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专题12 全国初中数学竞赛分类汇编卷（二）一元一次方程综合（提优）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）
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这是一份专题12 全国初中数学竞赛分类汇编卷（二）一元一次方程综合（提优）-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用），文件包含专题12分类汇编卷三一元一次方程综合提优-初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练原卷版docx、专题12分类汇编卷三一元一次方程综合提优-初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：设最多可喝矿泉水x瓶，依题意有
15+x＝4x，
解得x＝5．
故最多可喝矿泉水5瓶．
故选：C．
2．若关于x的方程（k﹣2013）x＝2015﹣2014x的解是整数，则整数k的值有（ ）
A．4个B．8个C．12个D．16个
【解答】解：∵（k﹣2013）x＝2015﹣2014x，
∴x=2015k+1，
∵x、k都是整数，2015＝1×5×13×31，
∴k+1可取：±1，±5，±13，±31，±5×13，±5×31，±13×31，±2015，
∴整数k的值有16个，
故选：D．
3．一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛．
A．16B．18C．20D．22
【解答】解：设草一天增加量是a，每头牛每天吃的草的量是b，原有草的量是c．
根据题意，得
60×24b=c+24a30×60b=c+60a，
解，得a=10bc=1200b．
则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是c+120a120b=20．
故选：C．
4．某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次，如果每小时付给工人计时工资4元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元，工人按钟表所示做完8小时工作（8小时为规定工作时间），应付给工人工资（ ）
A．34.3元B．34.6元C．34.8元D．35元
【解答】解：设实际时间为x则，由题意可知：60+601169x＝8，
所以该钟8个小时合实际时间x＝8×6960+6011=25330，
故应付工资6（25330-8）+4×8＝34.6（元）
故选：B．
5．如果12+16+112+⋯+1n(n+1)=20112012，那么n＝ ．
【解答】解：∵12+16+112+⋯+1n(n+1)=11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1=20112012，
∴n＝2011．
故答案为：2011．
6．若y＝|x+1|﹣2|x|+|x﹣2|，且﹣1≤x≤2，则y的最大值是 ，y的最小值是 ．
【解答】解：∵﹣1≤x≤2，
∴|x+1|＝x+1，|x﹣2|＝2﹣x，
∴y＝x+1﹣2|x|+2﹣x＝3﹣2|x|．
而0≤|x|≤2，
∴当x＝0时，y最大值为3，当x＝2时，y最小值为﹣1．
故答案为：3，﹣1．
7．关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a恰有三个整数解，则a的值为 ．
【解答】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；
②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．
故答案为1．
8．某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为 ．
【解答】解：设此商品的进价是x元，
则商品的售价可表示为900×0.9﹣40，也可表示为（1+10%）x，
由题意得，900×0.9﹣40＝（1+10%）x，
解得x＝700．
故此商品的进价为700元．
故答案为：700元．
9．在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为 ．
【解答】解：设正方形②的边长是x．
结合图形，得
x+1+1+1＝x+1+x﹣1，
解得
x＝3．
则正方形⑤的边长是6，其面积是36．
故答案为：36．
10．六年级（11）班有60人，其中参加数学小组的人数占全班的35，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少536，并且两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的14多2人，则同时参加两个小组的人数是 ．
【解答】解：设同时参加这两个小组的人数为x，则这两个小组都不参加的人数为14x+2，
得：60×35+60×35-5﹣x+14x+2＝60，
即36+36﹣5﹣x+14x+2＝60，
移项、合并同类项得：9=34x，
系数化为1得：x＝12，即同时参加两个小组的人数是12人，
故答案为：12人．
11．若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则方程xab+x(a+1)(b+1)+x(a+2)(b+2)+⋯+x(a+2001)(b+2001)=2002的解是 ．
【解答】解：∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0，ab﹣2＝0，
解得：a＝1，b＝2，
已知方程变形得：（11×2+12×3+⋯+12002×2003）x＝2002，
整理得：（1-12+12-13+⋯+12002-12003）x＝2002，
即20022003x＝2002，
解得：x＝2003．
故答案为：x＝2003．
12．已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q＝97的解是1，求代数式40p+101q+4的值．
【解答】解：把x＝1代入方程px+5q＝97可得：p+5q＝97，故p与5q中必有一个为偶数，
①若p＝2，则5q＝95，q＝19，40p+101q+4＝2003．
②若5q为偶数，则q为2，p＝87，而87不是质数，与题意矛盾．
综上可得：40p+101q+4＝2003．
故答案为：2003．
13．设n是自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：x+2[x]+3[x]+…+n[x]＝（1+2+3+…+n）2．
【解答】解：∵n是自然数，
∴原方程可化为：x+2x+3x+…+nx＝（1+2+3+…+n）2，
即（1+2+3+…+n）x＝（1+2+3+…+n）2，
解得：x＝1+2+3+…+n=(1+n)n2．
14．某校一栋5层的教学大楼，第一层没有教室，二至五层，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有两道大小相同的大门和一道小门（平时小门不开）．安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道大门和一道小门时，3分钟内可以通过540名学生，若一道大门平均每分钟比一道小门可多通过60名学生．
（1）求平均每分钟一道大门和一道小门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内安全撤离，这栋教学大楼每间教室平均有45名学生，问：在紧急情况下只开启两道大门是否可行？问什么？3道门都开启呢？
【解答】解：（1）设平均每分钟一道大门可通过x名学生，则一道小门可通过（x﹣60）名学生，
根据题意列方程：3x+3（x﹣60）＝540，
解得：x＝120，
则x﹣60＝60．
答：平均每分钟一道大门可以通过120名学生，一道小门可以通过60名学生；
（2）在紧急情况下只开启两道大门不能使楼上学生在5分钟内安全撤离，必须开启3道门．
∵这栋楼约有学生4×6×45＝1080（人）
拥挤时5分钟2道大门只能通过5×2×120×（1﹣20%）＝960（人），
拥挤时5分钟3道门能通过5×（2×120+60）×（1﹣20%）＝1200（人），
1200＞1080＞960，
所以，在紧急情况下只开启两道大门不可行，3道门都开启才符合安全要求．
15．如图的数阵是由全体奇数排成的：
（1）如图，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示，则另两个数分别是 和 ．
（2）在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是 ．
（3）这九个数之和能等于2018吗？2079呢？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设中间一个数为a，则另两个数分别是a﹣18或a+18．
故答案为：a﹣18，a+18；
（2）41×9＝369．
故这九个数之和是369．
故答案为：369；
（3）这九个数之和不能等于2018，这九个数之和能等于2079，理由如下：
设中间的一个为n，依题意有
9n＝2018，
解得n＝22429，
因为不是整数，所以不存在；
或9n＝2079，
解得n＝231，
231﹣18+4＝217，217是数列中最左边一列中的数，．
故这九个数之和不能等于2079．
16．如图，甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，甲的速度为每分钟60m，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190m，问：这条椭圆形跑道长多少米？
【解答】解：设这条椭圆形跑道长x米，
∵跑第一圈时，甲的速度为每分钟60m，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15，
∴跑第一圈时乙的速度为：60×23=40m/min，
跑第二圈甲的速度为：60（1+13）＝80m/min，
跑第二圈乙的速度为：40（1+15）＝48m/min，
∵第一圈甲乙的速度之比为：60：40＝3：2，
∴第一次相遇时，甲跑了0.6x米，
则x60+x-(0.6x-190)80=x40+0.6x-19048，
解得，x＝400
即这条椭圆形跑道长400米．
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：设最多可喝矿泉水x瓶，依题意有
15+x＝4x，
解得x＝5．
故最多可喝矿泉水5瓶．
故选：C．
2．若关于x的方程（k﹣2013）x＝2015﹣2014x的解是整数，则整数k的值有（ ）
A．4个B．8个C．12个D．16个
【解答】解：∵（k﹣2013）x＝2015﹣2014x，
∴x=2015k+1，
∵x、k都是整数，2015＝1×5×13×31，
∴k+1可取：±1，±5，±13，±31，±5×13，±5×31，±13×31，±2015，
∴整数k的值有16个，
故选：D．
3．一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛．
A．16B．18C．20D．22
【解答】解：设草一天增加量是a，每头牛每天吃的草的量是b，原有草的量是c．
根据题意，得
60×24b=c+24a30×60b=c+60a，
解，得a=10bc=1200b．
则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是c+120a120b=20．
故选：C．
4．某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次，如果每小时付给工人计时工资4元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元，工人按钟表所示做完8小时工作（8小时为规定工作时间），应付给工人工资（ ）
A．34.3元B．34.6元C．34.8元D．35元
【解答】解：设实际时间为x则，由题意可知：60+601169x＝8，
所以该钟8个小时合实际时间x＝8×6960+6011=25330，
故应付工资6（25330-8）+4×8＝34.6（元）
故选：B．
5．如果12+16+112+⋯+1n(n+1)=20112012，那么n＝ ．
【解答】解：∵12+16+112+⋯+1n(n+1)=11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1=20112012，
∴n＝2011．
故答案为：2011．
6．若y＝|x+1|﹣2|x|+|x﹣2|，且﹣1≤x≤2，则y的最大值是 ，y的最小值是 ．
【解答】解：∵﹣1≤x≤2，
∴|x+1|＝x+1，|x﹣2|＝2﹣x，
∴y＝x+1﹣2|x|+2﹣x＝3﹣2|x|．
而0≤|x|≤2，
∴当x＝0时，y最大值为3，当x＝2时，y最小值为﹣1．
故答案为：3，﹣1．
7．关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a恰有三个整数解，则a的值为 ．
【解答】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；
②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，
当x≥2时，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；
当x＜2时，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a＝﹣1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．
故答案为1．
8．某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为 ．
【解答】解：设此商品的进价是x元，
则商品的售价可表示为900×0.9﹣40，也可表示为（1+10%）x，
由题意得，900×0.9﹣40＝（1+10%）x，
解得x＝700．
故此商品的进价为700元．
故答案为：700元．
9．在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为 ．
【解答】解：设正方形②的边长是x．
结合图形，得
x+1+1+1＝x+1+x﹣1，
解得
x＝3．
则正方形⑤的边长是6，其面积是36．
故答案为：36．
10．六年级（11）班有60人，其中参加数学小组的人数占全班的35，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少536，并且两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的14多2人，则同时参加两个小组的人数是 ．
【解答】解：设同时参加这两个小组的人数为x，则这两个小组都不参加的人数为14x+2，
得：60×35+60×35-5﹣x+14x+2＝60，
即36+36﹣5﹣x+14x+2＝60，
移项、合并同类项得：9=34x，
系数化为1得：x＝12，即同时参加两个小组的人数是12人，
故答案为：12人．
11．若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则方程xab+x(a+1)(b+1)+x(a+2)(b+2)+⋯+x(a+2001)(b+2001)=2002的解是 ．
【解答】解：∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0，ab﹣2＝0，
解得：a＝1，b＝2，
已知方程变形得：（11×2+12×3+⋯+12002×2003）x＝2002，
整理得：（1-12+12-13+⋯+12002-12003）x＝2002，
即20022003x＝2002，
解得：x＝2003．
故答案为：x＝2003．
12．已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q＝97的解是1，求代数式40p+101q+4的值．
【解答】解：把x＝1代入方程px+5q＝97可得：p+5q＝97，故p与5q中必有一个为偶数，
①若p＝2，则5q＝95，q＝19，40p+101q+4＝2003．
②若5q为偶数，则q为2，p＝87，而87不是质数，与题意矛盾．
综上可得：40p+101q+4＝2003．
故答案为：2003．
13．设n是自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：x+2[x]+3[x]+…+n[x]＝（1+2+3+…+n）2．
【解答】解：∵n是自然数，
∴原方程可化为：x+2x+3x+…+nx＝（1+2+3+…+n）2，
即（1+2+3+…+n）x＝（1+2+3+…+n）2，
解得：x＝1+2+3+…+n=(1+n)n2．
14．某校一栋5层的教学大楼，第一层没有教室，二至五层，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有两道大小相同的大门和一道小门（平时小门不开）．安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道大门和一道小门时，3分钟内可以通过540名学生，若一道大门平均每分钟比一道小门可多通过60名学生．
（1）求平均每分钟一道大门和一道小门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内安全撤离，这栋教学大楼每间教室平均有45名学生，问：在紧急情况下只开启两道大门是否可行？问什么？3道门都开启呢？
【解答】解：（1）设平均每分钟一道大门可通过x名学生，则一道小门可通过（x﹣60）名学生，
根据题意列方程：3x+3（x﹣60）＝540，
解得：x＝120，
则x﹣60＝60．
答：平均每分钟一道大门可以通过120名学生，一道小门可以通过60名学生；
（2）在紧急情况下只开启两道大门不能使楼上学生在5分钟内安全撤离，必须开启3道门．
∵这栋楼约有学生4×6×45＝1080（人）
拥挤时5分钟2道大门只能通过5×2×120×（1﹣20%）＝960（人），
拥挤时5分钟3道门能通过5×（2×120+60）×（1﹣20%）＝1200（人），
1200＞1080＞960，
所以，在紧急情况下只开启两道大门不可行，3道门都开启才符合安全要求．
15．如图的数阵是由全体奇数排成的：
（1）如图，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示，则另两个数分别是 和 ．
（2）在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是 ．
（3）这九个数之和能等于2018吗？2079呢？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设中间一个数为a，则另两个数分别是a﹣18或a+18．
故答案为：a﹣18，a+18；
（2）41×9＝369．
故这九个数之和是369．
故答案为：369；
（3）这九个数之和不能等于2018，这九个数之和能等于2079，理由如下：
设中间的一个为n，依题意有
9n＝2018，
解得n＝22429，
因为不是整数，所以不存在；
或9n＝2079，
解得n＝231，
231﹣18+4＝217，217是数列中最左边一列中的数，．
故这九个数之和不能等于2079．
16．如图，甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，甲的速度为每分钟60m，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190m，问：这条椭圆形跑道长多少米？
【解答】解：设这条椭圆形跑道长x米，
∵跑第一圈时，甲的速度为每分钟60m，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15，
∴跑第一圈时乙的速度为：60×23=40m/min，
跑第二圈甲的速度为：60（1+13）＝80m/min，
跑第二圈乙的速度为：40（1+15）＝48m/min，
∵第一圈甲乙的速度之比为：60：40＝3：2，
∴第一次相遇时，甲跑了0.6x米，
则x60+x-(0.6x-190)80=x40+0.6x-19048，
解得，x＝400
即这条椭圆形跑道长400米．
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