苏州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份苏州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1．有一组数据：11，11，12，15，16，则这组数据的中位数是（ ）
A．11B．12C．15D．16
2．方程的根是（ ）
A．B．2C．或D．2或
3．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定
4．若抛物线对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．B．C．0D．2
5．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径正对“30”刻度线，已知长为，，则玻璃管内径的长度等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，C为⊙O上一点，是⊙O的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转30°后得到，交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．

第7题图 第8题图
8．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是_________．
10．如图，在中，，，，则值为______．
11．一只蚂蚁在一块黑白两色的正六边形地砖上任意爬行，并随机停留在地砖上某处，则蚂蚁停留在黑色区域的概率是______．
12．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______．
13．如图，与⊙O相切于点A，是⊙O的弦，且，，则⊙O的半径长为______．
14．如图，四边形中，点E在上，且，，已知的面积为3，的面积为1，则的面积为______．
15．在中，，，则度数的最大值为______．
16．已知抛物线过，两点．若，则下列四个结论中正确的是______．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①；②；③点，在抛物线上，若，，则；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：；
18．解方程：．
19．为落实“双减”政策，某中学在课后服务时间开设了四个兴趣小组，分别为A：机器人，B：交响乐，C：油画，D：古典舞．为了解学生的报名情况（每名学生只报一个兴趣小组），现随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取______名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，项目A所对应的扇形圆心角的度数为______．
20．为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有二男二女共4名学生报名参加演讲比赛．
（1）若从报名4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是______；
（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生都是男生的概率．
21．如图，测绘飞机在同一高度沿直线由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方．在第一观测点B处测得目标A的俯角为，航行米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为，求第二观测点C与目标A之间的距离．
22．把一根长8米的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形面积的和等于2平方米，应该怎么剪？
（2）这两个正方形面积和可能等于平方米吗？请说明理由．
23．在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
24．已知二次函数的图像与x轴有唯一公共点．
（1）求a的值；
（2）当时（），函数最大值为4，且最小值为0，则实数m的取值范围是______．
25．如图，矩形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上向右运动，运动时间为t秒，连接交于点Q．
（1）求证：；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求运动时间t的值．
26．如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点F，交于点D，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
27．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数的图像过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交于点F，交二次函数的图像于点E，记的面积为，的面积为，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接，过点M作的垂线，过点B作的垂线，与交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由。尺码/
销售量/双
1
3
10
4
2
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1．B
【解析】根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：把这一组数据从大到小排列后，位于正中间的数为12，
∴这组数据的中位数是12．故选：B
【点睛】本题主要考查了求中位数，熟练掌握把这一组数据从小到大（或从大到小）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键．
2．D
【解析】直接两边开平方即可得到答案．
【详解】解：两边开平方得，，故选D．
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程．
3．A
【解析】
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
4．C
【解析】根据抛物线的对称轴公式，列出关于a的方程即可解答．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴，解得：，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，记住二次函数的对称轴公式是解题的关键．
5．B
【解析】利用圆周角定理计算即可．
详解】∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．
6．B
【解析】根据，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】连接，，根据及旋转，得到，，从而得到是等边三角形，结合是⊙O的直径，即可得到，，从而得到是等边三角形，即可得到，根据扇形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接，，过O作，
∵是⊙O的直径，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∵绕点B按顺时针方向旋转30°后得到，
∴，
∴，
是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴阴影部分的面积为：，
故选C
．
【点睛】本题考查勾股定理，扇形面积公式，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积．
8．D
【解析】
【分析】根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图像即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴与抛物线交于点，两点，
图像如图所示，
由图像可知，
当时，，
∴的解集是，
故选D．
【点睛】本题考查利用函数图像解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键找到与抛物线交于点．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．
【解析】
【分析】直接根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数即可得出结论．
【详解】由表格可知：尺码的运动鞋销售量最多为双，即众数为．
故答案为：25.
【点睛】本题考查了众数，解题的关键是熟练掌握众数的定义．
10．##
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据正弦定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理与解直角三角形求线段，解题的关键是求出及熟练掌握直角三角形中锐角的正弦等于对边比斜边．
11．
【解析】
【分析】设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2，
∴蚂蚁停留在黑色区域的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．
12．
【解析】
【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握，．
13．1
【解析】
【分析】连接，，根据与⊙O相切于点A，得到，结合，得到，根据，即可得到是等边三角形即可得到答案．
【详解】解：连接，，
∵与⊙O相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
故答案为：1，
．
【点睛】本题考查切线的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是根据切线得到．
14．
【解析】
【分析】连接，分别过点C作于G，过点E作于F，根据平行可证∶和同底等高，，，，从而证出，，根据相似三角形的性质可得∶，从而得出∶，然后计算的面积即可．
【详解】解∶连接，分别过点C作于G，过点E作于F，如图：
∵，
∴和同底等高，，
∵的面积为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为∶．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．
15．##45度
【解析】
【分析】画出线段，以B为圆心为半径画圆即可得到，当C从与圆交点处开始运动时逐渐增大，当与圆相切时最大，随后逐渐减小，根据三角函数即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，画出线段，以B为圆心为半径画圆即可得到，当C从与圆交点处开始运动时逐渐增大，当与圆相切时最大，随后逐渐减小，
∴当时，度数的最大，
此时，
∴度数的最大值为，
故答案为．
【点睛】本题考查三角函数求角度，解题的的关键是画出圆利用动点问题得到最值点．
16．②③④
【解析】
【分析】根据抛物线过，两点，可得抛物线的对称轴为直线，再由，可得，故①错误；把点代入抛物线解析式可得，从而得到，故②正确；再由，可得抛物线的对称轴位于直线和之间，分两种情况分析，进而得到，故③正确；然后根据，，可得，再利用一元二次方程根的判别式，可得关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确．
【详解】解∶∵抛物线过，两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线过，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
即抛物线的对称轴位于直线和之间，
若点，都在对称轴左侧，
∵开口向上，
∴在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，
∵，
∴，
若点在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∵，，
∴点距离对称轴更远，
∵抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值代入求解即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊三角函数求值，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数．
18．
【解析】
【分析】直接利用因式分解求解一元二次方程即可．
【详解】解：
或
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程常规的求解方法，因式分解法，直接开方法，配方法，公式法．
19．（1）；（2）图见详解（3）
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图与条形统计图中B的数据即可得到答案；
（2）利用（1）中求出的总数减去A，B，D，的即可得到C的数据补充即可得到答案；
（3）利用乘以A所占比例即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
此次调查抽取人数为（人），
∴此次调查共抽取名学生；
【小问2详解】
解：由（1）得，
C的人数为：（人），
∴条形统计图如图所示，
【小问3详解】
解：由题意可得，
A所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合题，解题的关键是找到两个都有的量求出总数，熟练掌握所占圆心角等于乘以所占比例．
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用树状图列出所有情况，找出所选的这名学生是女生的情况，代入即可得到答案；
（2）利用树状图列出所有情况，找出2名学生都是男生的情况，代入即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
由上图可得总共有4种情况，是女生的情况有2种，
∴，
∴选的这名学生是女生的概率是；
【小问2详解】
解：由题意可得，
由上图可得总共有种情况，是女生的情况有2种，
∴，
∴这2名学生都是男生的概率为．
【点睛】本题考查利用树状图法求概率，解题的关键是正确列出树状图．
21．米
【解析】
【分析】过C作，可得，，，根据三角形内角和定理得到，根据的正弦即可得到答案．
【详解】解：过C作，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
答：第二观测点C与目标A之间的距离为米．
．
【点睛】本题考查利用三角函数解决仰俯角问题及三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线．
22．（1）剪成的一段为4米，则另一段就为4米；
（2）不可能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；
（2）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．
【小问1详解】
解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
解得：．
答：剪成的一段为4米，则另一段就为4米；
【小问2详解】
解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
变形为：，
解得：，舍去，，舍去，
即：这两个正方形面积的和不可能等于．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．
23．（1）3；（2）
【解析】
【分析】(1)连接，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，计算即可．
(2)设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得，计算即可．
【小问1详解】
如图，连接，，过点O作，垂足为D，
∵，，，
∴，，是等边三角形，
∴，，
∴这个扇形的半径为3．
【小问2详解】
设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得，
解得．
故圆锥底面圆的半径为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
24．（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴有唯一公共点即一元二次方程的判别式等于0即可得到答案；
（2）配方找到对称轴，确定最小值，代入最大值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
∵二次函数的图像与x轴有唯一公共点，
∴一元二次方程的判别式等于0，
∴，，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）得，
，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线上点的对称点为
∵时（），函数的最大值为4，且最小值为0，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题问题及最值问题，解题的关键是根据有唯一公共点得到判别式等于0解出a及配方找到对称轴．
25．（1）见解析；（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意可知，从而可知，由，可证；
（2）由矩形性质可得及勾股定理可知，，，分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形列出比例式可求解得的值．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，，，
∴，
由题意知，，，
①当时，即：，
∵，
∴，即：，解得：；
②当时，即：，
∵，
∴，即：，整理得：，
两边同时平方得：，整理得：
解得：；
综上：是以为腰的等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形定义、矩形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，分类讨论求解是解决问题的关键．
26．（1）见解析（2）为等腰直角三角形，证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据平分，可得，再由圆周角定理可得，即可；
（2）由直径所对圆周角为直角可知．根据角平分线的性质可知，．根据同弧所对圆周角相等得出，最后由三角形外角性质结合题意即可证明，得出，即说明为等腰直角三角形；
（3）连接，交于点F．由，说明，即可由垂径定理得出．由（2）得为等腰直角三角形，，得出，再由两次勾股定理建立方程得出，继续利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形，证明如下：
∵为的直径，
∴．
∵分别平分和，
∴，．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
【小问3详解】
如图，连接，交于点F．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
由（2）得为等腰直角三角形，，
∴
解得：，
在中，
，
在中，
，
∴
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握圆的相关知识，并会连接常用的辅助线是解题关键．
27．（1）；
（2）；
（3），定值为；
【解析】
【分析】（1）根据坐标轴交点特点利用一次函数求出B，C两点坐标，代入抛物线解析式即可得到答案；
（2）连接，设点M坐标为，根据题意写出点F，E的坐标，表示出，，根据列等式求出m即可得到答案；
（3）过G作，根据垂直易得，根据对应成比例即可得到答案；
【小问1详解】
解：在一次函数中，
当时，，
当时，，
∴，，
将，代入抛物线得，
，
解得：，，
∴；
【小问2详解】
解：连接，设点M坐标为，
∵，
∴点E的坐标为：，点F的坐标为，
由题意可得，
，
，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
∴E的坐标为：；
【小问3详解】
解：过G作，由题意可得，
∵，，，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴设点G坐标为，点M坐标为，
可得，
解得：，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，解题的关键是设出动点坐标写出相关联的坐标，根据等量列式求解。