专题13 几何图形问题-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1+1＝6个．
故选：A．
【巩固】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：由俯视图易得最底层有6个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为3+6＝9个．
故选：C．
二、正方体的展开与折叠
【学霸笔记】
正方体的11种不同的展开图
“一四一”型
“一三二”型
“阶梯”型
【典例】如图，是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体是 ；
（2）依据图中数据求该几何体的体积．
【解答】解：（1）由展开图得这个几何体为长方体，
故答案为：长方体．
（2）表面积：3×1×2+3×2×2+2×1×2＝22（米2），
体积：3×2×1＝6（米3），
答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米．
【巩固】如图是一个正方体的展开图，标注了字母A，C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字母B，D，E，F表示．已知A＝kx+1，B＝3x﹣2，C＝1，D＝x﹣1，E＝2x﹣1，F＝x．
（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；
（2）如果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数k的值．
【解答】解：（1）∵正方体的左面B与右面D代表的代数式的值相等，
∴x﹣1＝3x﹣2，
解得x=12；
（2）∵正面字母A代表的代数式与对面F代表的代数式的值相等，
∴kx+1＝x，
∴（k﹣1）x＝﹣1，
∵x为整数，
∴x，k﹣1为﹣1的因数，
∴k﹣1＝±1，
∴k＝0或k＝2，
综上所述，整数k的值为0或2．
三、叠放的几何体求表面积或体积
【典例】棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．
（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；
（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．
（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．
【解答】解：（1）6×（1+2+3）•a2＝36a2．
故该物体的表面积为36a2；
（2）6×（1+2+3+…+20）•a2＝1260a2．
故该物体的表面积为1260a2；
（3）6×（1+2+3+…+n）•a2＝3n（1+n）a2．
故该物体的表面积为3n（1+n）a2．
【巩固】将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体有2197个，则只有两个面染色的小正方体有 个．
【解答】解：∵133＝2197，
∴在大正方体中未染色的部分是棱长为13的小立方体，
因此大正方体的棱长为13+2＝15，
棱长为15的大正方体的每一条棱上有15﹣2＝13个只有两个面染色的小正方体，
因此共有13×12＝156个只有两个面染色的小正方体，
故答案为：156．
巩固练习
1．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列最多有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，
所以主视图为B．
故选：B．
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12πB．18πC．24πD．30π
【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，
则大圆面积为：π×22＝4π，小圆面积为：π×12＝π，
故这个几何体的体积为：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．
故选：B．
3．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合，
故选：B．
4．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．
【解答】解：从正面看、左面看的图形如图所示：
5．（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长．
（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米（a＞b＞c）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形．
【解答】解：（1）∵正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，
∴要剪12﹣5＝7条棱，
4×（7×2）
＝4×14
＝56（cm）．
答：这个平面图形的周长是56cm；
（2）如图，
这个平面图形的最大周长是8a+4b+2c．
6．请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种）．
【解答】解：作图如下：（答案不唯一）．
7．如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个．
（2）设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含字母n的代数式表示M；
（3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．
【解答】解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20个故答案为：4 20 …（4分）
（2）观察图形可知：图①中，两面涂色的小立方体共有4个；
图②中，两面涂色的小立方体共有12个；
图③中，两面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n﹣1）＝8n﹣4，
∴M＝8n﹣4 （n为正整数）…（8分）
（3）（8×1﹣4）+（8×2﹣4）+（8×3﹣4）+（8×4﹣4）+（8×5﹣4）+…+（8×100﹣4）
＝8（1+2+3+4+…+100）﹣100×4＝40000
故前100个图形的点数和为40000．
8．（1）在如图（1）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数，使该图复原成正方体后，三组对面上的两数之和都相等．
（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阴影的面上为质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数．已知长方体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是 （填具体数）．
（3）如果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为S左和S右，那么S左与S右的大小关系是S左 S右．
【解答】解：（1）如图．
（2）已知长方体正面上的四个数之和为质数，任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数．那么可猜测正面上的四个数分别为：13，18，2，21，按照（1），13在正面，那么21应该在左侧；
故答案为21．
同时第（2）小题中，如果正面的数从左到右依次是2，10，13，16与13，10，2，16，答案就不一样了．同时即使左边一个正面的数为2，那上面的数可以是16，也可以是10，故此题答案不唯一．
（3）分开后，左侧表面的数的和为：2（13+21+10+16+7）＝134；右侧表面的数的和为：（2+16+21+7+13）+（21+10+13+2+7）＝112，
∴S左＞S右．
9．六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形．已知磁带盒的大小为abc＝11×7×2（单位cm）．
（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；
（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定a≥b≥c，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由．
【解答】解：（1）设：三个面的面积记为A＝bc，B＝ac，C＝ab，
①在1×6的方式下，打包方式如图乙，这时，表面积
S乙＝2C+12B+12A＝2×11×7+12×11×2+12×7×2＝586（cm2）；
②在2×3的方式下，打包方式如图丙，这时，表面积
S丙＝4C+6B+12A＝4×11×7+6×11×2+12×7×2＝608（cm2）；
因为S乙＜S丙，所以最小表面积的打包方式是1×6．
（2）若a≥b≥c，则单叠（即1*6方式）打包的最小表面积S＝2ab+12ac+12bc；
双叠（即2*3方式）打包最小表面积S'＝4ab+6ac+12bc．所以S﹣S'＝2a（3c﹣b）．
所以：当a≥b，且c≤b＜3c时，最小表面积为双叠
当a≥b＞3c时，最小表面积为单叠
当a≥b＝3c时，两种方式一样大
10．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ；
（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，则这个多面体的面数是 ；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数．
【解答】解：（1）∵4+4﹣6＝2，8+6﹣12＝2，6+8﹣12＝2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2；
故答案为：V+F﹣E＝2；
（2）根据题意，可得E=V+102E=3V，解得V=20E=30，
∵V+F﹣E＝2，
∴F＝2+E﹣V＝2+30﹣20＝12，
故答案为：12；
（3））∵3V2=36＝E，V＝24，V+F﹣E＝2，
∴F＝14，
设八边形的个数为y个，
则三角形的个数为2y+2个，
由题意得y+2y+2＝14，
解得：y＝4，
∴2y+2＝10，
答：该多面体外表面三角形的个数为10个．多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12