专题49 圆-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】如图，△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（ ）
A．12πB．πC．32πD．2π
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90，AC＝BC＝2，由勾股定理得：AB=22+22=22，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，
∴∠CAC1＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BAB1+S△B1AC1-S△ACB﹣S扇形CAC1
=90π×(22)2360+12×2×2-12×2×2-90π×22360
＝π，
故选：B．
【巩固】如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4
【解答】解：解法一：由题意可得，阴影部分的面积是：14•π×22-12⋅π×12-2（1×1-14•π×12）＝π﹣2，
解法二：连接BD，由题意，S阴影＝S扇形CBD﹣S△BCD=14×π×22-12×2×2＝π﹣2，
故选：B．
二、最短路线问题
【典例】如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．
（1）求圆锥形纸杯的侧面积．
（2）若在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．
【解答】解：（1）S圆锥的侧面积=12×10×10π＝50π；
（2）圆锥侧面沿母线OF展开可得下图：
则EF=圆锥底面周长的一半=12×10π=10nπ180，
∴n＝90，即∠EOF＝90°，
在Rt△AOE中，OA＝8cm，OE＝10cm，
根据勾股定理可得：AE＝241cm，
所以蚂蚁爬行的最短距离为241cm．
【巩固】圆锥的底面半径为10cm，高为105cm
（1）求圆锥的全面积．
（2）若一只小虫从底面上一点A出发，沿圆锥侧面绕行一周到母线SA上一点M处，且SM＝3AM，求它所走的最短距离是多少．
【解答】解：（1）由题意，可得圆锥的母线SA=AO2+SO2=106（cm）
圆锥的侧面展开扇形的弧长l＝2π•OA＝20πcm
∴S侧=12L•SA＝1006πcm2
S圆＝πAO2＝100πcm2，
∴S全＝S圆+S底＝（1006+100）π＝100（6+1）π（cm2）；
（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离
由（1）知，SA＝106cm，弧AA′＝20πcm
∵nπ×106180=20π，
∴∠S＝n＝60°，
∵SA′＝SA＝106cm，SM＝3A′M
∴SM=1562cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=2522（cm）
所以，蚂蚁所走的最短距离是2522cm．
三、圆综合
【典例】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求CD的长．
【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E．
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∴OE＝OA．
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）．
（2）解：∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA＝DE，CB＝CE，
∴DC＝DE+CE＝AD+BC＝4+9＝13．
【巩固】
如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点 D．取BC的中点E，连接DE，并连接OE交⊙O于点F．连接AF交BC于点G，连接BD交AG于点H．
（1）若EF＝1，BE=3，求∠EOB的度数；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）求证：点F为线段HG的中点．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
在直角三角形OBE中，设圆O半径为r，
∵EF＝1，BE=3，则，r2+（3）2＝（r+1）2，
解得r＝1，
∴OB＝1，OE＝2，
∴∠EOB＝60°；
（2）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵E为直角三角形BCD斜边的中点，
∴DE＝EC，
∴∠CDE＝∠C，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA+∠CDE＝∠OAD+∠C＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵O、E分别为AB、BC的中点，
∴OE∥AC，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥BD，
∴DF=BF，
∴∠FBD＝∠FAB，
∵∠GBF＝∠FAB，
∴∠FBD＝∠GBF，
∴BF⊥HG，
∴BF平分HG，
即：点F为线段HG的中点．
巩固练习
1．如图是农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（ ）
A．68πm2B．72πm2C．78πm2D．80πm2
【解答】解：塑料膜的面积＝2π×32+π×22＝68π（平方米）．
故选：A．
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．55°
【解答】解：连接OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO=12（180°﹣∠BOA）=12（180°﹣110°）＝35°，
故选：B．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（ ）
A．63-8π3B．43-2π3C．63-2π3D．66-8π3
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，
∵AB＝23，
∴cs∠BAE=ABAE=32，
∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，
∴BE=12AE＝2，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝23×4-12×23×2-60π⋅42360
＝63-8π3．
故选：A．
4．如图，边长为1的正△ABC，分别以顶点A、B、C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为（ ）
A．32π+3B．32π-3C．72π﹣23D．2π+32
【解答】解：连接CD，BD，AC与BD交于点E，如图，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，
∴∠ACB＝60，∠BCD＝120°，S△BCD＝S△ABC=34×12=34；
每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BD的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的面积减去△BDC的面积，
∴每两个圆的公共部分面积为2（120π×12360-34）＝2（π3-34）=2π3-32，
三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加△ABC的面积，
∴三个圆公共部分面积为3×60π×12360-2×34=π2-32，
∴三个圆覆盖的面积为3π﹣3（2π3-32）+（π2-32）+π2-32=3π2+3．
故选：A．
5．如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）
A．4B．92C．112D．5
【解答】解：设⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，
设圆的半径为x，则PN＝PM＝x，
由题意知，OC＝AO＝6，则直线AC与y轴的夹角为45°，则CM＝MP＝x，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x+6，
则点P的坐标为（x，﹣x+6），
由点P、A的坐标得，PA=2（6﹣x），
则AN=AP2-PN2=2(6-x)2-x2，
∵⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，
∴BN＝BM＝BC+CM＝2+x，
在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，则AB＝10＝BN+AN，
即10=2(6-x)2-x2+2+x，解得x＝1，
故点P的坐标为（1，5），
将点P的坐标代入y＝ax2得a＝5．
解法二：如图，连接BP并延长BP交x轴于点M，过点M作MN⊥AB于N．
∵⊙P与OB，AB相切，
∴BP平分∠OBA，
∵MO⊥OB，MN⊥AB，
∴MO＝MN，
设M（m，0），则MO＝MN＝m，AM＝OA﹣MO＝6﹣m，
∴sin∠MAN=MNAM=m6-m，
∵OA＝6，OB＝8，
∴AB=OA2+OB2=10，
∴sin∠MAN=OBAB=45，
∴m6-m=45，
∴m=83，即M（83，0），
∵B（0，8），
∴直线BM的解析式为y＝﹣3x+8，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝6，即C（0，6），
∵A（6，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
由y=-3x+8y=-x+6，解得x=1y=5，
∴P（1，5），
将点P的坐标代入y＝ax2得a＝5．
解法三：如图，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝6，
∴C（0，6），
∵A（6，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
∵点P在直线AC上，
∴可以假设P（m，﹣m+6），
∵⊙P与OB，AB相切，
∴PN＝PQ＝m，PM＝﹣m+6，
∵OA＝6，OB＝8，
∴AB=OA2+OB2=10，
∴S△AOB=12•OA•OB＝24，
∵S△AOB＝S△AOP+S△BOP+SABP
=12•OA•PM+12•OB•PN+12•AB•PQ
＝3（﹣m+6）+4m+5m
＝6m+18，
∴6m+18＝24，
∴m＝1，
∴P（1，5），
将点P的坐标代入y＝ax2得a＝5．
故选：D．
6．如图，正方形ABCD的边AB＝1，BD和AC都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ．
【解答】解：无阴影的两部分可分为1、2两部分，面积之差＝S1﹣S2，如下图所示：
由图形可知，S2＝S正方形ABCD﹣（2S半圆ACD﹣S1），
由上式可得，S1﹣S2＝2S半圆ACD﹣S正方形ABCD=2×14×π-1=π2-1，
所以本题应该填π2-1．
7．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间面积最大的是 ．
【解答】解：过O点作OD⊥BC于D，如图，设⊙O的半径为R，
则BD＝DC，
∵∠COA＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OD=12R，BD=32R，
∴BC=3R，
∴S2=12•12R•3R=34R2，
S1=60⋅π⋅R2360=π6R2，
S3=120⋅π⋅R2360-34R2＝（π3-34）R2，
∵34＜π6＜π3-34，
∴S2＜S1＜S3．
故答案为：S3．
8．如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1﹣S2＝ ．（结果保留π）
【解答】解：由图可知，
S1+S3＝π×42×14=4π，
S2+S3＝6×6﹣π×62×14=36﹣9π，
∴（S1+S3）﹣（S2+S3）＝4π﹣（36﹣9π）
即S1﹣S2＝13π﹣36，
故答案为：13π﹣36．
9．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC=ABAC=24=12，BC=AC2-AB2=42-22=23，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD=12BC=3，
∴DE=32，
∴阴影部分的面积是：12×2×23-12×3×32-60⋅π×3360=534-π2，
故答案为：534-π2．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE=AC2-EC2=33，
∴S△AEB＝S△AEC=12×6×33×12=4.53=S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.53+4.53-120⋅π⋅32360=93-3π，
故答案为：93-3π．
11．如图，AB是⊙P的直径，弦CD∥AB，过点B的切线交AD的延长线于E，连接AC并延长至F，使CF＝AC，连接EF．试判断AF与EF的位置关系．
【解答】解：AF⊥EF．
连接BC，交AE于G，如右图，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AG＝BG，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠2+∠AEB＝90°，∠3+∠GBE＝90°，
∴∠GEB＝∠GBE，
∴GE＝GB，
∴AG＝GE，
又∵AC＝CF，
∴CG是△AEF的中位线，
∴BC∥EF，
∴∠AFE＝∠ACB＝90°，
即AF⊥EF．
12．如图，已知AB为⊙O的弦，过O作AB的平行线交⊙O于点C，交⊙O过点B的切线于点D．
求证：∠ACB＝∠D．
【解答】证明：连接AO并延长交⊙O于点M，连接BM，
∵AB∥OD，
∴∠ABO＝∠BOD，
∵∠ABO＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠BOD，
∵AM是⊙O的直径，BD为切线，
∴∠ABM＝90°＝∠OBD，
∴∠M＝∠D，
∵∠M＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠D．
13．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
（1）连接AC，猜想△ACD的形状，并说明理由；
（2）求证：FG与⊙O相切；
（3）连接EF，若⊙O的半径为4，求EF的长．
【解答】（1）解：△ACD为等边三角形；
理由如下：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，AD＝AC，
∵DC＝AD，
∴DC＝AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形；
（2）证明：连接OC，如图所示：
由（1）得△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝∠DCA＝∠DAC＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∵FG∥DA，
∴∠DCF+∠ADC＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OCF＝∠DCF﹣∠OCD＝120°﹣30°＝90°，
∴FG⊥OC，
∵OC为⊙O的半径，
∴FG与⊙O相切．
（3）解：过点E作EH⊥FG于点H，如图所示：
设CE＝a，则DE＝a，AD＝2a．
∵AF与⊙O相切，
∴AF⊥AG．
∵DC⊥AG，
∴AF∥DC．
∵FG∥DA，
∴四边形AFCD为平行四边形．
∵DC＝AD＝2a，
∴四边形AFCD为菱形．
∴AF＝CF＝AD＝2a，∠AFC＝∠ADC＝60°．
由（1）得∠DCF＝120°，
∴∠DCG＝60°．
由（1）可知：在Rt△CEO中，∠OEC＝90°，∠OCE＝30°，
∴CE=OC⋅cs30°=4×32=23，
∴CF=CD=2CE=43．
在Rt△CEH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝60°，
∴EH=CE⋅sin60°=23×32=3，CH=CE⋅cs60°=23×12=3，
∴FH=CH+CF=3+43=53，
∵在Rt△EFH中，∠EHF＝90°，
∴EF=FH2+EH2=(53)2+32=221．
14．定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．
（1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆．
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径．
（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°．
∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝30°．
∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．
即OB⊥BA．
∵OB是圆的半径，
∴AB与⊙O相切．
∵圆心O在AC边上，
∴⊙O是△ABC的切圆；
（2）解：①当圆心O在BC边上，⊙O与AB，AC边相切于点M，N时，
连接OA，OM，ON，如图，
∵AB，AC是⊙O的切线，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC．
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，OB＝OC=12BC＝3．
∵AO⊥BO，OM⊥AB，
∴△BOM∽△BAO．
∴OBAB=BMOB．
∴35=BM3．
∴BM=95．
∴OM=OB2-BM2=125；
②当圆心O在AC边上，⊙O与AB，BC边相切于点M，N时，
连接OM，ON，BO，过点A作AH⊥BC于点H，如图，
设OM＝ON＝r，
∵AB，BC是⊙O的切线，
∴OM⊥AB，ON⊥BC．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH=12BC＝3，
∴AH=AB2-BH2=4．
∴S△ABC=12×BC•AH=12×6×4＝12．
∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO，
∴12×AB•r+12×BC•r＝12．
∴12×5r+12×6r=12．
∴r=2411．
综上，⊙O的半径为125或2411；
（3）解：连接AF，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BC．
∵⊙O是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，
∴AB⊥AC．
∴△ACF∽△BAF．
∴AFCF=BFAF．
∴AF8=10AF．
∴AF＝45．
∴AC=CF2+AF2=12，
AB=AF2+BF2=65．
∵D是弧BF的中点，
∴∠FAD＝∠BAD．
∴FEBE=AFAB=4565=23．
设FE＝2k，则BE＝3k，
∵BF＝FE+BE＝10，
∴2k+3k＝10．
∴k＝2．
∴EF＝4，BE＝6．
∵EH⊥AB，AC⊥AB，
∴EH∥AC．
∴BEBC=EHAC．
∴68+10=EH12．
∴EH＝4