南京市秦淮区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份南京市秦淮区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．y＝2x﹣1B．x2＝6C．5xy﹣1＝1D．2（x+1）＝2
2．抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
4．在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽该周每天的平均睡眠时间是（ ）
A．7小时B．7.5小时C．8小时D．9小时
5．已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）
7．方程的根是 __________．
8．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是________．
9．甲乙两个人6次体育测试的平均分相同，分，分，则成绩较为稳定的是_________．（填“甲”或“乙”）
10．圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数等于______；
11．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是_________．
12．将函数的图像绕着原点旋转，得到的新图像的函数表达式为_________．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为_________．
14．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为_________．
15．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如表：
该二次函数图像向左平移_________个单位，图像经过原点．
16．如图，正方形边长为，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是______．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：．
18．解方程：x（x-4）=2x-8．
19．画出函数的图象，根据图象，解决下列问题：
（1）当时，y的取值范围是_________．
（2）当时，直接写出x的取值范围．
20．商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？
21．“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：
八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；
九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．
（1）填表：
（2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？
22．初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了A、B、C、D四份听力材料，它们的难易程度分别是易、易、中、难；a，b是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．
（1）从四份听力材料中，任选一份，其难度是易的概率是_________．
（2）分别从听力、口语材料中随机各选一份组成一套完整的模拟试卷，求两份材料难度都是易的概率．
23．已知关于x方程（p为常数）．
（1）若该方程有两个相等的实数根，求p；
（2）当_________时，函数的值最小，最小值为_________．
24．如图，点P在⊙O外，M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为半径画弧，交⊙O于点A，B，连接PA；
（1）判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接AB，若OP＝9，⊙O半径为3，求AB的长．
25．某塑料大棚如图①所示，其截面如图②，其中曲线部分可近似看作抛物线形，现测得，最高点D到地面的距离为，点D到墙的距离为．求墙高．
26．如果一个二次函数的二次项系数与顶点纵坐标相等，那么称该二次函数为“一致函数”．
（1）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一致函数的是_________．（填序号）
（2）求证：一致函数图像与x轴没有公共点．
（3）已知函数是一致函数，直接写出c取值范围．
27．如图1，是的弦，，P是优弧上的一个动点（不与点A和点B重合），组成了一个新图形（记为“图形”），设点P到直线的距离为x，图形的面积为y．
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）记扇形的面积为，当时．
①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②在第①题所作图中，连接，再画一条线，将图形分成面积相等的两部分．（画图工具不限，写出必要的文字说明．）x
…
0
1
2
…
y
…
4
6
4
…
代表队
平均数
中位数
方差
八年级代表队
90
60
九年级代表队
90
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B．x2＝6一元二次方程，故本选项符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．C
【解析】
【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，
∴P(朝上的面不同)，
故选：C．
【点睛】本题考查树状图法或列表法求概率，准确根据题意列出相应的树状图或表格是解题关键．
3．A
【解析】
【分析】根据圆与直线的位置关系可直接进行排除选项．
【详解】解：∵⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交；
故选A．
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】根据平均数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7=8（小时）．
故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
5．D
【解析】
【分析】先由，得出函数有最大值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
【详解】解∶二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，
．
故选∶D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及对称轴的求法，函数的增减性，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】分别求出各三角形的内切圆半径，比较即可．
【详解】如图，任意一个三角形的内心O，分别过O作三边的垂线，垂足为D、E、F，连接，
∴
∴
∴三角形内切圆半径
A、∵三角形是等边三角形
∴
∴三角形内切圆半径；
B、如图，中，，过A作于D，
∴，
∴，
∴
∴三角形内切圆半径；
C、如图，中，，过A作于D，
设，
∵
∴
解得，
∴
∴三角形内切圆半径；
C、中，，
∴
∴是直角三角形
∴
∴三角形内切圆半径；
∵
∴内切圆半径最小的是4，10，10，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理，掌握内切圆半径与三角形周长和面积的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）
7．
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
∴或，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．m≤1
【解析】
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故答案为：m≤1．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2-4ac有关，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无解．
9．乙
【解析】
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解：∵， ，
∴
∴成绩较为稳定的是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.
10．120°
【解析】
【分析】利用圆周长公式和弧长公式求解．
【详解】设圆心角为n，底面半径是1，
则底面周长
∴
故答案为
【点睛】考查圆锥的计算，掌握圆锥的底面周长等于它的侧面展开扇形的弧长是解题的关键.
11．
【解析】
【分析】由题意可把代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
12．
【解析】
【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标和开口方向都发生变化，确定顶点坐标即可得出所求的结论．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为,
图象绕着顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标变为，开口方向相反，
即，
则旋转后的二次函数解析式是：．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小不变，方向和顶点坐标都发生变化．
13．十二
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝30°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正十二边形，
故答案为：十二．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
14．##
【解析】
【分析】根据勾股定理得，利用这个关系列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点O作垂足为点，连接，，
，
，
根据勾股定理列方程可得，，
，，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，适当添加辅助线构造直角三角形，并列方程求解是解题关键．
15．3
【解析】
【分析】利用表格中的数据求解析式，二次函数与x轴交点为，可得结论．
【详解】解：设函数关系式为，
把代入得：
解得
∴解析式为
令，则
解得或
即二次函数与x轴交点为
∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．
16．##
【解析】
【分析】由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小，再利用勾股定理可得的长，继而解题．
【详解】解：将沿翻折得到，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点、、三点共线时，最小，
由勾股定理得，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17． ,
【解析】
【分析】根据求根公式进行解题.
【详解】解:
a=1b=-6,c=4
∴△=36-16=20
∴
∴ ,
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉一元二次方程的求解方法是解题关键.
18．x1=2，x2=4．
【解析】
【分析】将等号右边化为2（x-4），移项后提公因式后解答．
【详解】方程可化为x（x-4）=2（x-4），
移项，得x（x-4）-2（x-4）=0，
提公因式，得（x-2）（x-4）=0，
解得x1=2，x2=4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟悉提公因式法等是解题的关键．
19．图见解析，（1）．（2）．
【解析】
【分析】根据函数解析式求得与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函数图象，
（1）根据函数图象直接求解；
（2）根据函数图象直接求解．
【详解】令，则，
解得：，
∴抛物线与轴交点为，，
令，解得：，
∴抛物线与轴的交点为，
∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线
关于对称轴对称的点为，
函数的图象，如图所示，
（1）根据函数图象可知，当时，．
故答案为：．
（2）当时，．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
20．销售单价应为60元或80元
【解析】
【分析】可以设该玩具销售单价应为x元，也可以设该玩具销售单价涨了x元，则销售单价为元，然后分别根据题意列出一元二次方程求解得出答案．
【详解】解法一：设该玩具销售单价应为x元，
根据题意，得，
整理，得，
，
．
答：该商品每件实际售价应定为60元或80元．
解法二：设该玩具销售单价涨了x元，则销售单价为元．
根据题意，得，
整理，得，
，
．
所以或．
答：该商品每件实际售价应定为60元或80元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、适当设元、找准等量关系列出方程是解答此题的关键．
21．（1）90，90，80
（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好．因为两队平均数与中位数都相同，而八年级代表队的方差小，成绩更稳定
（3）180名
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义，平均数，方差的公式进行计算即可；
（2）根据平均数相等时，方差的意义进行分析即可；
（3）600乘以满分的人数所占的比例即可．
【小问1详解】
解：∵八年级代表队：80，80，80，90，90，90，90，100，100，100；
∴八年级代表队中位数为90
九年级代表队的平均数为90，
九年级代表队的方差为80
故答案为：
【小问2详解】
八年级代表队的学生竞赛成绩更好．因为两队平均数与中位数都相同，而八年级代表队的方差小，成绩更稳定
【小问3详解】
（名）．
答：九年级大约有180名学生可以获得奖状
【点睛】本题考查了求中位数，平均数，方差，样本估计总体，根据方差作决策，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）用列举法求概率即可；
（2）画树状图求出概率即可解题．
【小问1详解】
从四份听力材料中，任选一份，难易程度分别是易、易、中、难共种可能，选中易的有2种，所以难度是易的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图为：
分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷，可能出现的结果有8种，并且它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足两份材料难度都是易（记为事件A）的结果有2种，．所以．
【点睛】本题考查概率的计算，掌握列举法和树状图求概率是解题的关键．
23．（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式解题即可；
（2）把二次函数配方成顶点式，写出最值即可解题．
【小问1详解】
因为关于x的方程（p为常数）有2个相等的实数根．
所以．
解这个方程，得．
【小问2详解】
解：
∴_时，最小值为，
故答案为：，
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况和二次函数的最值，掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键．
24．（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）AB＝4
【解析】
【分析】（1）连接OA，由OP是⊙M的直径，得到∠OAP＝90°，由圆的切线的判定定理可得PA是⊙O的切线；
（2）连接AN，AM，BM，由线段垂直平分线的判定证得OP是线段AB的垂直平分线，可得到AB⊥OP，AE＝BE，由勾股定理求出AP，由三角形的面积公式求出AE，进而求得AB．
【详解】解：（1）PA是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OA，
∴OP是⊙M的直径，点A是⊙M上一点，
∴∠OAP＝90°，
即OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）设⊙O与OP的交点为N，AB与OP的交点为E，连接AN，AM，BM，
∵MA＝MB，OA＝OB，
∴OP是线段AB的垂直平分线，
∴AB⊥OP，AE＝BE，
∵OP＝9，OA＝3，
∴AP＝，
∴S△OAP＝OA•AP＝AE•OP，
∴OA•AP＝AE•OP，
∴3×＝9AE，
∴AE＝，
∴AB＝．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理等知识，掌握相关定理，并根据已知条件添加辅助线是解题关键．
25．
【解析】
【分析】建立合适的直角坐标系，由题意可得出点与点的坐标，利用待定系数法求解抛物线解析式，再代入求出点的坐标即可．
【详解】解法一：过点D作轴，垂足为O建立如图所示的平面直角坐标系．
根据题意，有．
∵，
∴．
∵该抛物线的最高点D的坐标是，
∴可设该二次函数的表达式为．
∵该二次函数的图像与x轴的交点坐标是，
∴，解得．
∴该二次函数的表达式为．
将代入，得．
所以墙高为．
解法二：
建立如图所示的平面直角坐标系．过点D作轴，垂足为E．
根据题意，有．
∵，
∴．
∴．
∵该抛物线的最高点D的坐标是，
∴可设该二次函数的表达式为．
∵该二次函数的图像与x轴的交点坐标是，
∴，解得．
∴该二次函数的表达式为．
将代入，得．
所以墙高为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系以及熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
26．（1）①②⑤；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先化成顶点式写出顶点纵坐标，由“一致函数”的定义逐一判断即可解题；
（2）设一致函数的表达式为，令整理得解题即可；
（3）根据顶点坐标可知顶点的纵坐标为，即解题求取值即可．
【小问1详解】
①；
②；
③；
④；
⑤．
由“一致函数”的定义可以判断是一致函数的是①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【小问2详解】
设一致函数的表达式为．
令，得．
化简，得．
因为，所以该方程无实数根．
所以一致函数的图像与x轴没有公共点．
【小问3详解】
解：根据顶点坐标可知顶点的纵坐标为，
即，
∵，
∴，
解得
【点睛】本题考查新定义，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（1）．自变量x的取值范围是．
（2）①图见详解②见详解．
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理做辅助线，分别求出、、，然后由面积的和差关系建立等式即可；
（2）①扇形的面积为，当时,那么根据同底等高即可；②扇形的面积为，当时，也就是画一条线把平分，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可作图．
【小问1详解】
解：∵在中，是的弦，
∴．
∵，
∴是等边三角形，．
如图1，过点O作，垂足C．
则．
在中，．
根据勾股定理，得．
∴．
又∵，是等边三角形且边长是2，
∴．
又∵点P到直线的距离为x，，
∴．
∴图中的阴影部分的面积．
自变量x的取值范围是．
【小问2详解】
解：①如图2所示，点（或）即为所求（只要求作出一种情形即可）；
②以点的情况为例，
过点O作，垂足为C，延长交于点D．
连接，则折线即为所求．
弧线的画法：
以点的情况为例，
以为圆心，长为半径画弧，交于点F．则即为所求．
【点睛】本题考查圆章节的垂直定理性质以及三角形扇形面积公式等知识内容，掌握面积等量代换是解题作图的关键。