2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程化为一般形式后，，，的值可以是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程的变形为一般形式即可．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为：，
故，，，
故选：D．
2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 绿色饮品B. 绿色食品
C. 有机食品D. 速冻食品
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形.
3. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据判别式判断一元二次方程根的情况，能够熟练运用根的判别式是解决本题的关键．
【详解】根据根的判别式可知，，
故方程无实根，
故选：C．
4. 如图，、是上的两点，是直径，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用垂径定理得出，通过同弧或等弧所对圆周角相等可得，再根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵，是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和同弧或等弧所对圆周角相等的应用．
5. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2022D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记“若是方程一元二次方程的两个实数根，则．”是解题关键．
【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
故选：C．
6. 如图所示，、、都是的半径（点在劣弧上，不包括端点、），则下列关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”进行判断即可，能够熟练运用圆周角定理是解决本题的关键．
【详解】解：根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半可知，
为弧所对的圆心角，
弧所对的圆周角为，
故，
故选：B．
7. 若点，，在二次函数的图象上，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
．
故选：C．
8. 如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于4．

A. 1B. 2C. 4D. 1或4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设t秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设t秒后，的面积等于4，
由题意得：，则
∵，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
故选：A．
9. 已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函数．分两种情况考虑，根据垂径定理及特殊角三角函数即可求解．
【详解】解：当弦、在半径的同侧时，如图，
过O作于D，则，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
当弦、在半径的异侧时，如图，
同理可求得，，
则，
即的度数为或；
故选：C．
10. 已知抛物线（为常数）经过点、、，当时，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出，可得抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的对称性可得，进而得到，再结合，可得，然后根据，即可求解．
【详解】解：当时，，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线（为常数）经过点、，
∴，即，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________．
【答案】(-3，-5)
【解析】
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】在平面直角坐标系中，点（−3，5）关于x轴对称的点的坐标为（−3，−5），
故答案为：（−3，−5）．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的变化规律．
12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
13. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____．
【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196
【解析】
【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，三个月之和即为总产量.
【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：
50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和.
14. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为________．

【答案】##
【解析】
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，，．再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，从而得到为等边三角形，可得到，，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，为等边三角形，
∴，，
∴的周长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．
15. 已知抛物线（，，为常数，）经过、两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点、在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数）有根，则．
其中正确的结论是________（填写序号）
【答案】①③④
【解析】
【详解】根据函数的解析式结合函数图象逐个分析，并判断每个选项的正误即可．
【分析】解：∵、 两点纵坐标相等，
故当时，此时函数变为，
故一元二次方程的根为，成立，故①正确；
由于、 两点纵坐标相等，
∴A，B两点关于函数的对称轴对称，
∴函数的对称轴为：，
∵，
∴函数的开口向上，故越靠近对称轴，函数的值越小，
C点离对称轴的距离为，D点离对称轴距离为，
∵，
∴，故②错误；
将变为；
∵函数的对称轴为，
故当时函数取最小值，
将代入函数解析式中得：，
故函数最小值为：，
故，
对于任意的实数t都有：变形得，
故③正确；
∵，
则，
将、 两点代入中得：，
②得，，
若一元二次方程则： ，
将，代入，化简得，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．
16. 如图，已知是的内接三角形，的半径为2，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点．若，则弦的长为________．

【答案】##
【解析】
【分析】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，，，过点O作于点E，解直角三角形得出，根据与为等圆，得出，，，证明，得出，过A作于，设，则，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，，，过点O作于点E，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵与为等圆，
∴，，，
∴，
∴，
过A作于，
设，则，，
∵，
∴在中，，
，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，根据勾股定理建立方程．
三、解答题（共8小题）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用公式法求解可得．
【详解】解：
，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键．
18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？
【答案】应邀请7个球队参加比赛．
【解析】
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．
【详解】设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=21，
即=21，
∴x2-x-42=0，
∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．
答：应邀请7个球队参加比赛．
【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
19. 已知函数．
（1）该函数的对称轴为________，顶点为________；
（2）当________时，随增大而减小；
（3）当时，函数值的取值范围是________．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，再根据“二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为”即可求解；
（2）根据二次函数的增减性，即可求解；
（3）根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，最大值为5，再分别求出，时的函数值，即可求解．
【小问1详解】
解：
，
∴该函数的对称轴为直线，顶点为；
故答案为：，
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小；
故答案为：
小问3详解】
解：∵抛物线开口向下，顶点为，
∴当时，函数有最大值，最大值为5，
当时，，
当时，，
∴当时，函数值的取值范围是．
故答案为：
20. 如图，是的直径，是弦，，于点，连接．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理以及平行线的判定：
（1）连接，证明，再由圆周角定理得，从而可得结论；
（2）连接，由勾股定理得出以及圆的半径，从而可得结论．
【小问1详解】
连接，如图，

∵，
∴，
又，
∴，
∴，
【小问2详解】
连接，
∵，，
∴，
又，，
∴在中，，
∴，
设，则
中，，
∴，，
∴
21. 如图网格是由边长为个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、、都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，点对应点，点对应点．

（1）在图中，将线段向右平移个单位长度，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段；
（2）在图中，先作点关于点对称点，再过点作直线分别交、于点、，使得．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（）根据点的平移和线段绕点旋转，然后连接即可求解；
（）根据中心对称的性质即可作图．
【小问1详解】
如图，根据平移和旋转的性质，找到对应点，然后连接即可；

∴，即为所求；
【小问2详解】
如图，根据网格作图特点，

∵为中点，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴点，，即为所求．
22. 某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第天的成本（元/件）与（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第天该产品的销售量（件）与（天）满足关系式．
（1）第5天，该商家获得的利润是________元；第40天，该商家获得的利润是________元；
（2）设第天该商家出售该产品的利润为元．
①求与之间函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有________天？（直接填写结果）
【答案】（1）450，1000
（2）①，第30天利润最大，最大利润1200元； 8
【解析】
【分析】（1）求出的解析式，即可；
（2）①先求出与之间的函数关系式，结合一次函数与二次函数的性质，即可求解；②利用每件利润乘以总销量等于总利润，进而求出二次函数最值即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：第5天，该商家获得的利润是元；
设的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴，
当时，，
即第40天时该产品的成本是60元/件，
利润为：元；
故答案为：450；1000
【小问2详解】
解：①根据题意得：
化简得
当时，，
∵，
∴随增大而增大，
当时，，
当时，，
∵开口向下，
∴对称轴，
时，随增大而减小，
又为整数，
∴时，，
∵，
∴，此时，
即第30天利润最大，最大利润1200元，
②
当时，
又且为整数
∴或29或30
当时，
令
∴，
∴
又
∴且为整数，
∴或32或33或34或35
综上所述，第28，29，30，31，32，33，34，35天共计8天利润不低于1125元，
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润等于一件的利润乘以销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23. （1）【问题背景】如图1，在中，，，，为边上的点，且，绕点顺时针旋转得到，连接，直接写出与的数量关系：________；
（2）【类比探究】如图2，在中，，，、均为边上的点，且，，，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，是正方形内一点，，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】解：（1）∵
∴
由旋转得，
∴即
∴
在和中，
∴
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
将绕点逆时针旋转得到，连接，如图2，则，，
，.
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
（3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接，，，则.如图3，
∵，
∴取最小值时，点在上，如图4所示：
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
设，则，，
在中，，解得，
∴当取最小值时的长为.
【分析】（1）先证明根据证明可得；
（2）先证是等边三角形，得，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，再证，得，过点F作，交的延长线于点G，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可解决问题；
（3）将绕点D顺时针旋转，得到，取的中点O，连接、、，则，由，得取最小值时，点E在上，再由旋转的性质得，，然后证，得，设的长为x，则，，在F中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；正方形的内角为，对边相等；根据证明三角形全等；全等三角形对应边相等，角所对直角边等于的一半．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是抛物线的顶点，连接．

（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
（2）设直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧且点在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标；
（3）如图2，作直线，分别交轴正、负半轴于点、，交抛物线于点、，设点、的纵坐标分别为、，且，求证：直线经过一个定点．
【答案】（1），顶点
（2）点坐标为
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；
（2）先求得直线过定点，再构造一线三等角，证明，求得，再求得，根据平行线性质求得，联立即可求解；
（3）设：，：，表示出M、N的坐标，由，得到，联立，根据根与系数的关系，求得，，设：，联立，根据根与系数的关系，求得，，据此求得，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵经过点，
∴，
，
，
∴抛物线解析式：，
对称轴，
时，
∴顶点，
综上所述，抛物线解析式，顶点；
【小问2详解】
解：∵，
∴当，即时，，
∴过定点，
过作，，连，
过作交抛物线于，，
过作轴，过作于，过作于，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得，解得，
∴，
联立，解得，，
又，
∴，，
∴点坐标为；
【小问3详解】
解：设：，：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
联立：，
∴，
∴，
∴，
同理：，
设：，
联立：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，

∴，
∴，
∴定点．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键．