2023年广西柳州市柳江区中考数学一模试卷

这是一份2023年广西柳州市柳江区中考数学一模试卷，共17页。

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（ ）
A．6个B．8个C．10个D．12个
3．（3分）方程x2＝5x的根是（ ）
A．x＝﹣5B．x＝0
C．x1＝0，x2＝﹣5D．x1＝0，x2＝5
4．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．张老师驾车到达长江大桥红绿灯路口时遇到绿灯
B．九年级数学特长小组的13名同学中有两个同学在同一月过生日
C．大概率事件
D．抛掷一枚硬币出现正面朝上
5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2xB．x2+2＝0C．x2﹣2x＝8D．x2﹣3x＝0
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，若∠BAC'＝70°，∠CAB'＝30°，则旋转角的度数为（ ）
A．30°B．20°C．50°D．40°
7．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
8．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．140°C．80°D．60°
10．（3分）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m
11．（3分）函数（a≠0）与y＝a（x﹣1）（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A．5B．12C．13D．6.5
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：1，则△ABC与△DEF的面积的比为 ．
14．（2分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ．
15．（2分）如图，点A，B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，点C，D为线段AB的三等分点，点D在等腰Rt△OAE的斜边OE上，反比例函数y＝过点C，D，交AE于点F．若S△DEF＝，则k＝ ．
16．（2分）已知圆锥的底面周长是4π，母线长为3，则该圆锥的侧面积为 ．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则与x轴的另一个交点为 ．
18．（2分）已知点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t，若n＜0＜m，则t的取值范围为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．
20．（6分）已知y是x的反比例函数，并且x＝2时，y＝6，求出y与x的函数解析式．
21．（10分）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：
（1）将格点△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
22．（10分）“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次调查活动共抽取 人；
（2）“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度；
（3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
23．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝10，，求⊙O的半径．
25．（10分）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
（1）如图2，两墙AB、CD的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
26．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME与MF的数量关系为 ；
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠NMQ＝∠ABC，其它条件不变，直接写出：线段ME与线段MF的数量关系为 ；
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB：BC＝1：2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠NMQ＝∠ABC，AB：BC＝m，其它条件不变，直接写出ME：MF的值 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2． 解：设袋子里面共有小球x个，
则+＝1，
解得x＝10，
经检验，x＝10是方程的解，
即袋子里共有小球10个．
故选：C．
3． 解：把方程移项得，x2﹣5x＝0即x（x﹣5）＝0，
解得x1＝0，x2＝5．
故选：D．
4． 解：A．张老师驾车到达长江大桥红绿灯路口时遇到绿灯，是随机事件，故不符合题意；
B．就年级数学特长小组的13名同学中有两个同学在同一月过生日，是必然事件，故符合题意；
C．大概率事件表示发生的概率大，并不代表一定发生，故不符合题意；
D．抛掷一枚硬币出现正面朝上，是随机事件，故不符合题意．
故选：B．
5． 解：A、x2+1＝2x变形为x2﹣2x+1＝0，此时Δ＝4﹣4＝0，此方程有两个相等的实数根，故选项A，符合题意；
B、x2+2＝0中Δ＝0﹣8＝﹣8＜0，此时方程无实数根，故选项B，不符合题意；
C、x2﹣2x＝8整理为x2﹣2x﹣8＝0，此时Δ＝4+32＝36＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项，不符合题意；
D、x2﹣3x＝0中，Δ＝9＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D，不符合题意
故选：A．
6． 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，
∴∠CAC'＝∠BAB'
∵∠BAC'＝70°，∠CAB'＝30°，
∴∠CAC'+∠BAB'＝∠BAC'﹣∠CAB'＝70°﹣30°＝40°，
∴∠CAC'＝∠BAB'＝20°；
∴旋转角的度数为20°；
故选：B．
7． 解：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
故选：B．
8． 解：如图所示：
S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，
∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4
即×4×4＝×5×BD，
解得：BD＝．
故选：C．
9． 解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝40°，
故选：A．
10． 解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.5（米）．
故选：B．
11． 解：a＞0时，一次函数y＝a（x﹣1）的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A符合；
a＜0时，一次函数y＝a（x﹣1）的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．
故选：A．
12． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴，
∴△ABC的外接圆直径为13，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为3：1，
∴△ABC与△DEF的面积比为9：1．
故答案为：9：1．
14． 解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得：a1＝1，a2＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15． 解：如图，过点D作DH⊥OA于点H，
∵∠AOB＝90°，∠AHD＝90°，∠OAE＝90°，
∴△AHD∽△AOB，△ODH∽△OEA，
∵C，D为三等分点，
∴AH＝AO，
∵△AOE为等腰直角三角形，
∴AO＝AE，
设E（a，a），
∵＝＝，
∴OH＝AE＝a，
将x＝a代入反比例函数中，得：
y＝，
∴D（a，），
将x＝a代入反比例函数中，得：
y＝，
∴F（a，），
∴S△DEF＝×（a﹣a）×（a﹣）＝，
∵＝，
∴＝，
∴a2＝，
∴S△DEF＝＝＝，
∵S△DEF＝，
∴＝，
∴k＝8．
故答案为：8．
16． 解：该圆锥的侧面积为：×4π×3＝6π．
故答案为：6π．
17． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故答案为：（3，0）．
18． 解：由题意可知，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2t，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，n＜0＜m，
∴3＜2t＜5，
∴＜t＜．
故答案为：＜t＜．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：16（2﹣x）2﹣9＝0
移项得：16（2﹣x）2＝9，
去系数得：，
直接开平方得：，
即或，
解得：，．
20． 解：设该函数解析式为y＝，
得＝6，
解得k＝12，
∴y与x的函数解析式为y＝．
21． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所画的三角形；
（2）如图，△A2B2C2即为所画的三角形；
22． 解：（1）这次调查活动共抽取的人数为：16÷32%＝50（人），
故答案为：50；
（2）“C”等所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）A等级的人数为：50×24%＝12（人）．
补全条形统计图如下：
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率＝＝．
23． 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24． （1）证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AE⊥DC，
由（1）得：∠EAC＝∠OAC，
∴∠ABC＝∠ACE，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，，
∵AB是半径，
∴半径，
即⊙O的半径为．
25． 解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为x＝4，
则，
解得：a＝0.1，
∴抛物线的表达式为y＝0.1x﹣0.8x+3，
∴点A（0，3），即AB＝CD＝3（米），
当x＝4时，y＝0.1x﹣0.8x+3＝1.4，即顶点坐标为（4，1.4），
故答案为：3，（4，1.4）；
（2）设抛物线的表达式为y＝a′（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得3＝a′（0﹣2）2+2，
解得，
∴抛物线的表达式为，
当x＝3时，（米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
26． 解：（1）ME＝MF．理由如下：
如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，则∠MHF＝∠MGE＝90°，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴AM平分∠BAD，
∴MH＝MG，
在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，而∠MHA＝∠MGA＝90°，
∴∠EMF＝∠HMG＝90°，
∴∠FMH＝∠EMG，
在△MHF和△MGE中，
∴△MHF≌△MGE（ASA），
∴MF＝ME，
故答案为：MF＝ME；
（2）ME＝MF．理由如下：
过点M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，连接AM．如图2，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH＝MG．
∵∠NMQ＝∠ABC，
∴∠NMQ+∠BAD＝180°．
又∵∠MHA＝∠MGF＝90°，
∴∠HMG+∠BAD＝180°．
∴∠EMF＝∠HMG．
∴∠EMH＝∠FMG．
∵∠MHE＝∠MGF，
∴△MHE≌△MGF（ASA），
∴ME＝MF．
（3）MF＝2ME．理由如下：
如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，则∠MHE＝∠MGF＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝90°，
在四边形GMHA中，∠GMH＝90°，
又∵∠EMF＝90°，
∴∠HME＝∠GMF，
又∵∠MHE＝∠MGF＝90°，
∴△MHE∽△MGF，
∴＝，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴MG＝BC，MH＝AB，
∴＝＝，
∴MF＝2ME；
（4）ME：MF＝m．理由如下：
如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，则∠MHE＝∠MGF＝90°，
在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，而∠EMF＝∠B，
∴∠A+∠EMF＝180°，
在四边形AGMH中，∠A+∠HMG＝180°，
∴∠EMH＝∠GMF，
又∵∠MHE＝∠MGF＝90°，
∴△MHE∽△MGF，
∴＝，
又∵M是平行四边形ABCD的对称中心，
∴＝＝＝m，
∴ME：MF＝m．
故答案为：m．