广东省梅州市大埔县西河中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省梅州市大埔县西河中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共18页。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．3x﹣1＝0B．2x2+3＝0
C．（x+1）2﹣x2＝0D．﹣1＝0
2．（3分）桌上放着4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（ ）
A．红方B．蓝方
C．两方机会一样D．不知道
3．（3分）盐城市大纵湖旅游风景区中某两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于（ ）
A．一根火柴的长度B．一支钢笔的长度
C．一支铅笔的长度D．一根筷子的长度
4．（3分）如图，在一块对角线分别为6米、8米的菱形草地ABCD的四个顶点处，各居住着一只蚂蚁，居住在A处的蚂蚁准备沿A→B→C→D→A拜访在B、C、D三个顶点蚂蚁之后，再回到自己的住处，它的总路程为（ ）
A．14米B．20米C．24米D．28米
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+6＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝22B．（x﹣4）2＝10C．（x+4）2＝22D．（x+4）2＝10
6．（3分）如果＝，那么的值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
7．（3分）如图，以长方形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点F；再以顶点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点E．若AD＝5，CD＝，则EF的长度为（ ）
A．2B．3C．D．1
8．（3分）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于（ ）
A．3B．4C．6D．8
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）方程4x2﹣5＝0的一次项系数是 ．
12．（4分）方程2x2＝6的解是 ．
13．（4分）如图，已知在△ABC中，D，E分别在AB，AC的反向延长线上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，EC＝14cm，则AC＝ ．
14．（4分）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
16．（4分）如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起，那么重叠部分的四边形是 ．（填特殊的四边形）
17．（4分）如图，E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，CE＝CF，BE＝8，DF＝6，∠EAF＝45°，则EF的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
19．（6分）证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．已知（如图）l1∥l2∥l3，求证：＝．
20．（6分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0的一个解．求m的值．
21．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，连接DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）求当t为何值时，DP⊥AC．
22．（8分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整：
（2）德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校3500名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
（3）德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率．
23．（8分）“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2018年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2020年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率；
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
24．（10分）阅读下列材料：已知实数m，n满足（m2+n2+1）（m2+n2﹣1）＝80，试求m2+n2的值．
解：设m2+n2＝y，则原方程变为（y+1）（y﹣1）＝80，
整理得y2﹣1＝80，y2＝81，∴y＝±9，∵m2+n2≥0，∴m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2）（2x2+2y2﹣6）＝27，求x2+y2的值；
（2）解方程：；
（3）已知a，b，c是Rt△ABC的三边（c为斜边），Rt△ABC周长为12，且a，b满足（a2+b2）2﹣21（a2+b2）﹣100＝0，试求Rt△ABC的面积．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、BD．
（1）如图1，求证：∠DEA′＝2∠ABE；
（2）如图2，若点A′恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；
（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
广东省梅州市大埔县西河中学2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．由已知方程得到：2x+1＝0，该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2． 解：设其余3张扑克分别为a，b，c．
共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种，
∴两方机会一样．
故选：C．
3． 解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，
得它们之间的图上距离是
75÷2000＝0.0375米＝3.75厘米．
大约相当于一根火柴的长度．
故选：A．
4． 解：菱形的对角线为6米、8米，
菱形对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝3米，AO＝OC＝4米，
∴AB＝＝5米，
故菱形的周长为20米，
答：菱形的周长为20米．
故选：B．
5． 解：方程x2﹣8x+6＝0，
配方得：x2﹣8x+16＝10，
整理得：（x﹣4）2＝10．
故选：B．
6． 解：∵＝，
∴b＝2a，
∴原式＝＝﹣＝﹣3．
故选：B．
7． 解：如图，连接CE，
则CE＝CD＝，BC＝AD＝5，
∵△BCE为直角三角形，
∴BE＝＝，
∵BF＝AB﹣AF＝﹣5＝，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝2．
故选：A．
8． 解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的结果有2个，
∴小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为＝，
故选：C．
9． 解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝AE：AC，
而AD：AB＝3：4，AE＝6，
∴3：4＝6：AC，
∴AC＝8．
故选：D．
10． 解：连接PC，如图：
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
当PC最小时，EF也最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
当CP⊥AB时，PC最小，
此时，CP＝＝＝，
∴线段EF长的最小值为，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：一元二次方程4x2﹣5＝0的一次项系数是0，
故答案为：0．
12． 解：系数化1得x2＝3，
开方得x＝±．
13． 解：∴＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵EC＝14cm，
∴AC＝8cm．
故答案为：8cm．
14． 解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，
∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为＝，
故答案为：．
15． 解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵点D是AB的中点，AB＝6，
∴ED＝AB＝3，AD＝AB＝3，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝3，
∴AD＝DE＝AE＝3，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝3．
故答案为：3．
16． 解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：菱形．
17． 解：在DA上截取DN＝DF＝6，连接NF，在BA上截取BM＝BE＝8，连接ME，
设CE＝CF＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝x+6，BC＝AD＝8+x，
∴∠BME＝45°，∠DNF＝45°，
∴ME＝BE＝8，NF＝DF＝6，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∵∠MAE+∠AEM＝45°，∠NAF+∠AFN＝45°，
∴∠MAE＝∠AFN，∠AEM＝∠DAF，
∴△AME∽△FNA，
∴＝，
∴＝，
∴x＝10或x＝﹣10（舍去），
∴CE＝CF＝10，
∴EF＝CE＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，
∴（x+1）（3x﹣10）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝．
（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
19． 证明：如图作AM∥DF交直线l2于M交直线l1于N．
∵l1∥l2∥l3，
∴四边形AMED，四边形MNEF都是平行四边形，
∴AM＝DE，MN＝EF，
∵BM∥CN，
∴＝，
∴＝．
解法二：连接AE，EC，DB，BF．
∵＝，＝，
∵l1∥l2∥l3，
∴S△ABE＝S△BED，S△BEC＝S△BEF，
∴＝．
20． 解：将x＝1代入原方程得：12+2×1+m﹣1＝0，
∴m+2＝0，
∴m＝﹣2．
答：m的值为﹣2．
21． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCQ＝∠QAP，∠PDC＝∠QPA，
∴△APQ∽△CDQ；
（2）解：当t＝5时，DP⊥AC；
∵∠ADC＝90°，DP⊥AC，
∴∠AQD＝∠AQP＝∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠APQ＝∠CAB+∠ACB＝90°，
∴∠APQ＝∠ACB，
∴△DAP∽△ABC，
∴，
∴，
解得：t＝5，
即当t＝5时，DP⊥AC．
22． 解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%＝1000（名）；
剩少量的人数是：1000﹣400﹣250﹣150＝200，
补图如下：
故答案为：1000；
（2）3500×＝140（人）．
答：我校3500名学生一餐浪费的食物可供140人食用一餐；
（3）画树状图得：
∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．
∴P（恰好选中甲、丙两位同学）＝．
23． （1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得
100（1+x）2＝196，
解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去），
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，
根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，
整理得，y2﹣4y+3＝0，
解得y1＝1，y2＝3，
∵要减少库存，
∴y1＝1不合题意，舍去，
∴y＝3．
答：售价应降低3元．
24． 解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变为t（t﹣6）＝27，
∴t2﹣6t﹣27＝0，
∴（t﹣9）（t+3）＝0，
∴t＝9或t＝﹣3，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝9，
∴；
（2）设，则原方程变为m2﹣m﹣2＝0，
∴（m﹣2）（m+1）＝0，
∴m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，则，
∴x﹣1＝2x，
解得x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解；
当m＝﹣1时，则，
∴x﹣1＝﹣x，
解得，
经检验是分式方程的解；
∴原方程的解为或x＝﹣1；
（3）设n＝a2+b2，则原方程变为n2﹣21n﹣100＝0，
∴（n﹣25）（n+4）＝0，
∴n＝25或n＝﹣4，
∵a2+b2＞0，
∴a2+b2＝25，
∵a，b，c是Rt△ABC的三边（c为斜边），
∴c2＝a2+b2＝25，
∴c＝5，
∵Rt△ABC周长为12，
∴a+b＝12﹣c＝7，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝24，
∴S△ABC＝ab＝6．
25． 解：（1）由折叠知∠AEB＝∠A'EB，
∴∠AEB＝（180°﹣∠A'ED）＝90°﹣∠A'ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣（90°﹣∠A'ED）＝∠A'ED，
∴∠A'ED＝2∠ABE；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝10，
设AE＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣x，
由折叠知，A'E＝AE＝x，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴A'D＝BD﹣A'B＝4，
∴∠DA'E＝90°，
在Rt△DA'E中，根据勾股定理得，DE2﹣A'E2＝A'D2＝16，
∴（8﹣x）2﹣x2＝16，
∴x＝3，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝＝；
（3）∠A′CB的度数是存在最大值，
理由：方法1、如图1，过点B作BF⊥CA'交CA'的延长线于F，
在Rt△BFC中，sin∠A'CB＝＝，
∴BF越大时，sin∠A'CB越大，即∠A'CB越大，
当点E在边AD上运动时，点A'与F重合时，BF最大＝A'B＝AB＝6，
∴A'B⊥A'C，
∴∠BA'C＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝∠D＝90°，
∴点A'在CE上，如备用图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，
根据三角形面积得，S△BCE＝BC•AB＝CE•A'B，
∵A'B＝AB，
∴CE＝BC＝8，
在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2．
方法2、以点A为圆心，AB为半径，则点A'必在此圆上，
∴CE与⊙A相切时，∠A'CB最大，
即BA'⊥CE，
根据三角形面积得，S△BCE＝BC•AB＝CE•A'B，
∵A'B＝AB，
∴CE＝BC＝8，
在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2．