2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(−1,1)，B(3,1)，直线l过点C(1,3)，A，B两点在直线l的同侧，则直线l斜率的取值范围是( )
A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
2.“m2”是“方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A. 13, 33B. 33,13C. 22,12D. 12, 22
4.已知直线l：ax−y+2=0与圆M：x2+y2−4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P(0,−1)，|PA+PB+PC|的最大值为( )
A. 12B. 10C. 9D. 8
5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为(2,−1)，则椭圆的面积为( )
A. 36 2πB. 18 2πC. 9 2πD. 6 2π
6.已知椭圆x2+y2b2=1(1>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆上一点，点A是线段F1F2上一点，且∠F1MF2=2∠F1MA=2π3，|MA|=32，则该椭圆的离心率为( )
A. 32B. 12C. 2 23D. 33
7.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为x2a2−y2b2=1，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD=90°，tan∠ABC=−34，则该双曲线的离心率为( )
A. 52B. 5C. 102D. 10
8.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，|AF|=4，圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则OM⋅ON的取值范围是( )
A. [−6325,9]B. [−3,21]C. [6325,21]D. [3,27]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程x24−t+y2t−1=1表示曲线C，则( )
A. 当10)上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=α，α∈[π12,π3]，则椭圆的离心率的取值范围为______．
16.已知抛物线方程y2=8x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|，已知点P(−2,8 2)，则d(P)=______；设点P(−2,t)(t>0)，若4d(P)−|PF|−k>0恒成立，则k的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知双曲线C：x24−y2=1，P为C上的任意点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
18.(本小题12分)
已知两点A(−1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈[− 33−1, 3−1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
19.(本小题12分)
已知动点M到F(0,3)的距离与点M到直线l：y=−3的距离相等．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点F且倾斜角为60°的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．
21.(本小题12分)
为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF//DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．
(1)求灯罩轴线所在的直线方程；
(2)若路宽为10米，求灯柱的高．
22.(本小题12分)
如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F(1,0)，E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记△ABE，△MNE的面积分别为S1，S2．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)S12|AB|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)求S1+S2的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：kAC=1−3−1−1=1，kBC=1−33−1=−1，
∵直线l过点C(1,3)，A，B两点在直线l的同侧，则直线l斜率的取值范围是(−1,1)，
故选：A．
分别求出kAC，kBC，根据直线l过点C(1,3)，A，B两点在直线l的同侧，即可得出直线l斜率的取值范围．
本题考查了斜率的计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得：m2>m+2>0，解得−22”是“方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件．
−20)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
设A(3, 6p)，
所以|AF|=3+p2=4，解得p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，
A(3,2 3)，B(3,−2 3)，F(1,0)，
所以直线AF的方程为y= 3(x−1)，
设圆心坐标为(x0,0)，
所以(x0−1)2=(3−x0)2+12，
解得x0=5，即E(5,0)，
∴圆的方程为(x−5)2+y2=16，
不妨设yM>0，设直线OM的方程为y=kx，则k>0，
根据|5k| 1+k2=4，解得k=43，
由y=43x(x−5)2+y2=16，
解得M(95,125)，
设N(4csθ+5,4sinθ)，
所以OM⋅ON=365csθ+485sinθ+9=125(3csθ+4sinθ)+9，
因为3csθ+4sinθ=5sin(θ+φ)∈[−5,5]，
所以OM⋅ON∈[−3,21]．
故选：B．
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p，进而得到抛物线的方程，求得A，B，F的坐标，直线AF的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N的坐标，求得M的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：方程方程x24−t+y2t−1=1表示的曲线为C．
当10恒成立，则k