09-专项素养综合全练(九)新定义型问题——2024年鲁教版数学七年级下册精品同步练习

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专项素养综合全练(九)新定义型问题类型一 展示新运算(规则)1.(2023湖北武汉汉阳一模)对于任意实数a、b,定义一种运算:a*b=ab-a+b-2.例如,2*5=2×5-2+5-2=11,请根据上述的定义解决问题,若2*x<6,则该不等式的正整数解的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4对于实数a,b,c,用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数.例如:max{-1,2,6}=6,max{0,4,4}=4,若max{-x-1,2,2x-2}=2,则x的取值范围在数轴上表示为 ( ) 3.(2023山东济南钢城期末)定义新运算:对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下:a⊗b=2a+b.例如:(-3)⊗2=2×(-3)+2=-4.若x⊗(-y)=5,且2y⊗x=7,则x+y的值是 . 4.定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=2a-3b+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.(1)当x⊕y=5,且(-1)⊕y=5时,求x与y的值;(2)若3⊕x的值小于4,求x的取值范围,并把x的取值范围在如图所示的数轴上表示出来. 5.(2023山东枣庄中考)对于任意实数a,b,定义一种新运算:a※b=例如:3※1=3-1=2,5※4=5+4-6=3.根据上面的材料,请完成下列问题:(1)4※3= ,(-1)※(-3)= ; (2)若(3x+2)※(x-1)=5,求x的值. 类型二 展示新概念6.(2022江西吉安青原期末)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点. ●特例感知①等腰直角三角形 勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”); ②如图1,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高.若BD=2AD=2,试求线段CD的长度.●深入探究如图2,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系,并给出证明.●推广应用如图3,等腰△ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高,过点D作边BC的平行线与AC边交于点E.若CE=a,试求线段DE的长度. 7.(2023山东青岛即墨期末)新定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”,例如:方程x-1=3的解为x=4,而不等式组的解集为21.x的取值范围在数轴上表示如图所示:5.解析　(1)∵4<2×3,∴4※3=4+3-6=1.∵-1>2×(-3),∴(-1)※(-3)=-1-(-3)=2.故答案为1;2.(2)当3x+2≥2(x-1),即x≥-4时,原方程为3x+2-(x-1)=5,解得x=1;当3x+2<2(x-1),即x<-4时,原方程为3x+2+x-1-6=5,解得x=2.5,∵2.5>-4,∴x=2.5不符合题意,应舍去.综上,x=1.6.解析　●特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形.故答案为是.②根据勾股定理可得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,∴CD2=(CD2+4)-(CD2+1)=3,∴CD=3.●深入探究AD=CB.证明:∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点且CA>CB,∴CA2-CB2=CD2,∴CA2-CD2=CB2,又∵CA2-CD2=AD2,∴AD2=CB2,∴AD=CB.●推广应用如图,过点A向ED引垂线,垂足为G,∵等腰△ABC为勾股高三角形且AB=AC>BC,∴勾股顶点只能是点B或点C,∴AC2-BC2=CD2,由(2)可知AD=BC,∵ED∥BC,∴∠ADE=∠B,又∠AGD=∠CDB=90°,∴△AGD≌△CDB(AAS),∴DG=BD.易知△ADE与△ABC均为等腰三角形,根据三线合一可知DE=2DG=2BD.又AB=AC,AD=AE,∴BD=CE=a,∴DE=2a.7.解析　(1)①3(x+1)-x=9,解得x=3;②4x-7=0,解得x=74;③x−12+1=x,解得x=1.解不等式2x-2>x-1得x>1,解不等式3(x-2)-x≤4得x≤5,∴原不等式组的解集为1x−1,3(x−2)−x≤4的“关联方程”是①②.故答案为①②.(2)3x+12≥x,①x−12≥2x+13−2,②解不等式①得x≥-1,解不等式②得x≤7,∴原不等式组的解集为-1≤x≤7,∵2x-k=6,∴2x=6+k,∴x=6+k2,∵关于x的方程2x-k=6是不等式组3x+12≥x,x−12≥2x+13−2的“关联方程”,∴-1≤6+k2≤7,解得-8≤k≤8,∴k的取值范围为-8≤k≤8.