专题32 三角形相似-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。
【典例】如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（ ）
A．1：6B．1：8C．1：9D．1：10
【解答】解：过点D作GD∥EC交AB于G，
∵AD是BC边上中线，
∴BGGE=BDDC=1，即BG＝GE，
又∵GD∥EC，
∴AEEG=AFFD=15，
∴AE=EG5，
∴AE：EB=EG5：2EG＝1：10；
故选：D．
【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB，交AD于点E，过点P作PF∥CD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）
A．PEAB=PFCDB．AEDE=BFCF
C．PFCD=AEADD．PEAB+PFCD=1
二、相似的判定与应用
【典例】如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为 ．
【解答】解：∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，
∴点A1B1是△ABC的中位线，
∴A1B1=12AB=12a，
同理可得：A2B2=12A1B1=122a，
……
则A2022B2022=122022a，
∴S△A2022B2022C2022=34（122022a）2=324046a2，
故答案为：324046a2．
【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CE⊥DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM．有如下结论：①AE＝BF；②AN=24AD；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF=19S△ABC，上述结论中，正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
三、动态几何中的相似问题
【典例】如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．
①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S△APQ+S△DCQ＝y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QPA＝∠QDC，∠QAP＝∠QCD，
∴△APQ∽△CDQ．
（2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC＝90°，
∵∠ADQ+∠QDC＝90°，
∴∠DCA＝∠ADP，
∵∠ADC＝∠DAP＝90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴ADPA=DCAD，
∴10PA=2010，
解得 PA＝5，
∴t＝5．
②设△AQP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为（10﹣h）．
∵△APQ∽△CDQ，
∴h10-h=APDC=t20，
解得 h=10t20+t，
∴10﹣h=20020+t，
∴S△APQ=12⋅AP⋅h=5t220+t，
S△DCQ=12⋅DC⋅(10-h)=200020+t，
∴y＝S△APQ+S△DCQ=5t220+t+200020+t=5t2+200020+t（0≤t≤20）．
探究：
t＝0，y＝100；
t＝1，y≈95.48；
t＝2，y≈91.82；
t＝3，y≈88.91；
t＝4，y≈86.67；
t＝5，y＝85；
t＝6，y≈83.85；
t＝7，y≈83.15；
t＝8，y≈82.86；
t＝9，y≈82.93；
t＝10，y≈83.33；
t＝11，y≈84.03；
t＝12，y＝85；
t＝13，y≈86.21；
t＝14，y≈87.65；
t＝15，y≈89.29；
t＝16，y≈91.11；
t＝17，y≈93.11；
t＝18，y≈95.26；
t＝19，y≈97.56；
t＝20，y＝100；
观察数据知：
当0≤t≤8时，y随t的增大而减小；
当9≤t≤20时，y随t的增大而增大；
故y在第8秒到第9秒之间取得最小值．
【巩固】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；
（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．
巩固练习
1．如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则S△AEGS四边形DCFG=（ ）
A．3：7B．4：9C．5：11D．6：13
2．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
3．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则K＝ ．
4．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点N．已知DF＝6，AN＝56．若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则△ABE的面积为 ．
5．如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA，垂足为D，DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，求A，B两点间的距离．
6．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
7．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
8．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x-73交直线l于点F，点G在直线y=13x-73上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．
（1）求点C和点E的坐标及k的值；
（2）连接BE，求△MBE的面积．
10．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
【问题引入】
（1）若点O是AC的中点，AMBM=13，求CNBN的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：AMMB•BNNC•COOA=1；
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若AFBF=13，BDCD=12，求AECE的值．
11．如图1，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y=kx相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求实数a，b，k的值；
（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．