第七章　观察、猜想与证明综合检测——2024年北京课改版数学七年级下册精品同步练习

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第七章　素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共24分)1.(2023北京大兴模拟)已知M,N,P,Q四点的位置如图所示,下列结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.∠NOQ=40° B.∠NOP=140°C.∠NOP比∠MOQ大 D.∠MOQ与∠MOP互补2.(2022北京怀柔期末)一副三角板按如图所示的方式摆放,则∠1的补角的度数为(　　)A.45° B.135° C.75° D.165°第2题图第3题图3.(2020浙江金华中考)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b.理由是(　　)A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D.在同一平面内,经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行4.(2023北京石景山期末)下列命题中,真命题为(M7207001)(　　)A.有理数的绝对值是正数B.平行于同一条直线的两条直线平行C.同旁内角互补D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行5.【跨学科·地理】在地理课堂上,老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时,李佳同学使用了如图所示的仪器,则下列四个角中,最可能和∠AOB互补的角为(　　)A　B　C　D6.(2023北京延庆期末)如图,下列条件中能判定BC∥EF的是(　　)①∠1=∠E;②∠2=∠E;③∠B=∠1;④∠E+∠EGC=180°.A.①②③④ B.①②③C.①③④ D.①②④7.(2022北京东城期末)如图,纸片的边缘AB,CD互相平行,将纸片沿EF折叠,使得点B,D分别落在点B',D'处.若∠1=80°,则∠2的度数是(　　)A.50° B.60° C.70° D.80°8.(2023上海浦东新区校级期末)将一副三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起,其中∠A=60°,∠D=30°,∠B=∠E=45°,当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时,如果三角板BCE的直角边与边AD平行,那么∠ACE的度数为(　　)A.30°或60° B.60°或120°C.45°或60° D.30°或120°第8题图　　第10题图二、填空题(每小题3分,共18分)9.(2023北京通州期末)能作为反例说明命题“如果a>-3,那么a2>9”是假命题的a的值可以为　　　　. 10.如图,直线DE经过点C,则∠A的内错角是　　　　,∠A的同旁内角有　　　　　　. 11.(2023北京石景山期末)若一个角是这个角的余角的4倍,则这个角的度数为　　　　. 12.(2023北京密云期末)学习了平行线后,小强同学想出了“过直线外一点画一条已知直线的平行线”的新方法,他的作图步骤如下:老师说小强的作图方法是正确的,其中能够说明两条直线平行的依据是　　　　　　　　. 13.(2023北京西城期末)如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,折叠纸片ABCD,使点D落在AB上的点D1处,点C落在点C1处,折痕为EF.若∠EFC=102°,则∠AED1=　　　　°. 14.(2023北京顺义期末)观察下列各等式:1+2=22-1;1+2+22=23-1;1+2+22+23=24-1;……若1+2+22+…+21 011=21 012-1=a,下面是四名同学计算21 012+21 013+…+22 023得到的不同结果:①22 024-21 011;②22 024-21 012;③a2+1;④a2+a.所以正确结果的序号是　　　　. 三、解答题(共58分)15.(5分)如图,C是线段AB的中点,D,E是线段AB上的两个点,且AD=EB.(M7207001)求证:C是线段DE的中点.完成如下证明:证明:∵C是线段AB的中点(　　　　), ∴　　　　(　　　　　　　　). ∵AD=EB(已知),∴AC-AD=CB-EB(　　　　　　　　), 即DC=CE,∴C是线段DE的中点(　　　　　　　). 16.(2023北京丰台期末)(5分)已知:如图,DM∥AC,EF⊥AB于点F,∠1=∠2.求证:CD⊥AB.完成如下证明.证明:∵DM∥AC,∴∠1=∠DCA(　　　　　　　　　　)(填推理的依据). ∵∠1=∠2,∴∠2=∠DCA.∴　　　∥　　　(　　　　　　　　　　)(填推理的依据). ∴∠EFB=∠　　　　. ∵EF⊥AB,∴∠EFB=　　　　°. ∴∠CDB=90°.∴CD⊥AB.17.(2023北京十三中分校期中)(5分)观察图案和算式,思考其中蕴含的对应关系,并解答问题:1=1×1=1,1+3=2×2=4,1+3+5=3×3=9,1+3+5+7=4×4=16,1+3+5+7+9=5×5=25.(1)1+3+5+7+9+…+19=　　　　. (2)1+3+5+7+9+…+2n-1=　　　　. (3)求和号是数学中常用的符号,用∑表示,例如:∑n=253n+1,其中n=2是下标,5是上标,3n+1是代数式,∑n=253n+1表示n取2到5的连续整数,然后分别代入代数式求和,即∑n=253n+1=3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1=46.结合你在(2)中发现的规律,求出∑n=1252n-1的值,要求写出计算过程.18.(7分)如图所示,直线l1,l2分别与直线l3,l4相交,∠1与∠3互余,∠3的余角与∠2互补,∠4=125°,求∠3的度数.19.(2023北京通州期末)(7分)如图,AE∥CD,∠DAE=∠C.(1)求证:AD∥BC;(2)如果∠CEF=∠B,∠BAE=50°,求∠EFD的度数.20.(7分)如图,B,A,E三点在同一条直线上.现有三个条件:(1)AD∥BC,(2)∠B=∠C,(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件,另一个作为结论,构造一个真命题,并证明.已知:　　　　　　　　　　　　. 求证:　　　　　　　　　　　　. 证明:21.(2023北京西城三帆中学月考)(10分)如图,直线EF上有两点A,C,在直线EF两侧分别引射线AB,CD,使∠BAF=110°,∠DCF=60°.射线AB,CD分别绕点A,点C以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动,设转动时间为t秒,在射线CD转动一周的时间内,当转动时间t的值为多少时,CD与AB平行?22.(12分)已知直线l1∥l2,点A,C分别在l1,l2上,点B在直线l1,l2之间,且∠BCN<∠BAM≤90°.(1)如图1,求证:∠ABC=∠BAM+∠BCN.阅读并将下列推理过程补充完整:证明:过点B作BG∥NC,∵l1∥l2,∴AM∥NC∥　　　(　　　　　　　　　　　　　　　). ∴∠ABG=∠BAM,∠CBG=∠BCN(　　　　　　　　　). ∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=∠BAM+∠BCN.(2)如图2,点D,E在直线l1上,且∠DBC=∠BAM,BE平分∠ABC.求证:∠DEB=∠DBE.(3)在(2)的条件下,如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行,试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系,并说明理由.图1图2备用图答案全解全析1.D　A.由题图可得,∠NOQ=140°,A错误.B.由题图可得,∠NOP=40°,B错误.C.由题图可得,∠NOP=40°,∠MOQ=40°,所以∠NOP与∠MOQ一样大,C错误.D.由题图可得,∠MOQ=40°,∠MOP=140°,所以∠MOQ+∠MOP=180°,即两个角互补,D正确.故选D.2.D　由题意得∠1=45°-30°=15°,∴∠1的补角的度数为180°-∠1=180°-15°=165°.故选D.3.B　由题意得a⊥AB,b⊥AB,∴a∥b(在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行).故选B.4.B　有理数的绝对值不一定是正数,0的绝对值是0,A项是假命题;平行于同一条直线的两条直线平行,B项是真命题;两直线平行,同旁内角互补,C项是假命题;过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,D项是假命题.故选B.5.D　 根据题图可得∠AOB的度数约为135°,∴与∠AOB互补的角的度数约为45°,综合各选项知D符合.故选D.6.D　①∠1与∠E是同位角,由∠1=∠E能判定BC∥EF,故①符合题意;②∠2与∠E是内错角,由∠2=∠E能判定BC∥EF,故②符合题意;③∠B与∠1是同位角,由∠B=∠1能判定AB∥DE,故③不符合题意;④∠E与∠EGC是同旁内角,由∠E+∠EGC=180°,能判定BC∥EF,故④符合题意.故选D.7.A　∵AB∥CD,∴∠AEB'=∠1=80°,∴∠BEB'=180°-∠AEB'=100°,由折叠得∠2=∠FEB'=12∠BEB'=50°.故选A.8.D　分两种情况:如图,当CB∥AD时,∠ACB=180°-∠A=120°,∵∠ECB=90°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=30°.如图,当CE∥AD时,∠ACE=180°-∠A=120°.综上所述,∠ACE的度数为120°或30°,故选D.9.答案　-2(答案不唯一)解析　当a=-2时,a2=4<9,∴“如果a>-3,那么a2>9”是假命题.故答案可以为-2(答案不唯一).10.答案　∠ACD;∠B,∠ACB,∠ACE解析　根据内错角和同旁内角的定义,结合题图直接写出即可.11.答案　72°解析　设这个角的度数为x°,根据题意可知x=4(90-x),解得x=72,则这个角的度数为72°.12.答案　同位角相等,两直线平行13.答案　24解析　∵AD∥BC,∴∠EFC+∠DEF=180°,∵∠EFC=102°,∴∠DEF=78°,由折叠性质可得∠D1EF=∠DEF=78°,∴∠DED1=78°+78°=156°,∴∠AED1=180°-156°=24°.14.答案　②④解析　∵1+2+22+…+21 011=21 012-1=a,∴21 012=a+1,∴21 012+21 013+…+22 023=1+2+22+23+…+22 023-(1+2+22+23+…+21 011)=22 024-1-(21 012-1)=22 024-1-21 012+1=22 024-21 012=(21 012)2-21 012=(a+1)2-(a+1)=a2+2a+1-a-1=a2+a,∴正确结果的序号是②④.15.解析　已知;AC=CB;线段中点的定义;等量减等量,差相等;线段中点的定义.16.解析　∵DM∥AC,∴∠1=∠DCA(两直线平行,内错角相等).∵∠1=∠2,∴∠2=∠DCA.∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行).∴∠EFB=∠CDB.∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°.∴∠CDB=90°.∴CD⊥AB.17.解析　(1)∵1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,……,∴1+3+5+7+9+…+19=19+122=102=100.(2)由(1)知1+3+5+7+9+…+2n-1=2n-1+122=n2.(3)∑n=1252n-1=2×1-1+2×2-1+2×3-1+…+2×25-1=1+3+5+…+49=1+4922=252=625.18.解析　∵∠1与∠3互余,∠3的余角与∠2互补(已知),∴∠1+∠2=180°,∴l1∥l2(同旁内角互补,两直线平行),∴∠3=∠5(两直线平行,内错角相等).∵∠4=125°(已知),∴∠3=∠5=180°-125°=55°.19.解析　(1)证明:∵AE∥CD,∴∠AEB=∠C,∵∠DAE=∠C,∴∠AEB=∠DAE,∴AD∥BC.(2)∵∠CEF=∠B,∴AB∥FE,∴∠AEF=∠BAE=50°,∵AE∥CD,∴∠EFD=180°-∠AEF=130°,∴∠EFD的度数为130°.20.解析　已知:AD∥BC,∠B=∠C.求证:AD平分∠EAC.证明:∵AD∥BC,∴∠B=∠EAD,∠C=∠DAC.∵∠B=∠C,∴∠EAD=∠DAC,即AD平分∠EAC.(答案不唯一)21.解析　由题意可知,0≤t≤60,∴AB一直在直线EF的右侧转动,若满足CD∥AB,则可分2种情况:(1)如图①,当CD在直线EF的左侧时,∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°,∠BAC=110°-t°,要使AB∥CD,则∠ACD=∠BAF,即120°-(6t)°=110°-t°,解得t=2;(2)如图②,当CD在直线EF的右侧时,∠DCF=360°-(6t)°-60°=300°-(6t)°,∠BAC=110°-t°,要使AB∥CD,则∠DCF=∠BAC,即300°-(6t)°=110°-t°,解得t=38.综上所述,当t的值为2或38时,CD与AB平行.图①图②22.解析　(1)过点B作BG∥NC,∵l1∥l2,∴AM∥NC∥BG(平行于同一条直线的两条直线平行).∴∠ABG=∠BAM,∠CBG=∠BCN(两直线平行,内错角相等).∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=∠BAM+∠BCN.(2)证明:如图,过点B作BG∥NC,∵l1∥l2,∴AM∥NC∥BG,∴∠DEB=∠EBG,∠CBG=∠BCN,由(1)知∠ABC=∠BAM+∠BCN.∵∠DBC=∠BAM,∴∠ABC=∠DBC+∠BCN.∵∠ABC=∠ABD+∠DBC.∴∠ABD=∠BCN,∴∠ABD=∠CBG,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠DBE=∠EBG,∴∠DEB=∠DBE.(3)∠BAM=3∠BCN.理由如下:如图:∵BF∥AM,∴∠EBF=∠DEB,∵BF平分∠CBE,∴∠CBF=∠EBF,由(2)知∠DEB=∠DBE,∴∠DBC=∠DBE+∠EBF+∠FBC=3∠FBC,∵CN∥l1,BF∥l1,∴CN∥BF,∴∠FBC=∠BCN,∴∠DBC=3∠BCN,∵∠BAM=∠DBC,∴∠BAM=3∠BCN.