2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区九年级上学期数学期中试题及答案，共29页。

A. 3，6，1B. 3，1，6C. ，6，D. 3，0，1
【答案】C
【解析】
【分析】把一元二次化为一般形式即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为或，
故二次项系数、一次项系数和常数项分别为，6，或3，，1，
故选：C
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线解析式的顶点式为：，
则其顶点坐标为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3. 不解方程，判别一元二次方程的根的情况正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式，把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断根的情况．
【详解】解：，，
，
方程无实数根．
故选：C．
4. 一元二次方程用配方法解，配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将二次项系数化为1和移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变成完全平方式，本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号右边；把二次项系数化为1；等边两边同时加上一次项系数一半的平方；写成完全平方式；是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，即，
故选：A．
5. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可求解．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到抛物线．
故选：B
6. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C、D两点的坐标分别为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质和关于原点对称，由菱形的性质可知点和点关于原点对称，、关于原点对称，结合条件可求得点，点的坐标．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
又点为坐标原点，
点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，
点A的坐标为，点B的坐标为，
点坐标为，点坐标为．
故选：B．
7. 二次函数的图象所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的图象得出，，从而即可判断一次函数的图象经过一、二、四象限，得到答案，本题考查了二次函数与一次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象得出，，采用数形结合的方法是解此题的关键．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴在轴右边，
，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
8. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为直径，即，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．
9. 函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】选项A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
选项B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
选项C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；
选项D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．
故选C．
10. 我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“好点”.若关于的二次函数对于任意的常数恒有两个“好点”，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由“好点”A的横、纵坐标相等，可得x=y=ax2+tx-2t（a≠0），△=（t-1）2+8at＞0，整理得：t2+（8a -2）t+1＞0，若不等式t2+（8a -2）t+1＞0成立，则关于t的一元二次方程t2+（8a -2）t+1=0无解，根据△′=（8a -2）2-4＜0即可求解．
【详解】∵“好点”A的横纵坐标相等，
∴x=y=ax2+tx-2t（a≠0），
∴ax2+（t-1）x-2t=0（a≠0），
∴△=（t-1）2+8at＞0，
整理得：t2+（8a -2）t+1＞0，
不等式t2+（8a -2）t+1＞0成立，
则关于t的一元二次方程t2+（8a -2）t+1=0无解，
即△′=（2-8a）2-4＜0，
解得：0＜a＜，
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，综合性较强，有一定难度．解题时学生需熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置．
11. 钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了_________度．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查的是图形的旋转问题中钟表时针与分针的夹角，在钟表问题中，应明确钟表分12个大格，每个大格之间的夹角为进而计算即可．
【详解】钟表时针转动一周的角度为，平均分成12个刻度，每两个刻度的角度为，所以从3时到5时，转动两个刻度，角度为．
故答案为：60．
12. 如果是方程的一个根，这个方程的另一个根为______．
【答案】x=-2
【解析】
【分析】设方程的另一个根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2=0，即可求出另一个根.
【详解】设方程的另一个根为x2，则2+x2=0，
解得x2=-2，
故答案为：x=-2.
【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系式，熟记两个关系式并运用解决问题是解题的关键.
13. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就会得到22＋2×(－5)－3＝－9.现将实数对(m，－3m)放入其中，得到实数4，则m＝__________.
【答案】7或－1##-1或7
【解析】
【详解】根据题意得，m2+2×（-3m）-3=4，
解得m1=7，m2=-1，
∴m的值为7或-1．
故答案为：7或-1
14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出．
15. 设二次函数（，m，k是实数），现有以下四个结论：
①抛物线与x轴交点横坐标分别为、；
②当时，函数y的最小值为；
③当时，直线（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点；
④当时，只有在时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴，
其中正确的有 ．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程关系，一次函数与二次函数交点问题，一元一次不等式组．求出抛物线与x轴交点坐标即可对①作出判断；将代入解析式，求出求出最小值，从而对②作出判断；将代入解析式，与直线联立组成方程，根据方程解的情况，即可对③作出判断；将代入解析式，用m的代数式表示出抛物线与y轴交点，根据抛物线与y轴交点在负半轴列不等式求解，即可对④作出判断．
【详解】解：令，得，
解得：或，
∴抛物线与x轴交点的坐标分别为、，故①正确；
当时，二次函数为，
即，
∵，
∴函数y有最小值为，故②正确；
当时，二次函数为，
其与直线联立，
得，
整理，得，，
∴直线（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点，故③正确；
当时，二次函数为，
当时，，
要保证抛物线与y轴交点在负半轴，
则，
即，此时无解，
或，解得，故④正确．
综上，正确的有：①②③④．
故答案为：①②③④．
16. 如图，菱形的边，高，F是边上一动点，将四边形沿直线折叠，A点的对应点为P，当的长度最小时，的长为_________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出对应图形，由可推出，确定当三点共线时，的长度最小；画出三点共线时的图形，即可求解．
【详解】解：如图1：

由题意得：，，，
∴，
∴，
，
，
即：，
故当三点共线时，的长度最小，且最小值为，
如图2：

则有，
∵，
∴，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，综合性较强．根据题意画出对应图形，推出当三点共线时，的长度最小是解题关键．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】根据配方法以及公式法即可解一元二次方程．
【详解】解：
（解法一）移项、配方得：
∴
∴
∴
∴，
（解法二）解：∵，
∴
∴方程有两个不相等的实数根
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 如果一个二次函数图象经过、、三个点，那么请解决以下问题：
（1）求这个二次函数解析式；
（2）若这个二次函数解析式表示为（，a、b、c为常数），则
①时，自变量x的取值范围为_________；
②时，方程的两根分别为_________；
③时，自变量x的取值范围为_________．
【答案】（1）
（2）①全体实数；②；③
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①把二次函数配方为顶点式，根据抛物线都在轴上方解题即可；②解方程求出值即可；③在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线，借助图象求出不等式的解集即可．
【小问1详解】
设这个二次函数解析式为，
将、、代入解析式得：
，
解得：，
∴这个二次函数解析式为，
【小问2详解】
①，
∴开口向上，最小值为，
∴时，自变量x的取值范围为全体实数，
故答案为：全体实数；
②解方程得：
；
故答案为：；
③抛物线和直线的图象如图所示，
借助图像可知：时，自变量x的取值范围为，
故答案为：；
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
19. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，垂足为点，且，若四边形有最大面积，则求出此时的与的长及这个最大的面积．

【答案】，最大面积
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，设，则，根据，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：设，则，
，
当时，最大，
，最大面积为．
20. 已知，圆内接四边形的对角线交于点，平分．

（1）如图1，求证：是圆的直径；
（2）如图2，点为圆的圆心，过点作，使，交的延长线于点，若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义可得，由圆周角定理可得，从而得到，再由三角形内角和定理可得得出，即可得证；
（2）由圆周角定理结合已知可得，设，则，由平行线的性质可得，从而得到，推出，由垂径定理的推论可得，再由含角的直角三角形的性质进行计算，求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是直径；
【小问2详解】
解：，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即为中点，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，即半径长为4．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、角平分线定义、平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识点．同弧所对的圆周角相等；角形内角和为；直线平行，同旁内角互补；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21. 如图是由单位长度为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的三个顶点都在格点，点在格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．

（1）在图1中画出将三角形绕点顺时针旋转得到的三角形，使、点分别对应、点；
（2）在图1中画出将三角形绕O点逆时针旋转得到的三角形PMN，使、、分别对应、、点；
（3）在图2中画的平分线，交于点；
（4）在图3中画三角形的外接圆圆心点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据图形旋转的定义即可得到答案；
（2）根据图形旋转的定义即可得到答案；
（3）根据等腰三角形“三线合一”即可得到答案；
（4）根据三角形的外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，即可得到答案．
小问1详解】
解：由题可得，即为所求，如下图所示：
小问2详解】
解：由题可得，即为所求，如上图所示；
【小问3详解】
解：由题可得，的平分线如下图所示：
【小问4详解】
解：由题可得：三角形的外接圆圆心点，如图所示：
【点睛】本题考查了三角形的有关作图，熟练掌握角平分线的作图方法，三角形外接圆圆心的确定方法，图形旋转的定义：“确定旋转中心和旋转方向”是解此题的关键．
22. 某商店经营某种小商品，该商品的进价为10元/件，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数．
（1）当每周销售利润为8元时，求这种商品的售价；
（2）若某周该商品的销售量不少于8件，求这周该商店销售这种商品获得的最大利润；
（3）若商品的进价每件提高m元（），为了加大销量，商店决定亏本销售，商店发现这种商品售价不超过进价的时，该商店每周销售这种商品的利润会随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）11元或14元
（2）8元 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用：
（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；
（2）设每周销售的利润为W元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意可得，设每周销售的利润为元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再由该商店每周利润随售价的增大而增大，得到，再由销量，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：
，
解得：，
即这个商品的售价为11元或14元；
【小问2详解】
解：设每周销售的利润为W元，根据题意得：
，
由题意得，
，
当时，，即最大利润为8元；
【小问3详解】
解：
该商品的售价不超过进价的，
，
设每周销售的利润为元，根据题意得：，
抛物线的对称轴为直线：，
该商店每周利润随售价的增大而增大，
，
解得：，
销量，
，即，
，
，
又，
∴m范围为．
23. 问题呈现：如图1，在中，，以为边向外作等边，求的长．

操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图，进而联想到自己非常熟悉的图模型，以为边作等边，连．
(1)如图3，直接写出与间的数量关系_________；
(2)如图1，求的长．
理解运用：
(3)根据以上探索，如图4，在四边形中，．若，，求的长．
延伸拓展：
(4)已知，如图5，为正内一点，．直接写出以，、为边构成的三角形各个内角的度数．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，，
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，得即可；
（2）以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点，由可证，可得，利用勾股定理可求，，即可求解；
（3）连接、，在四边形的外部以为一边作等边，连接，证明，得，然后证明，根据勾股定理求出，进而可以解决问题；
（4）将绕点顺时针旋转得，可以证明是等边三角形则，则就是以，，三边为边的三角形，然后分别求出的三个内角的度数即可．
【详解】解：（1），理由如下：
AI
与是等边三角形，
，，
，
，
即．
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点，
AI
与是等边三角形，
，，
，
，
即．
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，在四边形的外部以为一边作等边，连接，

在中，，，
是等边三角形，
，，
又是等边三角形，
，，
，
即，
)，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
；
（4）将绕点逆时针旋转得，则，

，，，
是等边三角形，
，，
就是以，，三边为边的三角形，
，
，
，
，
，
以，，为边的三角形的三内角的度数分别为，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，、为常实数）交轴于、两点，与轴交于点．

（1）如图1，若在此抛物线上，求出这个抛物线解析式；
（2）如图，在（）的条件下，为（）中抛物线第四象限一动点，连、，求能使四边形面积最大时的点坐标；并求出四边形的最大面积．
（3）将抛物线平移到以坐标原点为顶点的位置，为坐标系轴正半轴上一点，、为平移后的抛物线上两点，始终在点左边，连、、，若、点横坐标分别为、，则当为等腰直角三角形，且时，求、间的数量关系．
【答案】（1）
（2），四边形面积行最大值，为
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，过作轴交与，设，由得直线，则，从而得，利用二次函数得性质即可求解；
（3）设点，过作轴于，过作轴于．，分、在轴左侧，、在轴右侧时以及、在轴两侧时三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：在抛物线上
得
抛物线
【小问2详解】
解：连接，过作轴交与，设
∴直线
则，
∵，
∴，
又，
要求四边形最大值，即求面积最大值
当时，取最大值
，四边形面积有最大值，为．
【小问3详解】
解：设点，过作轴于，过作轴于．
①当、在轴左侧时，如图

∵，轴，轴，
∴,,,
∴，
，
则，
两式相加得
②当、在轴右侧时，如图．

同理
则，
两式相加得
③当、在轴两侧时，如图．

同理
则
两式相减得
或
综上所述，、满足的等量关系为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，四边形面积，等腰直角三角形性质的应用，全等三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．