在上时，
根据题意可得∶时，，，
∴，，
∴，
解得∶；
②当点P，Q都在上时，点P，Q重合时，两三角形重合时，
P点行程为，Q点行程为，
∴，
解得；
③当点P在上，点Q在上且点Q与点A重合时，
，
∴．
解得：
当与全等时，满足题意的t的值为1或2或5．
故答案为：1或2或5．
三、解答题：（共8小题，共46分）
19. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算：
（1）原式先计算乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得出结果；
（2）原式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先利用平行线的性质得，再利用得出，得出，根据平行线的判定即可得到结论.
【详解】证明：∵，
∴.
又∵，
∴
在和中，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.
21. 如图，是的离，是的角平分线，若，，求和的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故．
详解】解：∵，
∴，
∵是角平分线，
∴．
∵是高，，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为，乙长方形的两边长分别为，，面积为（其中m为正整数）．

（1）＝ ， （用含m的多项式表示）， （填“”、“ ”或“”）；
（2）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为，求证：为定值．
【答案】（1），，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．
（1）由长方形的面积可得，的代数式，计算得，根据m的取值范围即可判断，的大小
（2）计算甲长方形的周长，即可得正方形的边长及面积，再计算即得答案．
【小问1详解】
由长方形的面积的计算方法可得，
，
，
，
m为正整数，
，
即；
故答案为：，，．
【小问2详解】
甲长方形周长为，
周长为的正方形的边长为，
边长为的正方形的面积，
．
即为定值9．
23. 操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点，，．

（1）画出关于轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标______；
（2）点是轴上的动点，点是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点和点的位置，使取得最小值，最小值是______个单位长度．
【答案】（1）图见解析；
（2）点和点的位置见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：
（1）根据轴对称变换的性质作出图形即可，再写出点的坐标；
（2）过点作的垂线交y轴于点E，交于点F，则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值，再在中根据面积法得出等式求出的长即可．
【小问1详解】
解：如图所示，

即为所求，
∵点与点关于y轴对称，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，过点作的垂线交y轴于点E，交于点F，
则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值，
∵，
∴，
∵的面积，
∴，
∴最小值是，
故答案为：．
24. 阅读实践：学习了三角形、全等三角形及轴对称的相关知识后，爱思考的小铭同学设计了一种新的角平分线的尺规作图方法，以下为他的作图过程：
请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，并完成证明．
证明：
.（ ）
为的反向延长线，
，
即.
，______，
______.
在和中，
，（ ）
．
即为的角平分线．
【答案】图形见解答；，，等边对等角，，，，，，，全等三角形对应角相等，
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图，根据作图过程利用尺规完成作图，进而完成填空．
【详解】解：如图所示，即为所求；
证明：∵，
∴（等边对等角），
∵为的反向延长线，
∴，
即．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形对应角相等），
∴．
即为的角平分线．
故答案为：，，等边对等角，，，，，，，全等三角形对应角相等，．
25. 如图，在中，，为边上一点，平分，且，若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点作于点，利用“”可证明，得到，，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，则，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
26. 如图，已知等腰中，，，，点关于直线的对称点为点，连接，连接交于点，连接交于点，交于点．
（1）如图1，当时，
①补全图形；
②探究与的数量关系，并说明理由；
（2）在直线绕点顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出的值为______．
【答案】（1）①图形见详解，②，理由见详解
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据题意直接进行作图即可， ②连接，由题意可得，进而可得，，，证明，最后利用直角三角形的性质得出，即可得出与的数量关系．
（2）如图2，求得是等腰三角形，求出，，然后进行分类求解即可．
【小问1详解】
解：①如图1：

②，
连接，
∵点关于直线的对称点为点，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又，平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图2，

∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
当时，（舍去）．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形内角和定理、轴对称的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
附加题：（共2小题，第1小题3分，第2小题7分，共10分）
27. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么.
例如：因为，所以.令，，，
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查幂的混合运算，先求出，，即有，得，即．
【详解】证明：∵，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
28. 如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______；
（2）如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【答案】（1）；
（2），理由见解析；
（3）不会变化，．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）过点作轴于，由可证，可得，可求解；
（2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论；
（3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解．
【小问1详解】
解：如图①，过点作轴于，
点的横坐标为，
在和中，
，
故答案为：；
小问2详解】
，
如图②，延长，交于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问3详解】
与的面积比不会变化，
理由∶如图③，作轴于，
，
在和中，
，
在和中，
，
．
已知，
①作的反向延长线；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，；
③连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
④以点为圆心，长为半径画弧，交第②步所画弧于点；
⑤作射线，即为的角平分线．