专题31 三角形全等模型-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连接CG．
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在△BDF和△CDG中
BD=CD∠BDF=∠CDGDF=DG，
∴△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G．
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，
∴BF＝AC．
【巩固】（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1＜AD＜5 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）BE+CF＞EF，理由如下：
延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）AF+CF＝AB，理由如下：
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
二、一线三等角模型
【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
【解答】（1）解：∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
∠1=∠D∠ACB=∠DEAAB=AD，
∴△ABC≌△DAE（SAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案为：DE，AE；
（2）①证明：如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，
∵BC⊥AF，
∴∠BFA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，
∴∠B＝∠2，
在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，
∠BFA=∠AMD∠B=∠2AB=AD，
∴△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理，AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
∠DMG=∠ENG∠DGM=∠EGNDM=EN，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，即点G是DE的中点；
②解：如图3，△ABO和△AB′O是以OA为斜边的等腰直角三角形，
过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE＝OC，OE＝CD，
由①可知，△ADB≌△BCO，
∴AD＝BC，BD＝OC，
∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，
∴BC+BC+2＝6，
解得，BC＝2，OC＝4，
∴点B的坐标为（4，2），
同理，点B′的坐标为（﹣2，4），
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（4，2）或（﹣2，4）．
【巩固】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）△ABD与△CAE全等吗？BD与DE+CE相等吗？请说明理由．
（2）如图2，若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD＜CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）．
（3）如图3，若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD＞CE）时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？（只需回答结论）．
【解答】解：证明如下：
（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
在△ABD和△CAE中，
∠ADB=∠CEA∠ACE=∠BADAB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE；
∵AE＝DE+AD，
∴BD＝DE+CE；
（2）DE＝BD+CE．
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
在△ABD和△CAE中，
∠ADB=∠CEA∠ACE=∠BADAB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE；
∵DE＝AE+AD，
∴DE＝BD+CE；
（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD＝DE+CE；当B、C在AE同侧时，BD＝DE﹣CE，DE＝BD+CE．
三、角含半角模型
【典例】正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG．求证：EF＝BE+DF．
【解答】证明：如图，由题意得：△ABE≌△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG；
∴FG＝BE+DF；
∴∠BAE+∠FAD＝∠FAD+∠DAG；
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAG＝45°，∠EAF＝∠FAG；
在△EAF与△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，而FG＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
【巩固】
如图1，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，E、F分别为AB、AD上的点，∠ECF＝∠A＝60°．求证：EF＝BE+DF；
如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF之间的数量关系并证明；
如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 ．
【解答】（1）证明：延长EB至点G，使BG＝DF，连接CG，如图1所示：
∵∠A+∠BCD＝60°+120°＝180°，
∴∠ABC+∠D＝360°﹣180°＝180°，
∵∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠D，
在△CBG和△CDF中，
BC=CD∠CBG=∠DBG=DF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
∵∠BCE+∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BCE+∠BCG＝60°，
即∠ECG＝60°，
∴∠ECG＝∠ECF，
在△ECG和△ECF中，
CG=CF∠ECG=∠ECFCE=CE，
∴△ECG≌△ECF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE+BG＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）解：EF和BE，DF之间的数量关系为：EF＝BE﹣DF，理由如下：
在BA上截取BG＝DF，连接CG，如图2所示：
由（1）得：∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在△CBG和△CDF中，
BC=CD∠B=∠CDFBG=DF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
∵∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝120°，
∴∠DCF+∠DCG＝120°，
即∠GCF＝120°，
∴∠ECG＝∠GCF﹣∠ECF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ECG＝∠ECF，
在△ECG和△ECF中，
CG=CF∠ECG=∠ECFCE=CE，
∴△ECG≌△ECF（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF；
（3）解：EF和BE，DF之间的数量关系为：EF＝DF﹣BE，理由如下：
在DF上截取DG＝BE，连接CG，如图3所示：
由（1）得：∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
在△CDG和△CBE中，
CD=CB∠D=∠CBEDG=BE，
∴△CDG≌△CBE（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∵∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝120°，
∴∠BCG+∠BCE＝120°，
即∠GCE＝120°，
∴∠GCF＝∠GCE﹣∠ECF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠GCF＝∠ECF，
在△GCF和△ECF中，
CG=CE∠GCF=∠ECFCF=CF，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴FG＝EF，
∵FG＝DF﹣DG＝DF﹣BE，
∴EF＝DF﹣BE，
故答案为：EF＝DF﹣BE．
巩固练习
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠1=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
故选：B．
2．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：在△ABC和△AEF中，
AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确，
∴∠BAE＝∠FAC＝40°，故①正确，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，
∴∠EFB＝∠FAC＝40°，故③正确，
无法证明AD＝AC，故④错误，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC
≌△BDF，若BD＝4，CD＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．18C．12D．8
【解答】解：∵△ADC≌△BDF，
∴AD＝BD，
∵BD＝4，
∴AD＝4，
∵DC＝2，
∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，
∴S△ABC=12×BC×AD=12×6×4=12，
故选：C．
4．如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）
A．28B．29C．30D．31
【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，
当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G．下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE=12BF；④AE＝CF．其中正确的是 （填上正确结论的序号）．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE＝AE=12AC．
又由（1），知BF＝AC，
∴CE=12AC=12BF；故③正确；
∵△CEF中，CF是斜边，CE是直角边，
∴CF＞EC
∵AE＝EC，
∴CF＞AE．故④错误，
故答案为：①②③．
6．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，点E为AB上一点，DF⊥DE交AC于F，延长ED至G，使ED＝GD．
（1）求证：BE＝CG；
（2）求证：BE+CF＞EF．
【解答】证明：（1）∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
BD=CD∠BDE=∠CDGED=GD，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG；
（2）连接FG，
∵ED＝GD，DF⊥DE，
∴EF＝GF，
在△CFG中，CF+CG＞GF，
∵BE＝CG，
∴BE+CF＞EF．
7．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE度数．
【解答】证明：如图，连接BD、AE，
∵DA⊥AB，FC⊥AB，
∴AD∥CF，∠DAB＝∠BCF＝90°，
又∵DA＝BC，FC＝AB，
∴△DAB≌△BCF（SAS），
∴BD＝BF，
∴∠BDF＝∠BFD，
又∵AD∥CF，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴∠ABF＝∠DFB+∠ADF＝∠BFC+2∠CFD，
同理可得，∠BAF＝∠AFC+2∠CFE，
又∵∠AFB＝51°，
∴∠ABF+∠BAF＝129°，
∴∠BFC+2∠CFD+∠AFC+2∠CFE＝51°+2∠DFE＝129°，
∴∠DFE＝39°．
答：∠DFE度数是39°．
8．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
【解答】证明（1）如图1，设AC与BF交于O点，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE；
（2）AF∥CD，理由如下：
如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE，
又∵∠BFE＝90°，
∴∠AFD＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴AF∥CD．
9．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP=BQ∠A=∠BAC=BP，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则3=4-tt=xt，
解得t=1x=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则3=xtt=4-t，
解得：t=2x=32；
综上所述，存在t=1x=1或t=2x=32，使得△ACP与△BPQ全等．
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图2，若BC交x轴于点M，过C点作CD⊥BC交y轴于D点．求证：BC﹣CD＝MC；
（3）如图3，若点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．
【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，
则∠BHC＝90°，
∴∠HBC+∠HCB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠HBC+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠HCB，
在△AOB和△BHC中，
∠OBA=∠HCB∠AOB=∠BHCAB=BC，
∴△AOB≌△BHC（AAS）
∴OB＝CH＝5，
∴B点的坐标为（0，5）；
（2）在△ABM和△BCD中，
∠BAM=∠CBDAB=BC∠ABM=∠BCD=90°，
∴△ABM≌△BCD（ASA），
∴BM＝CD，
∴BC﹣CD＝BC﹣BM＝MC；
（3）PB的长度不变，
作EG⊥y轴于G，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
∠AOB=∠BGE∠BAO=∠EBGAB=BE，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO＝4，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，
∠EPG=∠FPB∠EGP=∠FBPEG=FB，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB=12BG＝2．