专题18 实数-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
1.算术平方根的双重非负性
（1）若有意义，则；
（2）.
2.非负数即正数或0，如果a为实数，则都是非负数，若几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0，非负数中最小的数是0，没有最大的非负数.
【典例】已知(x-1)2+y+4=0，则(xy)2的值等于（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【解答】解：∵（x﹣1）2+y+4=0，
∴x﹣1＝0，y+4＝0，
解得：x＝1，y＝﹣4，
(xy)2=[1×(-4)]2=42=4．
故选：C．
【巩固】若2-xy+（1﹣y）2＝0．
（1）求x，y的值；
（2）求1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2016)(y+2016)的值．
【解答】解：（1）根据题意得2-xy=01-y=0，
解得x=2y=1；
（2）原式=12×1+13×2+14×3+⋯+12018×2017
＝1-12+12-13+13-14+⋯+12017-12018
＝1-12018
=20172018．
二、实数的计算、估算
【学霸笔记】
1.设x为有理数，y为无理数，则都是无理数（）；
2.若x、y都是有理数，是无理数，则要使成立的条件是；
3.若x、y、m、n都是有理数，都是无理数，则成立的条件是.
【典例】已知a，b是两个连续整数，a＜3-1＜b，则a，b分别是（ ）
A．﹣2，﹣1B．﹣1，0C．0，1D．1，2
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴0＜3-1＜1，
∴a＝0，b＝1．
故选：C．
【巩固】对于实数a，我们规定，用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]＝3，[10]＝3，
（1）仿照以上方法计算：[4]＝ ；[37]＝ ；
（2）计算：[1]+[2]+[3]+…+[36]；
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即[10]＝3→[3]＝1，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【解答】解：（1）[4]＝[2]＝2，
∵36＜37＜49，
∴6＜37＜7，
∴[37]＝6，
故答案为：2，6；
（2）1=1，4=2，9=3，16=4，25=5，36=6，
∴[1]+[2]+[3]+…+[36]＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6＝131；
（3）∵256＝162，
∴[256]＝[16]＝16，[16]＝4，[4]＝2，[2]＝1，
∴[256]经过4次操作后结果为1，
∵[255]＝15，[15]＝3，[3]＝1，
∴[255]经过3次操作后结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
巩固练习
1．已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|+(a-3)b2+4＝2a，则a+b等于（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为|b+2|+(a-3)b2=0，于是a＝3，b＝﹣2，从而a+b＝1．
故选：C．
2．若实数a，b，c满足等式2a+3|b|=6，4a-9|b|=6c，则c可能取的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由两个已知等式可得，
a=35(c+3)，|b|=25(2-c)，
而|b|≥0，所以c≤2．
当c＝2时，可得a＝9，b＝0，满足已知等式．
所以c可能取的最大值为2．
故选：C．
3．设6-10的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+10）b的值是（ ）
A．6B．210C．12D．910
【解答】解：∵3＜10＜4，
∴2＜6-10＜3，
∵6-10的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝2，b＝6-10-2＝4-10，
∴（2a+10）b＝（2×2+10）×（4-10）＝（4+10）×（4-10）＝6，
故选：A．
4．若3+11的整数部分是a，小数部分是b，则3a+4b﹣7＝ ．
【解答】解：∵3＜11＜4，
∴6＜3+11＜7，
∴3+11的整数部分a＝6，小数部分b=3+11-6=11-3，
∴3a+4b﹣7＝3×6+4（11-3）﹣7＝18+411-12﹣7=411-1．
故答案为：411-1．
5．按一定规律排成的一列数依次为：12，23，310，215，526，635，⋯，按此规律下去，这列数中的第2019个数是 ．
【解答】解：分子可以看出：1，2，3，4，5⋯⋯，
故第2019个数的分子为2019，
分母可以看出：第奇数个分母是其个数的平方加1，例如：12+1＝2，32+1＝10，52+1＝26，
第偶数个分母是其个数的平方减1，例如：22﹣1＝3，42﹣1＝15，62﹣1＝35，
故这列数中的第2019个数是：201920192+1．
故答案为：201920192+1．
6．设a=33，b是a2的小数部分，则（b+2）3的值为 ．
【解答】解：a2＝（33）2=39，
2＜39＜3，
b=39-2，
（b+2）3＝（39-2+2）3＝（39）3＝9，
故答案为：9．
7．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是7的整数部分，求a+b+c的平方根．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b﹣9的立方根是2，
∴3a+b﹣9＝8，
∴15+b﹣9＝8，
∴b＝2，
∵2＜7＜3，
∴c＝2，
∴a+b+c＝5+2+2＝9，
∵9的平方根是±3，
∴a+b+c的平方根是±3．
8．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬22个单位后到达点B，点A表示﹣2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣32|+（m-2）2的值．
【解答】解：（1）根据题意得：﹣2+22=22-2，
则m的值为22-2；
（2）当m＝22-2时，
原式＝|22-2﹣32|+（22-2-2）2
＝|﹣2-2|+（2-2）2
＝2+2+2﹣42+4
＝8﹣32．
9．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来．于是小明用（2-1）来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵4＜7＜9，即∵2＜7＜3，
∴7的整数部分是2，小数部分为（7-2）．
（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）5的小数部分为a，13的整数部分为b，则a+b-5的值；
（3）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，即4＜17＜5，
∴17的整数部分为4，小数部分为17-4，
故答案为：4，17-4；
（2）∵2＜5＜3，3＜13＜4，
∴5的小数部分a=5-2，13的整数部分b＝3，
∴a+b-5=5-2+3-5=1，
答：a+b-5的值为1；
（3）∵1＜3＜2，
∴11＜10+3＜12，
又∵10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+3-11=3-1，
∴x﹣y＝11-3+1＝12-3．
10．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：12+1=(2-1)(2+1)(2-1)=2-1(2)2-1=2-11=2-1，
例2：13+2=3-2，14+3=4-3，15+4=5-4⋯，
（1）16+5= ；12022+2021= ．
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值
(12+1+13+2+14+3+⋯+12022+2021)×(2022+1)．
【解答】解；（1）16+5=6-5(6+5)(6-5)=6-5；
12022+2021=2022-2021(2022+2021)(2022-2021)=2022-2021；
故答案为：6-5；2022-2021；
（2）含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为：1n+1+n=n+1-n；
（3）原式＝（2-1+3-2+4-3+•••+2022-2021）×（2022+1）
＝（2022-1）×（2022+1）
＝2022﹣1
＝2021．
11．已知实数a、b满足a2-2a+1+36-12a+a2=10﹣|b+3|﹣|b﹣2|，求a2+b2的最大值．
【解答】解：∵a2-2a+1+36-12a+a2=10﹣|b+3|﹣|b﹣2|，
∴(a-1)2+(a-6)2=10﹣|b+3|﹣|b﹣2|，
故原等式转化为：
|a﹣1|+|a﹣6|+|b+3|+|b﹣2|＝10，
因为|a﹣1|+|a﹣6|≥5，|b+3|+|b﹣2|≥5，
所以|a﹣1|+|a﹣6|＝5且|b+3|+|b﹣2|＝5，
1≤a≤6，﹣3≤b≤2，
所以当a＝6，b＝﹣3时，
a2+b2有最大值为：36+9＝45．