专题25 解方程组-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】阅读材料：小明在解方程组时，采用了“整体代换”的解法，方法如下：将方程②变形为，即③，
将方程①代入③得，
把代入①，解得，∴方程组的解为.
（1）试用“整体代换”法，解方程组；
（2）已知x、y满足方程组，求的值.
【解答】（1）由②得，即，
将①代入③，得，
把代入①得，
∴原方程组的解为；
（2）原方程组可化为，
由①+②×2，得，即.
【巩固】解方程组.
【解答】设，则原方程组可化为，
解得，即，∴原方程组的解为.
二、绝对值方程组
【典例】解下列方程组
（1）；（2）.
【解答】（1）若，则原方程组为，
解得，矛盾；
若，则原方程组为或，
解得.
（2）由可得，，
可得，
将代入，解得，
，
∴原方程组的解为.
【巩固】解下列方程组
（1）；（2）
【解答】（1）当时，原方程组可化为，无解；
当时，原方程组可化为，解得（不合题意，舍去）；
当时，原方程组可化为，解得；
当时，原方程组可化为，解得无解；
综上，原方程组的解为.
（2）由得，
，
将①代入得，解得，
将代入，得，
，
方程无解，
解方程②得，
∴原方程组的解为.
三、方程组解的情况
【学霸笔记】
1.关于x、y的方程组的解的讨论，若c、d、n均不为0，则：
（1）若，则方程有唯一一组解；
（2）若，则方程有无数组解；
（3）若，则方程无解；
2.对于系数含有字母的二元一次方程组的解的讨论，基本思想是把对方程组的解的讨论转化为一元一次方程的解的讨论.
【典例】
关于x，y的方程组x+ay+1=0bx-2y+1=0有无数组解，则a，b的值为（ ）
A．a＝0，b＝0B．a＝﹣2，b＝1C．a＝2，b＝﹣1D．a＝2，b＝1
【解答】解：由关于x，y的方程组x+ay+1=0bx-2y+1=0，
两式相减得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0，
∵方程组有无数组解，
∴1﹣b＝0，a+2＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1．
故选：B．
【巩固】
已知关于x，y的方程组ax+2y=1+a①2x+2(a-1)y=3②
分别求出当a为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解．
【解答】解：由①得，2y＝（1+a）﹣ax，③
将③代入②得，（a﹣2）（a+1）x＝（a﹣2）（a+2），④
（1）当（a﹣2）（a+1）≠0，即a≠2且a≠﹣1时，方程④有唯一解x=a+2a+1，将此x值代入③有y=12(a+1)因而原方程组有唯一一组解；
（2）当（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）≠0时，即a＝﹣1时，方程④无解，因此原方程组无解；
（3）当（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）＝0时，即a＝2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．
巩固练习
1．对于实数，规定新运算：x※y＝ax+by﹣xy，其中a、b是常数，等式右边是通常的加减乘除运算．已知：2※1=-2，（﹣3）※2=82，则a※b的值为（ ）
A．6﹣22B．6+22C．4+2D．4﹣32
【解答】解：根据题中的新定义得：2a+b-2=-2①-3a+2b+32=82②，
解得：a=-2b=2，
则原式＝（-2）※2＝2+4+22=6+22．
故选：B．
2．若x=1y=-2，x=-2y=1是方程mx+ny＝6的两个解，则m﹣n的值为（ ）
A．0B．﹣2C．﹣12D．12
【解答】解：∵x=1y=-2，x=-2y=1是方程mx+ny＝6的两个解，
∴m﹣2n＝6，﹣2m+n＝6．
∴m＝﹣6，n＝﹣6．
∴m﹣n＝﹣6﹣（﹣6）＝0．
故选：A．
3．已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=4k+12x+y=5-k的解满足x+y＝5，则k的值为 ．
【解答】解：方程组x+2y=4k+1①2x+y=5-k②，
①+②得，3x+3y＝3k+6，
即x+y＝k+2，
又x+y＝5，
所以k+2＝5，
即k＝3，
故答案为：3．
4．对于任意实数a、b、c、d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u、v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为 ．
【解答】解：∵（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），
∴（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx），
∵（u，v）△（x，y）＝（u，v），
∴ux+vy=uuy+vx=v，
∵对于任意实数u、v，该方程组都成立，
∴x＝1，y＝0，
故答案为x＝1，y＝0．
5．解方程组：
（1）x+23=3y-18=2x+3y11；
（2）y3-x+16=32(x-y2)=3(x+y18)．
【解答】解：（1）整理得：8x-9y=-19①5x-9y=-22②，
①﹣②得：3x＝3，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：8﹣9y＝﹣19，
解得：y＝3，
则方程组的解为x=1y=3；
（2）方程组整理得：x-2y=-19①6x+7y=0②，
①×6﹣②得：﹣19y＝﹣114，
解得：y＝6，
把y＝6代入①得：x﹣12＝﹣19，
解得：x＝﹣7，
则方程组的解为x=-7y=6．
6．对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by+5，其中a，b为常数．已知1*2＝9，（﹣3）*3＝2，求a，b的值．
【解答】解：由题意得：a+2b+5=9-3a+3b+5=2，
解得：a=2b=1．
答：a为2，b为1．
7．已知关于x，y的二元一次方程组3x-y=52ax+3by=-2与2x+3y=-4ax-by=4有相同的解．
（1）求x，y的值；
（2）求a2+b2﹣2ab的值．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组3x-y=5①2ax+3by=-2②与2x+3y=-4③ax-by=4④有相同的解，
∴可得新方程组3x-y=5①2x+3y=-4③，
解这个方程组得x=1y=-2；
（2）把x＝1，y＝﹣2代入2ax+3by=-2②ax-by=4④，
得2a-6b=-2②a+2b=4④，
解得：a=2b=1，
∴a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝1．
8．（1）求方程15x+52y＝6的所有整数解．
（2）求方程x+y＝x2﹣xy+y2的整数解．
（3）求方程1x+1y+1z=56的正整数解．
【解答】解：（1）观察易得一个特解x＝42，y＝﹣12，原方程所有整数解为x=42-52ty=-12+15t（t为整数）．
（2）原方程化为（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，由此得方程的解为（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）．
（3）∵1x＜1x+1y+1z≤3x，即1x＜56≤3x，由此得x＝2或x＝3，当x＝2时，1y＜1y+1z=56-12=13≤2y，
即1y＜13≤2y，由此得y＝4，或5或6，同理当x＝3时，y＝3或4，由此可得1≤x≤y≤z时，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4组，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，3），（4，3，4）．
9．已知：4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），求代数式5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2的值．
【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），
∴4x-3y=6zx+2y=7z，
解关于x、y的二元一次方程，得
x=3zy=2z
∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=52z2-4z2=-13．
10．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，b2+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组x+y=6x-y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【解答】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，b2+1＝3，可得b＝4，
∵2a﹣b≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
（2）∵x+y=6x-y=2m，
∴x=3+my=3-m，
3+m＝a﹣1，可得a＝m+4，
3﹣m=b2+1，可得b＝4﹣2m，
∵2a﹣b＝6，
∴2m+8﹣4+2m＝6，
∴m=12，
∴当m=12时，点B（x，y）是完美点．
11．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣4.5]＝ ，＜3.5＞＝ ．
若[x]＝5，则x的取值范围是 ；若＜y＞＝﹣2，则y的取值范围是 ．
（2）如果[x+12]＝3，求满足条件的所有正整数x．
（3）已知x，y满足方程组3[x]+2＜y＞=33[x]-＜y＞=-6，求x，y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：[﹣4.5]＝﹣5，＜3.5＞＝4．
故答案为：﹣5，4；
∵[x]＝5，
∴x的取值范围是5≤x＜6；
∵＜y＞＝﹣2，
∴y的取值范围是﹣3≤y＜﹣2；
故答案为：5≤x＜6，﹣3≤y＜﹣2；
（2）根据题意得：3≤x+12＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
（3）解方程组得：[x]=-1＜y＞=3，
故x的取值范围为﹣1≤x＜0，y的取值范围为2≤y＜3．
12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
所以这个方程组的解是x=-1y=2．
（1）请你运用小明的方法解方程组1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②．
（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+8，（a≠b）的解是 ．
【解答】解：（1）1996x+1999y=2002①2016x+2019y=2022②，
②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1996：1996x+1996y＝1996④，
（①﹣④）÷3得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
所以这个方程组的解是x=-1y=2；
（2）ax+(a+4)y=a+8①bx+(b+4)y=b+8②
②﹣①得：（b﹣a）x+（b﹣a）y＝b﹣a，即x+y＝1③，
③•a得：ax+ay＝a④，
（①﹣④）÷4得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
这个方程组的解是x=-1y=2．
故答案为：x=-1y=2．