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人教版七年级数学下册同步精讲精练专题期中复习压轴题训练(第五、六、七章)(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题期中复习压轴题训练(第五、六、七章)(原卷版+解析)，共72页。
1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
2．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC
（1）求∠AOE的度数；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；
②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．
3．（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）
5．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
6．【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．
也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
【变式拓展】小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
7．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝ ．
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．
8．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥ （ ）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ ）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．
9．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
10．（2022春•定远县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
11．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
12．（2021春•梁溪区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．
13．（2022春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
第六章 实 数
1．（2022春•平舆县期中）一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A．a+1B．a2+1C．﹣a+1D．a2+1
2．如图，在数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是（ ）
A．2−2B．2−1C．2−2D．1−2
3．（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
4．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③a|a|+b|b|+c|c|=−1；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022秋•天元区校级期末）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简(b−a)2−|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
6．（2022春•聊城期末）观察下列三个等式：①2−25=225；②3−310=3310；③4−417=4417；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式 ．
7．设 x、y 是有理数，且 x，y 满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，求x﹣y的值．
8．（2021春•濮阳县期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若38−y和32y−5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
9．（2021秋•虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
10．（2022春•寻乌县期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
11．（2021春•荔湾区校级期中）（1）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
12．小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
13．（2022春•广信区期末）阅读理解．
∵4＜5＜9，即2＜5＜3．
∴1＜5−1＜2
∴5−1的整数部分为1，
∴5−1的小数部分为5−2．
解决问题：已知a是17−3的整数部分，b是17−3的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（17）2＝17．
14．（2022春•恩施市期末）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−2|+|3﹣a|．
（1）求b的值；
（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．
15．（2022春•青山区校级月考）我们知道2≈1.414，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则可记为2−1”．则：
（1）2+1的整数部分是 ，小数部分可以表示为 ；
（2）已知3+2的小数部分是a，7−3的小数部分为b，那a+b＝ ；
（3）已知11的在整数部分为x，11的小数部分为y，求（y−11）x﹣1的平方根．
16．（2021春•江津区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：
我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[2]＝1．而大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即＜2＞=2−1．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵22＜（7）2＜32；即2＜7＜3，∴[7]＝2，＜7＞=7−2．
请解答
（1）[11]＝ ，＜11＞= ．
（2）如果＜5＞=a，[41]＝b，求a+b−5的平方根．
（3）求[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]的值．
17．（2021春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]=3，[10]=3．
（1）仿照以上方法计算：[4]= ；[26]= ．
（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10]=3→[3]=1，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
第七章平面直角坐标系
1．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝2．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知点A（a，0）、B（b，0），且a+4+|b﹣2|＝0．
（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的12？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（4，5）、C（﹣2，﹣1）．
（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C，求△ABC的面积；
（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由．y轴上存在点Q，使△ACQ的面积为4吗？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为y′轴，向上的方向为y′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
5．（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+b−3=0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022春•石嘴山校级期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足4−a+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：①直接写出点C的坐标：C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上．
①用含m，n的式子表示三角形AOH的面积；
②求证：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
7．（2021春•崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD=23（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式a−3+（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ ， ）、D（ ， ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分
∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，∠MCN∠AQC的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值．
9．（2022春•随县期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0
（1）求a，b的值．
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=12S△ABC，求点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使S△COM=12S△ABC仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，
OF⊥OE．当点P运动时，∠OPD∠DOE的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=3−b+b−3−1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO的值是否发生变化，并说明理由．
11．（2022春•仓山区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（0，a），B（b，a）．且a、b满足（a+b﹣6）2+b−a−2=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接AC，BD，AB，BC．
（1）求点C，D的坐标及三角形BCD面积；
（2）若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2，∠3的数量关系？并说明理由；
（3）在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究∠OCM∠ACN的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
专题 七年级下册数学期中复习压轴题训练
（ 第五、六、七章 ）
第五章相交线与平行线
1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
【分析】（1）首先根据垂直定义可得∠AOE＝∠DOF＝90°，然后再证明∠EOD＝∠AOF，根据补角定义可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）根据角平分线定义可得∠POC＝∠POB，再根据条件∠POC：∠EOC＝2：5，可得∠COP的度数，然后即可算出∠BOF的度数；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，分两种情况：①当OM在AB的上方时，如图1，②当OM在AB的下方时，如图2，根据∠COM，∠AOC和∠AOM的关系列方程可解答．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴∠EOA+∠AOD＝∠DOF+∠AOD，
即：∠EOD＝∠AOF，
∵∠EOC+∠EOD＝180°，
∴∠AOF+∠EOC＝180°，
∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠POC＝∠POB，
∵∠POC：∠EOC＝2：5，
∴∠POC＝90°×22+2+5=20°，
∴∠POB＝20°，
∵∠COF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣20°﹣20°＝50°；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，
分两种情况：
①当OM在AB的上方时，如图1，
∵∠AOC＝∠AOM+∠COM，
∴x+6x＝180﹣40，
x＝20°，
∴∠AOM＝20°，
②当OM在AB的下方时，如图2，
∠COM﹣∠AOM＝∠AOC，
∴6x﹣x＝180﹣40，
x＝28°，
∴∠AOM＝20°，
综上，∠AOM的度数为20°或28°．
【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．
2．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC
（1）求∠AOE的度数；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；
②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）①根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可得结论；
②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，根据α＝∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE可得结论；
当OF在∠BOD的内部时，如图3，根据周角与∠AOF和∠AOE的差可得结论．
【解答】解：（1）∵∠AOE=23∠EOC，即∠AOE：∠EOC＝2：3．
∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，
∴∠AOC＝5x，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，
∴5x＝75°，
解得：x＝15°，
则2x＝30°，
∴∠AOE＝30°；
（2）①∵∠AOE＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF＝75°，
∵∠BOD＝75°，
∴∠DOF＝75°+75°＝150°；
②分两种情况：
当OF在∠BOC的内部时，如图2，
∵∠AOF＝120°，∠AOE＝30°，
∴α＝∠EOF＝120°﹣30°＝90°，
当OF在∠BOD的内部时，如图3，
∴α＝360°﹣∠AOF﹣∠AOE＝360°﹣120°﹣30°＝210°，
综上所述，α的度数为90°或210°．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键，并注意分类讨论的思想．
3．（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）根据互补线解答即可；
（2）根据射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，得到∠BOC+∠BOE＝180°，再有等量代换得出∠AOC＝∠BOE，求出∠DOA的度数，再由∠DOE＝180°﹣∠COE求得即可；
（3）根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵射线OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）∵射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
∴∠BOC+∠BOE＝180°，
又∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝∠BOE，
∵∠AOC+∠DOA＝180°，且∠DOA＝136°，
∴∠AOC＝180°﹣∠DOA＝180°﹣136°＝44°，
∴∠BOC＝44°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝180°﹣44°﹣44°＝92°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE，
＝180°﹣92°，
＝88°；
（3）∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°
∵射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOC，∠BOF＝∠FOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOF+∠FOC+∠AOE+∠EOC＝180°，
∵2∠BOF+2∠EOC＝180°，
∴∠BOF+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠EOB+∠BOF+∠FOC，
∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠FOC＝90°，
∴2∠BOF+∠EOB+∠FOC＝90°，
∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠BOF＝90°，
∴2∠BOF＝∠BOC，∠EOB+∠BOF＝∠EOF，
∴∠BOC+∠EOF＝90°，
∴∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，正确的找出个角之间的关系是解题的关键．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）
【分析】（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE求解．
（2）利用角平分线定义得出∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，进而表示出各角求出答案．
（3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，则∠COA＝2x，∠BOF＝90°−32x，根据|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，得到方程|2x﹣（90°−32x）|＝α°，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC＝76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=12×76°＝38°．
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣38°＝142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=12∠COE=12×142°＝71°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝71°﹣38°＝33°．
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，
∴设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，
故∠COA＝2x，∠EOF＝∠COF＝x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF＝2x+x+36°+36°＝180°，
解得：x＝36°，
故∠AOC＝72°．
（3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，
则∠COA＝2x，∠BOF＝90°−32x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，
∴|2x﹣（90°−32x）|＝α°，
解得：x＝（1807）°+27α°或x＝（1807）°−27α°，
当x＝（1807）°+27α°时，
∠AOC＝2x＝（3607）°+47α°，
∠BOF＝90°−32x＝（3607）°−37α°；
当x＝（1807）°−27α°时，
∠AOC＝2x＝（3607）°−47α°，
∠BOF＝90°−32x＝（3607）°+37α°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
5．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，
∴OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF＝45°．
故答案为：45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
6．【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．
也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
【变式拓展】小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
【分析】（1）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；
（2）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；
（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，
【解答】解：（1）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−12∠AOC
=12（a°+90°）−12a°=12×90°=45°；
（2）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−12∠AOC
=12（a°+m°）−12a°=m°2，
故答案为：m2°；
（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，
设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝a°﹣m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOC−12∠AOB
=12a°−12（a°﹣m°）=m°2；
②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，
∠BOC＝∠AOC＝m°，
∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD=12∠AOC+12∠AOB=12∠BOC＝180°−m°2；
③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，
由②得，∠BOC＝m°，
∠DOE=12∠AOC+12∠AOB=12∠BOC=m°2；
综上所述，∠DOE=m°2或180°−m°2．
【点评】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC＝a°，然后在计算中消掉a．
7．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝ ．
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．
【分析】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；
（3）根据平角等于180°求出即可；
（4）分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠BOC＝50°，
∴∠COE＝40°；
故答案为：40°．
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE=12∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，
∴5x＝40，
∴x＝8，
即∠COD＝8°
∴∠BOD＝58°．
（4）如图，
分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，
5t＝140，
t＝28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，
5t＝320，
t＝64．
所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．
综上所述，t的值为28或64．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
8．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥ （ ）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ ）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AM∥BG，再根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点B作BG∥NC，根据l1∥l2，可得AM∥BG，所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，结合（1）即可进行证明；
（3）根据∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，可得∠EBF＝∠DEB，根据BF平分∠CBE，可得∠CBF＝∠EBF，结合（2）可得∠DBC＝3∠FBC，中根据平行线的性质即可得结论．
【解答】（1）解：如图①，过点B作BG∥MC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG（平行于同一条直线的两条直线平行）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（两直线平行，内错角相等）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
故答案为：BG，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；
（2）证明：如图②，过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG，
所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，
由（1）知：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
又∠DBC＝∠BAM，
所以∠ABC＝∠DBC+∠BCN．
因为∠ABC＝∠ABD+∠DBC．
所以∠ABD＝∠BCN，
所以∠ABD＝∠CBG，
因为BE平分∠ABC．
所以∠ABE＝∠EBC，
所以∠DBE＝∠EBG，
所以∠DEB＝∠DBE；
（3）解：∠BAM＝3∠BCN，理由如下：
因为∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，
所以∠EBF＝∠DEB，
因为BF平分∠CBE，
所以∠CBF＝∠EBF，
由（2）知：∠DEB＝∠DBE，
所以∠DBC＝3∠FBC，
因为CN∥l1，
所以CN∥BF，
所以∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，
而∠BAM＝∠DBC，
所以∠BAM＝3∠BCN．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
9．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠M，∠A与∠C的数量关系．
【解答】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∵∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠M+∠A+∠C＝360°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
10．（2022春•定远县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
11．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE=12（180°﹣∠NQE）=12（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF=12∠AMP，理由如下：
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，
∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，
∴∠QEN＝∠PNE，
∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，
∴∠QNE=12（180°﹣∠NQE）=12（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α−12（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+32α
=12α
=12∠AMP．
∴∠NEF=12∠AMP．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
12．（2021春•梁溪区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；
（2）过点E作EP∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EP，设∠FAB＝α，∠CFH＝β，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）延长DC至点Q，过点M作MN∥AB，结合（2）问可得∠EAF+∠GMH的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠B＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点E作EP∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP，
∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，
∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，
∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，
即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF＝∠FAB=12∠EAB，
∵FH是∠CFG的平分线，
∴∠CFH＝∠HFG=12∠CFG，
∵CD∥AB，
∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，
设∠FAB＝α，∠CFH＝β，
∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，
∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB∥CD，
∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，
∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，
∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，
∴∠ECF＝∠CFG，
由（2）问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，
∴∠AEC＝2∠AFH，
∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，
∴∠AFH＝20°，
由（2）问知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM＝90°，
∴∠GHM＝90°﹣β，
过点M作MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，
∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，
由（2）问知：∠EAF＝∠FAB，
∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，
∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，
∴∠EAF+∠GMH＝70°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
13．（2022春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=12∠ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴12∠ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3=12∠EDF，
∴12∠ABE+∠β=12∠EDF，
∴∠β=12（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）
解得∠α＝100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK=12∠EBK，
∠CDN＝∠EDN=12∠CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN=12∠CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
=12∠EBK−12∠CDE
=12（∠EBK﹣∠CDE）
=12×80°
＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
第六章 实 数
1．（2022春•平舆县期中）一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A．a+1B．a2+1C．﹣a+1D．a2+1
【分析】根据乘方运算，可得被开方数，再根据开方运算，可得答案．
【解答】解：一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是a2+1，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．
2．如图，在数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是（ ）
A．2−2B．2−1C．2−2D．1−2
【分析】首先根据数轴上1，2的对应点分别是点A和点B可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．
【解答】解：∵数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，
∴AB=2−1，
∵A是线段BC的中点，
∴CA＝AB，
∴点C的坐标为：1﹣（2−1）＝2−2．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
3．（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
【分析】根据运算规则即可求解．
【解答】解：①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③a|a|+b|b|+c|c|=−1；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③a|a|+b|b|+c|c|=1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．（2022秋•天元区校级期末）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简(b−a)2−|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
【分析】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可．
【解答】解：∵c＜b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．
故答案为：0．
【点评】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数．
6．（2022春•聊城期末）观察下列三个等式：①2−25=225；②3−310=3310；③4−417=4417；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式 ．
【分析】观察已知的三个等式，找出三个等式中体现的规律，根据规律写出用n表示的等式．
【解答】解：观察这三个等式：①2−25=225；②3−310=3310；③4−417=4417，
∴n为正整数且n≥2时，n−nn2+1=nnn2+1．
故答案为：n−nn2+1=nnn2+1．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键．
7．设 x、y 是有理数，且 x，y 满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，求x﹣y的值．
【分析】根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得x﹣y的值．
【解答】解：∵x、y 是有理数，且 x，y 满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，
∴x2+2y=17y=−4，
解得，x=5y=−4或x=−5y=−4，
∴当x＝5，y＝﹣4时，x﹣y＝5﹣（﹣4）＝9，
当x＝﹣5，y＝﹣4时，原式＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1．
【点评】本题考查实数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的x、y的值．
8．（2021春•濮阳县期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若38−y和32y−5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
【分析】（1）任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如32和3−2，35和3−5；
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．
【解答】解：（1）如32+3−2=0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2）∵38−y和32y−5互为相反数，
∴38−y+32y−5=0，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x＝﹣5，
∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的立方根是﹣2．
【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
9．（2021秋•虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．
【解答】解：由题意，有2a−1=93a+2b+4=27，
解得a=5b=4．
∴±a+b=±5+4=±3．
故a+b的平方根为±3．
【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
10．（2022春•寻乌县期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是13的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝16，
3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
11．（2021春•荔湾区校级期中）（1）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
【分析】（1）先根据数轴上点的位置确定出a、b、c的符号，再利用绝对值性质和平方根的性质a2=|a|求解可得；
（2）根据平方根、立方根的意义求出a、b，即可解决问题．
【解答】解：（1）由数轴得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．
∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．
（2）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，
∴2a﹣1＝9，3a+2b+4＝27，
∴a＝5，b＝4，
∴a+b＝9，
∴9的平方根为±3．
【点评】本题考查平方根的定义和性质，立方根的定义和性质，绝对值性质和平方根的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
12．小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【分析】根据长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，可求出长、宽，再根据正方形的面积求出边长，最后比较长方形的长与正方形的边长的大小关系，得出答案．
【解答】解：∵正方体的面积为324cm2，
∴正方形的边长为324=18cm，
又∵长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，
∴长方形的长为610cm，宽为410cm，
∵3＜10＜4，
∴610＞18，
∴不能裁出来，
故不同意小明的说法，这块纸片裁不出符合要求的纸片．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是解决问题的前提．
13．（2022春•广信区期末）阅读理解．
∵4＜5＜9，即2＜5＜3．
∴1＜5−1＜2
∴5−1的整数部分为1，
∴5−1的小数部分为5−2．
解决问题：已知a是17−3的整数部分，b是17−3的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（17）2＝17．
【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值，
（2）根据开平方运算，可得平方根．
【解答】解：（1）∴16＜17＜25，
∴4＜17＜5，
∴1＜17−3＜2，
∴a＝1，b=17−4；
（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（17−4+4）2＝﹣1+17＝16，
∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±16=±4．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜17＜5是解题关键．
14．（2022春•恩施市期末）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−2|+|3﹣a|．
（1）求b的值；
（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．
【分析】（1）根据A点在数轴上的位置，可以知道2＜a＜3，根据a的范围去绝对值化简即可；
（2）先求出b+2，得到它的整数部分，用b+2减去整数部分就是小数部分，从而求出m；同理可求出n．然后求出2m+2n+1，再求平方根．
【解答】解：（1）由图可知：2＜a＜3，
∴a−2＞0，3﹣a＞0，
∴b＝a−2+3﹣a
＝3−2；
（2）∵b+2＝3−2+2＝5−2，
∴b+2的整数部分是3，
∴m＝5−2−3＝2−2．
∵8﹣b＝8﹣（3−2）＝8﹣3+2=5+2，
∴8﹣b的整数部分是6，
∴n＝5+2−6=2−1．
∴2m+2n+1＝2（m+n）+1＝2×（2−2+2−1）+1＝3，
∴2m+2n+1的平方根为±3．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，考核学生的运算能力，解题时注意一个正数的平方根有两个．
15．（2022春•青山区校级月考）我们知道2≈1.414，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则可记为2−1”．则：
（1）2+1的整数部分是 ，小数部分可以表示为 ；
（2）已知3+2的小数部分是a，7−3的小数部分为b，那a+b＝ ；
（3）已知11的在整数部分为x，11的小数部分为y，求（y−11）x﹣1的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数2的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+2，7−3的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数11的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵1＜2＜2，
∴2＜1+2＜3，
∴1+2的整数部分为2，小数部分为1+2−2=2−1，
故答案为：2，2−1；
（2）∵1＜3＜2，
∴3＜3+2＜4，
∴3+2的整数部分为3，小数部分为3+2﹣3=3−1，
即a=3−1，
∵1＜3＜2，
∴﹣2＜−3＜−1，
∴5＜7−3＜6，
∴7−3的整数部分为5，小数部分为7−3−5＝2−3，
即b＝2−3，
∴a+b=3−1+2−3
＝1，
故答案为：1；
（3）∵3＜11＜4，
∴11的整数部分x＝3，小数部分y=11−3，
∴（y−11）x﹣1＝（﹣3）2＝9，
∴（y−11）x﹣1的平方根为±9=±3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
16．（2021春•江津区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：
我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[2]＝1．而大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即＜2＞=2−1．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵22＜（7）2＜32；即2＜7＜3，∴[7]＝2，＜7＞=7−2．
请解答
（1）[11]＝ ，＜11＞= ．
（2）如果＜5＞=a，[41]＝b，求a+b−5的平方根．
（3）求[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]的值．
【分析】（1）先估算出11的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；
（2）先估算出5，41的范围，得出a和b的值；
（3）计算出整数部分为1、2、3……的二次根式的个数是关键．
【解答】解：（1）∵32＜(11)2＜42，
∴3＜11＜4，
∴[11]＝3，＜11＞=11−3，
故答案为：3，11−3，
（2）∵＜5＞=5−2，
∴a=5−2，
∵62＜(41)2＜72，
∴6＜41＜7，
∴41=6=b，
∴a+b−5=5−2+6−5=4，
∴4的平方根是±2，
∴a+b−5的平方根是±2，
（3）∵32﹣22＝5，42﹣32＝7，
52﹣42＝9，62﹣52＝11，
∴[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]
＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7
＝210．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，能估算出无理数的大小是解本题的关键．
17．（2021春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]=3，[10]=3．
（1）仿照以上方法计算：[4]= ；[26]= ．
（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10]=3→[3]=1，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【分析】（1）先估算4和26的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴5＜26＜6，
∴[4]=[2]＝2，[26]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且[x]=1，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[100]＝10，
第二次：[10]＝3，
第三次：[3]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[255]＝15，[15]＝3，[3]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[256]＝16，[16]＝4，[4]＝2，[2]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
第七章平面直角坐标系
1．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝2．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为点A与点B都在x轴上，所以到点A的距离为2的点有两个．
（2）点A、B共线，故：S△ABC=12×AB×4．
（3）设存在一点P（0，y），则由S△ABP=12•AB•|y|＝7分析求解．
【解答】解：（1）如下图所示：
△AB′C或△AB″C是所求作的三角形．
由图形可知：点B的坐标为（﹣3，0）或（1，0）．
（2）S△ABC=12•AB•CB′=12×2×4=4，
即：△ABC的面积为4．
（3）设存在一个点P（0，y），使得使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，
则：S△ABP=12•AB•|y|＝7
即：12×2×|y|＝7
解之得：y＝±7
所以，点P的坐标为（0，7）或（0，﹣7），其中，x为任意一个实数．
即：存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，其中点P的坐标为（0，7）或（0，﹣7）．
【点评】本题考查了坐标与图象的性质，解题的关键是了解并掌握坐标系中点的位置与坐标特征．
2．已知点A（a，0）、B（b，0），且a+4+|b﹣2|＝0．
（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的12？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；
（2）由A（﹣4，0）、B（2，0），得到AB＝6，根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到即可；
（3）根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0，
∴a+4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣4，b＝2；
（2）如图1，
∵A（﹣4，0）、B（2，0），
∴AB＝6，
∵三角形ABC的面积是15，
∴12AB•OC＝15，
∴OC＝5，
∴C（0，5）；
（3）存在，如图2，
∵三角形ABC的面积是15，
∴S△ACD=12CD•OC＝15，
∴12CD×5=12×15，
∴CD＝3，
∴D（3，5）或（﹣3，5）．
【点评】本题考查了坐标于图形的性质，非负数的性质，三角形的面积，正确的作出图形是解题的关键．
3．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）得出b的值后代入解答即可；
（2）根据三角形的面积公式得出点C的坐标即可；
（3）根据△PBC的面积等于△ABC的面积的一半得出OP解答即可．
【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1，
∴A（﹣3，0），
B（0，4），
（2）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵△ABC的面积为12，S△ABC=12BC⋅OA=12×3×BC=12，
∴BC＝8，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4）；
（3）存在，
∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4），
∴BC上的高OP为32，
∴点P的坐标（32，0）或（−32，0）．
【点评】本题主要考查坐标与图形，关键是根据三角形的面积公式解答．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（4，5）、C（﹣2，﹣1）．
（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C，求△ABC的面积；
（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由．y轴上存在点Q，使△ACQ的面积为4吗？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为y′轴，向上的方向为y′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
【分析】（1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置可描出点A、B、C，把AC当作底，点B到AC的距离当作高，根据三角形的面积公式计算即可得出△ABC的面积；
（2）设AC与x轴交于点M，则M（﹣2，0）．根据△ACP的面积为4，求出PM=83，进而求得点P的坐标；由于y轴上任意一点与AC的距离都是2，根据三角形的面积公式得出：当点Q在y轴上时，△ACQ的面积=12×3×2＝3≠4，即可说明y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4；
（3）根据条件画出新的直角坐标系，即可写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
∵A（﹣2，2）、B（4，5）、C（﹣2，﹣1），
∴△ABC的面积=12×3×6＝9；
（2）x轴上存在点P，使△ACP的面积为4．理由如下：
设AC与x轴交于点M，则M（﹣2，0）．
∵△ACP的面积为4，
∴12AC•PM=12×3×PM＝4，
∴PM=83，
∴点P的坐标为（−143，0）或（23，0）；
y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4．理由如下：
∵AC∥y轴，y轴上任意一点与AC的距离都是2，
∴当点Q在y轴上时，△ACQ的面积=12×3×2＝3≠4，
∴y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4；
（3）如图所示：
在新的直角坐标系中，点B的坐标为（6，3），点C的坐标为（0，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确作图，利用数形结合的思想．
5．（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+b−3=0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由非负数的性质可求得结论；
（2）由P到线段A0的距离为|m|，由三角形的面积公式可求得结论；
（3）根据△AOP的面积与△ABC的面积相等激发出即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+b−3=0，
∴a＝2，b＝3，
∵|c﹣4|≤0，
∴c＝4；
（2）由（1）得A（0，2），
∵点P（m，1）在第二象限，
∴P到线段AO的距离为|m|，
∴S△AOP=12×2•|m|＝|m|，
∵m＜0，
∴S△AOP＝﹣m；
（3）存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等，
理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4），
∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3，
∴S△ABC=12×3×4＝6，
∵△AOP的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣m＝6，解得m＝﹣6，
∴存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，三角形的面积，熟练掌握各性质是解题的关键．
6．（2022春•石嘴山校级期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足4−a+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：①直接写出点C的坐标：C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上．
①用含m，n的式子表示三角形AOH的面积；
②求证：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b即可；
②利用三角形面积公式求解；
（2）①根据S△AOH＝S△ADH+S△ODH，求解即可；
②利用面积法证明；
（3）分两种情形，分别构建方程求解即可．
【解答】（1）①解：∵4−a+（b﹣3）2＝0，
又∵4−a≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∴A（1，4），B（3，0），
∴C（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）；
②S△AOH=12×1×4＝2；
故答案为：2；
（2）①解：如图1中，连接DH，
∴S△AOH＝S△ADH+S△ODH=12×1×n+12×4×（1﹣m）=12n+2﹣2m；
②证明：∴S△AOH＝2，
∴2=12n+2﹣2m，
∴4m＝n；
（3）当点P在y轴的右侧时，12×（3﹣2t）×4=12×t×2，
解得，t=65．此时P（35，0）．
当点P在y轴的左侧时，12×（2t﹣3）×4=12×t×2，
解得，t＝2，此时P（﹣1，0）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．（2021春•崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD=23（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD＝7（S△BCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用S△PCDS△BCD=23，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，
∴a＝﹣5，b＝4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，
∴C（0，2+y），D（﹣2，y），
连接OD，
S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD
=12OB×OC+12OC×2−12OB×y＝7，
∴y＝2，
∴C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），
∴PC＝|4﹣m|，
∵S△PCDS△BCD=23，
∴12|4﹣m|×2=23×7，
∴|4﹣m|=143，
∴m=−23或m=263，
∴存在点P，其坐标为（0，−23）或（0，263）．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，解本题的关键是平移性质的灵活运用，用面积关系建立方程．
8．如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式a−3+（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ ， ）、D（ ， ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，∠MCN∠AQC的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值．
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．利用平行线的性质求解即可；
（3）结论：∠CQA＝2∠MCN．设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，理由平行线的性质、角平分线的定义，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵a−3+（a+b﹣7）2＝0，
又∵a−3≥0．（a+b﹣7）2≥0，
∴a＝3．b＝4，
∴A（3，0），B（0，4），D（﹣2，1），
故答案为3，0，﹣2，1．
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．
理由：如图1中，延长DE交CA的延长线于T．
∵DE⊥y轴，
∴DT∥OG，
∴∠T+∠OAT＝180°，
∵BD∥CT，
∴∠D＝∠T，
∵∠CAG＝∠OAT，
∴∠BDE+∠CAG＝180°．
（3）如图2中，结论：∠CQA＝2∠MCN．
理由：设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，
∵CF∥AQ，
∴∠FCQ＝∠CQA＝y，
∵∠ACM＝∠QCM＝z，
∴∠QCN＝z﹣x，
∵∠FCN＝∠ACN，
∴y+（z﹣x）＝x+z，
∴y＝2x，即∠CQA＝2∠MCN．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9．（2022春•随县期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0
（1）求a，b的值．
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=12S△ABC，求点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使S△COM=12S△ABC仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，
OF⊥OE．当点P运动时，∠OPD∠DOE的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求解；
（2）①利用面积公式求解；
②分类讨论，结合面积公式求解；
（3）利用平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质及外角定理求解．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
（2）①设M（0，m）（a＞），
由题意得：0.5m•1＝0.5×0.5×（2+3）×2，
解得：m＝5，
∴M（0，5）；
②当M 在y轴的负半轴上时，0.5（﹣m）•1＝0.5×0.5×（2+3）×2，
m＝﹣5，
M（0，﹣5）；
当M在横轴上时，设M（n，0），
则：0.5×|n|×2＝0.5×0.5×（2+3）×2，
解得：n＝±2.5，
∴M（±2.5，0），
所以M（2.5，0）或M（﹣2.5，0）或M（0，﹣5）；
（3）∠OPD∠DOE=2，
理由：∵∠EOF＝90°，∠ODE＝90°，
∴∠OED+∠EFO＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，∠AOE+∠FOB＝90°，∠EOP+∠POF＝90°，
∴∠EOD＝∠EFO，
∵OE平分∠AOP，EF∥AB，
∴∠AOE＝∠EOP，∠OFE＝∠FOB，
∴∠FOP＝∠FOB＝∠OFP，
∵∠OPD＝∠PFO+∠POF＝2∠OFP＝2∠DOE，
∴∠OPD∠DOE=2．
【点评】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质及外角定理，是一道综合性极强的题．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=3−b+b−3−1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO的值是否发生变化，并说明理由．
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形的面积公式列出方程求出OP，再分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，然后求出∠CPO＝∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变．
【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b＝3，
a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∴S四边形ABDC＝4×2＝8；
（2）∵S△PAB＝S四边形ABDC，
∴12×4•OP＝8，
解得OP＝4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）∠DCP+∠BOP∠CPO=1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴∠DCP+∠BOP∠CPO=1，比值不变．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，以及非负数的性质，熟记各性质是解题的关键．
11．（2022春•仓山区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（0，a），B（b，a）．且a、b满足（a+b﹣6）2+b−a−2=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接AC，BD，AB，BC．
（1）求点C，D的坐标及三角形BCD面积；
（2）若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2，∠3的数量关系？并说明理由；
（3）在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，可得点A，点B坐标，由平移的性质可得C（﹣1，0），D（3，0），由三角形面积公式可求解；
（2）由平行线的性质和外角的性质可得∠1＝∠2+∠3；
（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵（a+b﹣6）2+b−a−2=0，
∴a＝2，b＝4，
∴A（0，2），B（4，2），
∵将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．
∴C（﹣1，0），D（3，0）．AB∥CD，AB＝CD＝4，
∴S△BCD=12×CD×OA=12×4×2＝4；
（2）∠1＝∠2+∠3，
理由如下：如图，设BE与CD交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CHE，
∵∠CHE＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠2+∠3；
（3）∵三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54，
∴△BMD的面积=54×4＝5，
当点M在x轴正半轴上时，设点M（m，0），
∴S△BMD=12×DM×AO＝5，
∴2DM＝10，
∴DM＝5，且点D（3，0），
∴点M（8，0）或点M（﹣2，0）（不合题意舍去），
当点M在y轴正半轴上时，设点M（0，n），
如图，点M在线段OA上时，
∵S△BMD＝S梯形AODB﹣S△ABM﹣S△MOD＝5
∴(3+4)×22−12×3×n−12×4×（2﹣n）＝5，
∴n＝4（不合题意舍去），
如图，点M在线段OA的延长线上，
∵S△BMD＝S梯形AODB+S△ABM﹣S△MOD＝5
∴(3+4)×22+12×4×（n﹣2）−12×3×n＝5，
∴n＝4，
∴点M（0，4），
综上所述：当点M（0，4）或（8，0）时，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负性，平移的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究∠OCM∠ACN的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
【分析】（1）根据非负数的性质可得a和b的值，
（2）根据角平分线的定义可得∠OBP＝∠CBQ，再根据三角形的内角和定理可得∠BPO＝∠CQP，最后由对顶角相等和等量代换可得结论，
（3）设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，分别求出∠OCM，∠ACN即可求解．
【解答】（1）解：如图1中，
∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）证明：如图2中，
∵BQ平分∠CBA，
∴∠OBP＝∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BOP＝∠BCQ＝90°，
∴∠BPO＝∠CQP，
∵∠CPQ＝∠BPO，
∴∠CQP＝∠CPQ；
（3）解：如图3，结论：定值=12．
理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，
∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y，
∵CM平分∠ACB，
∴∠MCB=12（180°﹣x﹣y），
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCF＝x，
∴∠BCO＝90°﹣x，
∴∠OCM=12（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）=x−y2
∴∠OCM∠ACN=12．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．
1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
2．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC
（1）求∠AOE的度数；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；
②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．
3．（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）
5．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
6．【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．
也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
【变式拓展】小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
7．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝ ．
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．
8．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥ （ ）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ ）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．
9．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
10．（2022春•定远县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
11．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
12．（2021春•梁溪区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．
13．（2022春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
第六章 实 数
1．（2022春•平舆县期中）一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A．a+1B．a2+1C．﹣a+1D．a2+1
2．如图，在数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是（ ）
A．2−2B．2−1C．2−2D．1−2
3．（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
4．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③a|a|+b|b|+c|c|=−1；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022秋•天元区校级期末）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简(b−a)2−|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
6．（2022春•聊城期末）观察下列三个等式：①2−25=225；②3−310=3310；③4−417=4417；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式 ．
7．设 x、y 是有理数，且 x，y 满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，求x﹣y的值．
8．（2021春•濮阳县期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若38−y和32y−5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
9．（2021秋•虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
10．（2022春•寻乌县期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
11．（2021春•荔湾区校级期中）（1）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
12．小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
13．（2022春•广信区期末）阅读理解．
∵4＜5＜9，即2＜5＜3．
∴1＜5−1＜2
∴5−1的整数部分为1，
∴5−1的小数部分为5−2．
解决问题：已知a是17−3的整数部分，b是17−3的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（17）2＝17．
14．（2022春•恩施市期末）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−2|+|3﹣a|．
（1）求b的值；
（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．
15．（2022春•青山区校级月考）我们知道2≈1.414，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则可记为2−1”．则：
（1）2+1的整数部分是 ，小数部分可以表示为 ；
（2）已知3+2的小数部分是a，7−3的小数部分为b，那a+b＝ ；
（3）已知11的在整数部分为x，11的小数部分为y，求（y−11）x﹣1的平方根．
16．（2021春•江津区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：
我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[2]＝1．而大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即＜2＞=2−1．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵22＜（7）2＜32；即2＜7＜3，∴[7]＝2，＜7＞=7−2．
请解答
（1）[11]＝ ，＜11＞= ．
（2）如果＜5＞=a，[41]＝b，求a+b−5的平方根．
（3）求[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]的值．
17．（2021春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]=3，[10]=3．
（1）仿照以上方法计算：[4]= ；[26]= ．
（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10]=3→[3]=1，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
第七章平面直角坐标系
1．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝2．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知点A（a，0）、B（b，0），且a+4+|b﹣2|＝0．
（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的12？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（4，5）、C（﹣2，﹣1）．
（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C，求△ABC的面积；
（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由．y轴上存在点Q，使△ACQ的面积为4吗？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为y′轴，向上的方向为y′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
5．（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+b−3=0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022春•石嘴山校级期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足4−a+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：①直接写出点C的坐标：C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上．
①用含m，n的式子表示三角形AOH的面积；
②求证：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
7．（2021春•崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD=23（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式a−3+（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ ， ）、D（ ， ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分
∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，∠MCN∠AQC的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值．
9．（2022春•随县期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0
（1）求a，b的值．
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=12S△ABC，求点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使S△COM=12S△ABC仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，
OF⊥OE．当点P运动时，∠OPD∠DOE的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=3−b+b−3−1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO的值是否发生变化，并说明理由．
11．（2022春•仓山区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（0，a），B（b，a）．且a、b满足（a+b﹣6）2+b−a−2=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接AC，BD，AB，BC．
（1）求点C，D的坐标及三角形BCD面积；
（2）若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2，∠3的数量关系？并说明理由；
（3）在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究∠OCM∠ACN的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
专题 七年级下册数学期中复习压轴题训练
（ 第五、六、七章 ）
第五章相交线与平行线
1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．
（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．
【分析】（1）首先根据垂直定义可得∠AOE＝∠DOF＝90°，然后再证明∠EOD＝∠AOF，根据补角定义可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）根据角平分线定义可得∠POC＝∠POB，再根据条件∠POC：∠EOC＝2：5，可得∠COP的度数，然后即可算出∠BOF的度数；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，分两种情况：①当OM在AB的上方时，如图1，②当OM在AB的下方时，如图2，根据∠COM，∠AOC和∠AOM的关系列方程可解答．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴∠EOA+∠AOD＝∠DOF+∠AOD，
即：∠EOD＝∠AOF，
∵∠EOC+∠EOD＝180°，
∴∠AOF+∠EOC＝180°，
∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）∵OP是∠BOC的平分线，
∴∠POC＝∠POB，
∵∠POC：∠EOC＝2：5，
∴∠POC＝90°×22+2+5=20°，
∴∠POB＝20°，
∵∠COF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣20°﹣20°＝50°；
（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，
分两种情况：
①当OM在AB的上方时，如图1，
∵∠AOC＝∠AOM+∠COM，
∴x+6x＝180﹣40，
x＝20°，
∴∠AOM＝20°，
②当OM在AB的下方时，如图2，
∠COM﹣∠AOM＝∠AOC，
∴6x﹣x＝180﹣40，
x＝28°，
∴∠AOM＝20°，
综上，∠AOM的度数为20°或28°．
【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．
2．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC
（1）求∠AOE的度数；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；
②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）①根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可得结论；
②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，根据α＝∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE可得结论；
当OF在∠BOD的内部时，如图3，根据周角与∠AOF和∠AOE的差可得结论．
【解答】解：（1）∵∠AOE=23∠EOC，即∠AOE：∠EOC＝2：3．
∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，
∴∠AOC＝5x，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，
∴5x＝75°，
解得：x＝15°，
则2x＝30°，
∴∠AOE＝30°；
（2）①∵∠AOE＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF＝75°，
∵∠BOD＝75°，
∴∠DOF＝75°+75°＝150°；
②分两种情况：
当OF在∠BOC的内部时，如图2，
∵∠AOF＝120°，∠AOE＝30°，
∴α＝∠EOF＝120°﹣30°＝90°，
当OF在∠BOD的内部时，如图3，
∴α＝360°﹣∠AOF﹣∠AOE＝360°﹣120°﹣30°＝210°，
综上所述，α的度数为90°或210°．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键，并注意分类讨论的思想．
3．（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）根据互补线解答即可；
（2）根据射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，得到∠BOC+∠BOE＝180°，再有等量代换得出∠AOC＝∠BOE，求出∠DOA的度数，再由∠DOE＝180°﹣∠COE求得即可；
（3）根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵射线OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）∵射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
∴∠BOC+∠BOE＝180°，
又∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝∠BOE，
∵∠AOC+∠DOA＝180°，且∠DOA＝136°，
∴∠AOC＝180°﹣∠DOA＝180°﹣136°＝44°，
∴∠BOC＝44°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝180°﹣44°﹣44°＝92°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE，
＝180°﹣92°，
＝88°；
（3）∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°
∵射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOC，∠BOF＝∠FOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOF+∠FOC+∠AOE+∠EOC＝180°，
∵2∠BOF+2∠EOC＝180°，
∴∠BOF+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠EOB+∠BOF+∠FOC，
∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠FOC＝90°，
∴2∠BOF+∠EOB+∠FOC＝90°，
∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠BOF＝90°，
∴2∠BOF＝∠BOC，∠EOB+∠BOF＝∠EOF，
∴∠BOC+∠EOF＝90°，
∴∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，正确的找出个角之间的关系是解题的关键．
4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）
【分析】（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE求解．
（2）利用角平分线定义得出∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，进而表示出各角求出答案．
（3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，则∠COA＝2x，∠BOF＝90°−32x，根据|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，得到方程|2x﹣（90°−32x）|＝α°，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC＝76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=12×76°＝38°．
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣38°＝142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=12∠COE=12×142°＝71°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝71°﹣38°＝33°．
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，
∴设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，
故∠COA＝2x，∠EOF＝∠COF＝x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF＝2x+x+36°+36°＝180°，
解得：x＝36°，
故∠AOC＝72°．
（3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，
则∠COA＝2x，∠BOF＝90°−32x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，
∴|2x﹣（90°−32x）|＝α°，
解得：x＝（1807）°+27α°或x＝（1807）°−27α°，
当x＝（1807）°+27α°时，
∠AOC＝2x＝（3607）°+47α°，
∠BOF＝90°−32x＝（3607）°−37α°；
当x＝（1807）°−27α°时，
∠AOC＝2x＝（3607）°−47α°，
∠BOF＝90°−32x＝（3607）°+37α°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
5．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是 ；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，
∴OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF＝45°．
故答案为：45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
6．【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．
也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．
（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝ °；
【变式拓展】小明继续探究：
（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．
【分析】（1）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；
（2）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；
（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，
【解答】解：（1）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−12∠AOC
=12（a°+90°）−12a°=12×90°=45°；
（2）设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−12∠AOC
=12（a°+m°）−12a°=m°2，
故答案为：m2°；
（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，
设∠AOC＝a°，
则∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝a°﹣m°，
∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOC−12∠AOB
=12a°−12（a°﹣m°）=m°2；
②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，
∠BOC＝∠AOC＝m°，
∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD=12∠AOC+12∠AOB=12∠BOC＝180°−m°2；
③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，
由②得，∠BOC＝m°，
∠DOE=12∠AOC+12∠AOB=12∠BOC=m°2；
综上所述，∠DOE=m°2或180°−m°2．
【点评】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC＝a°，然后在计算中消掉a．
7．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝ ．
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．
【分析】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；
（3）根据平角等于180°求出即可；
（4）分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠BOC＝50°，
∴∠COE＝40°；
故答案为：40°．
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE=12∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，
∴5x＝40，
∴x＝8，
即∠COD＝8°
∴∠BOD＝58°．
（4）如图，
分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，
5t＝140，
t＝28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，
5t＝320，
t＝64．
所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．
综上所述，t的值为28或64．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
8．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥ （ ）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ ）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AM∥BG，再根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点B作BG∥NC，根据l1∥l2，可得AM∥BG，所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，结合（1）即可进行证明；
（3）根据∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，可得∠EBF＝∠DEB，根据BF平分∠CBE，可得∠CBF＝∠EBF，结合（2）可得∠DBC＝3∠FBC，中根据平行线的性质即可得结论．
【解答】（1）解：如图①，过点B作BG∥MC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG（平行于同一条直线的两条直线平行）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（两直线平行，内错角相等）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
故答案为：BG，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；
（2）证明：如图②，过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG，
所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，
由（1）知：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
又∠DBC＝∠BAM，
所以∠ABC＝∠DBC+∠BCN．
因为∠ABC＝∠ABD+∠DBC．
所以∠ABD＝∠BCN，
所以∠ABD＝∠CBG，
因为BE平分∠ABC．
所以∠ABE＝∠EBC，
所以∠DBE＝∠EBG，
所以∠DEB＝∠DBE；
（3）解：∠BAM＝3∠BCN，理由如下：
因为∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，
所以∠EBF＝∠DEB，
因为BF平分∠CBE，
所以∠CBF＝∠EBF，
由（2）知：∠DEB＝∠DBE，
所以∠DBC＝3∠FBC，
因为CN∥l1，
所以CN∥BF，
所以∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，
而∠BAM＝∠DBC，
所以∠BAM＝3∠BCN．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
9．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠M，∠A与∠C的数量关系．
【解答】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∵∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠M+∠A+∠C＝360°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
10．（2022春•定远县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
11．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE=12（180°﹣∠NQE）=12（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF=12∠AMP，理由如下：
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，
∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，
∴∠QEN＝∠PNE，
∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，
∴∠QNE=12（180°﹣∠NQE）=12（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α−12（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+32α
=12α
=12∠AMP．
∴∠NEF=12∠AMP．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
12．（2021春•梁溪区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；
（2）过点E作EP∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EP，设∠FAB＝α，∠CFH＝β，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）延长DC至点Q，过点M作MN∥AB，结合（2）问可得∠EAF+∠GMH的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠B＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点E作EP∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP，
∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，
∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，
∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，
即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF＝∠FAB=12∠EAB，
∵FH是∠CFG的平分线，
∴∠CFH＝∠HFG=12∠CFG，
∵CD∥AB，
∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，
设∠FAB＝α，∠CFH＝β，
∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，
∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB∥CD，
∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，
∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，
∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，
∴∠ECF＝∠CFG，
由（2）问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，
∴∠AEC＝2∠AFH，
∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，
∴∠AFH＝20°，
由（2）问知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM＝90°，
∴∠GHM＝90°﹣β，
过点M作MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，
∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，
由（2）问知：∠EAF＝∠FAB，
∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，
∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，
∴∠EAF+∠GMH＝70°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
13．（2022春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=12∠ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴12∠ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3=12∠EDF，
∴12∠ABE+∠β=12∠EDF，
∴∠β=12（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）
解得∠α＝100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK=12∠EBK，
∠CDN＝∠EDN=12∠CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN=12∠CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
=12∠EBK−12∠CDE
=12（∠EBK﹣∠CDE）
=12×80°
＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
第六章 实 数
1．（2022春•平舆县期中）一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A．a+1B．a2+1C．﹣a+1D．a2+1
【分析】根据乘方运算，可得被开方数，再根据开方运算，可得答案．
【解答】解：一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是a2+1，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．
2．如图，在数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是（ ）
A．2−2B．2−1C．2−2D．1−2
【分析】首先根据数轴上1，2的对应点分别是点A和点B可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．
【解答】解：∵数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，
∴AB=2−1，
∵A是线段BC的中点，
∴CA＝AB，
∴点C的坐标为：1﹣（2−1）＝2−2．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
3．（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为2；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
【分析】根据运算规则即可求解．
【解答】解：①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③a|a|+b|b|+c|c|=−1；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③a|a|+b|b|+c|c|=1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．（2022秋•天元区校级期末）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简(b−a)2−|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
【分析】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可．
【解答】解：∵c＜b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．
故答案为：0．
【点评】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数．
6．（2022春•聊城期末）观察下列三个等式：①2−25=225；②3−310=3310；③4−417=4417；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式 ．
【分析】观察已知的三个等式，找出三个等式中体现的规律，根据规律写出用n表示的等式．
【解答】解：观察这三个等式：①2−25=225；②3−310=3310；③4−417=4417，
∴n为正整数且n≥2时，n−nn2+1=nnn2+1．
故答案为：n−nn2+1=nnn2+1．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键．
7．设 x、y 是有理数，且 x，y 满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，求x﹣y的值．
【分析】根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得x﹣y的值．
【解答】解：∵x、y 是有理数，且 x，y 满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，
∴x2+2y=17y=−4，
解得，x=5y=−4或x=−5y=−4，
∴当x＝5，y＝﹣4时，x﹣y＝5﹣（﹣4）＝9，
当x＝﹣5，y＝﹣4时，原式＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1．
【点评】本题考查实数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的x、y的值．
8．（2021春•濮阳县期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若38−y和32y−5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
【分析】（1）任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如32和3−2，35和3−5；
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．
【解答】解：（1）如32+3−2=0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2）∵38−y和32y−5互为相反数，
∴38−y+32y−5=0，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x＝﹣5，
∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的立方根是﹣2．
【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
9．（2021秋•虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．
【解答】解：由题意，有2a−1=93a+2b+4=27，
解得a=5b=4．
∴±a+b=±5+4=±3．
故a+b的平方根为±3．
【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
10．（2022春•寻乌县期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是13的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝16，
3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
11．（2021春•荔湾区校级期中）（1）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
【分析】（1）先根据数轴上点的位置确定出a、b、c的符号，再利用绝对值性质和平方根的性质a2=|a|求解可得；
（2）根据平方根、立方根的意义求出a、b，即可解决问题．
【解答】解：（1）由数轴得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．
∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．
（2）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，
∴2a﹣1＝9，3a+2b+4＝27，
∴a＝5，b＝4，
∴a+b＝9，
∴9的平方根为±3．
【点评】本题考查平方根的定义和性质，立方根的定义和性质，绝对值性质和平方根的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
12．小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【分析】根据长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，可求出长、宽，再根据正方形的面积求出边长，最后比较长方形的长与正方形的边长的大小关系，得出答案．
【解答】解：∵正方体的面积为324cm2，
∴正方形的边长为324=18cm，
又∵长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，
∴长方形的长为610cm，宽为410cm，
∵3＜10＜4，
∴610＞18，
∴不能裁出来，
故不同意小明的说法，这块纸片裁不出符合要求的纸片．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是解决问题的前提．
13．（2022春•广信区期末）阅读理解．
∵4＜5＜9，即2＜5＜3．
∴1＜5−1＜2
∴5−1的整数部分为1，
∴5−1的小数部分为5−2．
解决问题：已知a是17−3的整数部分，b是17−3的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（17）2＝17．
【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值，
（2）根据开平方运算，可得平方根．
【解答】解：（1）∴16＜17＜25，
∴4＜17＜5，
∴1＜17−3＜2，
∴a＝1，b=17−4；
（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（17−4+4）2＝﹣1+17＝16，
∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±16=±4．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜17＜5是解题关键．
14．（2022春•恩施市期末）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−2|+|3﹣a|．
（1）求b的值；
（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．
【分析】（1）根据A点在数轴上的位置，可以知道2＜a＜3，根据a的范围去绝对值化简即可；
（2）先求出b+2，得到它的整数部分，用b+2减去整数部分就是小数部分，从而求出m；同理可求出n．然后求出2m+2n+1，再求平方根．
【解答】解：（1）由图可知：2＜a＜3，
∴a−2＞0，3﹣a＞0，
∴b＝a−2+3﹣a
＝3−2；
（2）∵b+2＝3−2+2＝5−2，
∴b+2的整数部分是3，
∴m＝5−2−3＝2−2．
∵8﹣b＝8﹣（3−2）＝8﹣3+2=5+2，
∴8﹣b的整数部分是6，
∴n＝5+2−6=2−1．
∴2m+2n+1＝2（m+n）+1＝2×（2−2+2−1）+1＝3，
∴2m+2n+1的平方根为±3．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，考核学生的运算能力，解题时注意一个正数的平方根有两个．
15．（2022春•青山区校级月考）我们知道2≈1.414，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则可记为2−1”．则：
（1）2+1的整数部分是 ，小数部分可以表示为 ；
（2）已知3+2的小数部分是a，7−3的小数部分为b，那a+b＝ ；
（3）已知11的在整数部分为x，11的小数部分为y，求（y−11）x﹣1的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数2的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+2，7−3的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数11的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵1＜2＜2，
∴2＜1+2＜3，
∴1+2的整数部分为2，小数部分为1+2−2=2−1，
故答案为：2，2−1；
（2）∵1＜3＜2，
∴3＜3+2＜4，
∴3+2的整数部分为3，小数部分为3+2﹣3=3−1，
即a=3−1，
∵1＜3＜2，
∴﹣2＜−3＜−1，
∴5＜7−3＜6，
∴7−3的整数部分为5，小数部分为7−3−5＝2−3，
即b＝2−3，
∴a+b=3−1+2−3
＝1，
故答案为：1；
（3）∵3＜11＜4，
∴11的整数部分x＝3，小数部分y=11−3，
∴（y−11）x﹣1＝（﹣3）2＝9，
∴（y−11）x﹣1的平方根为±9=±3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
16．（2021春•江津区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：
我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[2]＝1．而大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即＜2＞=2−1．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵22＜（7）2＜32；即2＜7＜3，∴[7]＝2，＜7＞=7−2．
请解答
（1）[11]＝ ，＜11＞= ．
（2）如果＜5＞=a，[41]＝b，求a+b−5的平方根．
（3）求[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]的值．
【分析】（1）先估算出11的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；
（2）先估算出5，41的范围，得出a和b的值；
（3）计算出整数部分为1、2、3……的二次根式的个数是关键．
【解答】解：（1）∵32＜(11)2＜42，
∴3＜11＜4，
∴[11]＝3，＜11＞=11−3，
故答案为：3，11−3，
（2）∵＜5＞=5−2，
∴a=5−2，
∵62＜(41)2＜72，
∴6＜41＜7，
∴41=6=b，
∴a+b−5=5−2+6−5=4，
∴4的平方根是±2，
∴a+b−5的平方根是±2，
（3）∵32﹣22＝5，42﹣32＝7，
52﹣42＝9，62﹣52＝11，
∴[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]
＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7
＝210．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，能估算出无理数的大小是解本题的关键．
17．（2021春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：[9]=3，[10]=3．
（1）仿照以上方法计算：[4]= ；[26]= ．
（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10]=3→[3]=1，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【分析】（1）先估算4和26的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴5＜26＜6，
∴[4]=[2]＝2，[26]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且[x]=1，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[100]＝10，
第二次：[10]＝3，
第三次：[3]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[255]＝15，[15]＝3，[3]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[256]＝16，[16]＝4，[4]＝2，[2]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
第七章平面直角坐标系
1．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝2．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为点A与点B都在x轴上，所以到点A的距离为2的点有两个．
（2）点A、B共线，故：S△ABC=12×AB×4．
（3）设存在一点P（0，y），则由S△ABP=12•AB•|y|＝7分析求解．
【解答】解：（1）如下图所示：
△AB′C或△AB″C是所求作的三角形．
由图形可知：点B的坐标为（﹣3，0）或（1，0）．
（2）S△ABC=12•AB•CB′=12×2×4=4，
即：△ABC的面积为4．
（3）设存在一个点P（0，y），使得使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，
则：S△ABP=12•AB•|y|＝7
即：12×2×|y|＝7
解之得：y＝±7
所以，点P的坐标为（0，7）或（0，﹣7），其中，x为任意一个实数．
即：存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7，其中点P的坐标为（0，7）或（0，﹣7）．
【点评】本题考查了坐标与图象的性质，解题的关键是了解并掌握坐标系中点的位置与坐标特征．
2．已知点A（a，0）、B（b，0），且a+4+|b﹣2|＝0．
（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的12？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；
（2）由A（﹣4，0）、B（2，0），得到AB＝6，根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到即可；
（3）根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0，
∴a+4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣4，b＝2；
（2）如图1，
∵A（﹣4，0）、B（2，0），
∴AB＝6，
∵三角形ABC的面积是15，
∴12AB•OC＝15，
∴OC＝5，
∴C（0，5）；
（3）存在，如图2，
∵三角形ABC的面积是15，
∴S△ACD=12CD•OC＝15，
∴12CD×5=12×15，
∴CD＝3，
∴D（3，5）或（﹣3，5）．
【点评】本题考查了坐标于图形的性质，非负数的性质，三角形的面积，正确的作出图形是解题的关键．
3．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）得出b的值后代入解答即可；
（2）根据三角形的面积公式得出点C的坐标即可；
（3）根据△PBC的面积等于△ABC的面积的一半得出OP解答即可．
【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1，
∴A（﹣3，0），
B（0，4），
（2）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵△ABC的面积为12，S△ABC=12BC⋅OA=12×3×BC=12，
∴BC＝8，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4）；
（3）存在，
∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4），
∴BC上的高OP为32，
∴点P的坐标（32，0）或（−32，0）．
【点评】本题主要考查坐标与图形，关键是根据三角形的面积公式解答．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（4，5）、C（﹣2，﹣1）．
（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C，求△ABC的面积；
（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由．y轴上存在点Q，使△ACQ的面积为4吗？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为y′轴，向上的方向为y′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
【分析】（1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置可描出点A、B、C，把AC当作底，点B到AC的距离当作高，根据三角形的面积公式计算即可得出△ABC的面积；
（2）设AC与x轴交于点M，则M（﹣2，0）．根据△ACP的面积为4，求出PM=83，进而求得点P的坐标；由于y轴上任意一点与AC的距离都是2，根据三角形的面积公式得出：当点Q在y轴上时，△ACQ的面积=12×3×2＝3≠4，即可说明y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4；
（3）根据条件画出新的直角坐标系，即可写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
∵A（﹣2，2）、B（4，5）、C（﹣2，﹣1），
∴△ABC的面积=12×3×6＝9；
（2）x轴上存在点P，使△ACP的面积为4．理由如下：
设AC与x轴交于点M，则M（﹣2，0）．
∵△ACP的面积为4，
∴12AC•PM=12×3×PM＝4，
∴PM=83，
∴点P的坐标为（−143，0）或（23，0）；
y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4．理由如下：
∵AC∥y轴，y轴上任意一点与AC的距离都是2，
∴当点Q在y轴上时，△ACQ的面积=12×3×2＝3≠4，
∴y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4；
（3）如图所示：
在新的直角坐标系中，点B的坐标为（6，3），点C的坐标为（0，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确作图，利用数形结合的思想．
5．（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+b−3=0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由非负数的性质可求得结论；
（2）由P到线段A0的距离为|m|，由三角形的面积公式可求得结论；
（3）根据△AOP的面积与△ABC的面积相等激发出即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+b−3=0，
∴a＝2，b＝3，
∵|c﹣4|≤0，
∴c＝4；
（2）由（1）得A（0，2），
∵点P（m，1）在第二象限，
∴P到线段AO的距离为|m|，
∴S△AOP=12×2•|m|＝|m|，
∵m＜0，
∴S△AOP＝﹣m；
（3）存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等，
理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4），
∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3，
∴S△ABC=12×3×4＝6，
∵△AOP的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣m＝6，解得m＝﹣6，
∴存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，三角形的面积，熟练掌握各性质是解题的关键．
6．（2022春•石嘴山校级期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足4−a+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：①直接写出点C的坐标：C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上．
①用含m，n的式子表示三角形AOH的面积；
②求证：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b即可；
②利用三角形面积公式求解；
（2）①根据S△AOH＝S△ADH+S△ODH，求解即可；
②利用面积法证明；
（3）分两种情形，分别构建方程求解即可．
【解答】（1）①解：∵4−a+（b﹣3）2＝0，
又∵4−a≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∴A（1，4），B（3，0），
∴C（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）；
②S△AOH=12×1×4＝2；
故答案为：2；
（2）①解：如图1中，连接DH，
∴S△AOH＝S△ADH+S△ODH=12×1×n+12×4×（1﹣m）=12n+2﹣2m；
②证明：∴S△AOH＝2，
∴2=12n+2﹣2m，
∴4m＝n；
（3）当点P在y轴的右侧时，12×（3﹣2t）×4=12×t×2，
解得，t=65．此时P（35，0）．
当点P在y轴的左侧时，12×（2t﹣3）×4=12×t×2，
解得，t＝2，此时P（﹣1，0）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．（2021春•崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD=23（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD＝7（S△BCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用S△PCDS△BCD=23，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，
∴a＝﹣5，b＝4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，
∴C（0，2+y），D（﹣2，y），
连接OD，
S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD
=12OB×OC+12OC×2−12OB×y＝7，
∴y＝2，
∴C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），
∴PC＝|4﹣m|，
∵S△PCDS△BCD=23，
∴12|4﹣m|×2=23×7，
∴|4﹣m|=143，
∴m=−23或m=263，
∴存在点P，其坐标为（0，−23）或（0，263）．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，解本题的关键是平移性质的灵活运用，用面积关系建立方程．
8．如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式a−3+（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ ， ）、D（ ， ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，∠MCN∠AQC的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值．
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．利用平行线的性质求解即可；
（3）结论：∠CQA＝2∠MCN．设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，理由平行线的性质、角平分线的定义，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵a−3+（a+b﹣7）2＝0，
又∵a−3≥0．（a+b﹣7）2≥0，
∴a＝3．b＝4，
∴A（3，0），B（0，4），D（﹣2，1），
故答案为3，0，﹣2，1．
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．
理由：如图1中，延长DE交CA的延长线于T．
∵DE⊥y轴，
∴DT∥OG，
∴∠T+∠OAT＝180°，
∵BD∥CT，
∴∠D＝∠T，
∵∠CAG＝∠OAT，
∴∠BDE+∠CAG＝180°．
（3）如图2中，结论：∠CQA＝2∠MCN．
理由：设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，
∵CF∥AQ，
∴∠FCQ＝∠CQA＝y，
∵∠ACM＝∠QCM＝z，
∴∠QCN＝z﹣x，
∵∠FCN＝∠ACN，
∴y+（z﹣x）＝x+z，
∴y＝2x，即∠CQA＝2∠MCN．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9．（2022春•随县期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0
（1）求a，b的值．
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=12S△ABC，求点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使S△COM=12S△ABC仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，
OF⊥OE．当点P运动时，∠OPD∠DOE的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求解；
（2）①利用面积公式求解；
②分类讨论，结合面积公式求解；
（3）利用平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质及外角定理求解．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
（2）①设M（0，m）（a＞），
由题意得：0.5m•1＝0.5×0.5×（2+3）×2，
解得：m＝5，
∴M（0，5）；
②当M 在y轴的负半轴上时，0.5（﹣m）•1＝0.5×0.5×（2+3）×2，
m＝﹣5，
M（0，﹣5）；
当M在横轴上时，设M（n，0），
则：0.5×|n|×2＝0.5×0.5×（2+3）×2，
解得：n＝±2.5，
∴M（±2.5，0），
所以M（2.5，0）或M（﹣2.5，0）或M（0，﹣5）；
（3）∠OPD∠DOE=2，
理由：∵∠EOF＝90°，∠ODE＝90°，
∴∠OED+∠EFO＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，∠AOE+∠FOB＝90°，∠EOP+∠POF＝90°，
∴∠EOD＝∠EFO，
∵OE平分∠AOP，EF∥AB，
∴∠AOE＝∠EOP，∠OFE＝∠FOB，
∴∠FOP＝∠FOB＝∠OFP，
∵∠OPD＝∠PFO+∠POF＝2∠OFP＝2∠DOE，
∴∠OPD∠DOE=2．
【点评】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，角平分线的定义，垂直的性质及外角定理，是一道综合性极强的题．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=3−b+b−3−1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO的值是否发生变化，并说明理由．
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形的面积公式列出方程求出OP，再分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，然后求出∠CPO＝∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变．
【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b＝3，
a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∴S四边形ABDC＝4×2＝8；
（2）∵S△PAB＝S四边形ABDC，
∴12×4•OP＝8，
解得OP＝4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）∠DCP+∠BOP∠CPO=1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴∠DCP+∠BOP∠CPO=1，比值不变．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，以及非负数的性质，熟记各性质是解题的关键．
11．（2022春•仓山区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（0，a），B（b，a）．且a、b满足（a+b﹣6）2+b−a−2=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接AC，BD，AB，BC．
（1）求点C，D的坐标及三角形BCD面积；
（2）若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2，∠3的数量关系？并说明理由；
（3）在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，可得点A，点B坐标，由平移的性质可得C（﹣1，0），D（3，0），由三角形面积公式可求解；
（2）由平行线的性质和外角的性质可得∠1＝∠2+∠3；
（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵（a+b﹣6）2+b−a−2=0，
∴a＝2，b＝4，
∴A（0，2），B（4，2），
∵将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．
∴C（﹣1，0），D（3，0）．AB∥CD，AB＝CD＝4，
∴S△BCD=12×CD×OA=12×4×2＝4；
（2）∠1＝∠2+∠3，
理由如下：如图，设BE与CD交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CHE，
∵∠CHE＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠2+∠3；
（3）∵三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54，
∴△BMD的面积=54×4＝5，
当点M在x轴正半轴上时，设点M（m，0），
∴S△BMD=12×DM×AO＝5，
∴2DM＝10，
∴DM＝5，且点D（3，0），
∴点M（8，0）或点M（﹣2，0）（不合题意舍去），
当点M在y轴正半轴上时，设点M（0，n），
如图，点M在线段OA上时，
∵S△BMD＝S梯形AODB﹣S△ABM﹣S△MOD＝5
∴(3+4)×22−12×3×n−12×4×（2﹣n）＝5，
∴n＝4（不合题意舍去），
如图，点M在线段OA的延长线上，
∵S△BMD＝S梯形AODB+S△ABM﹣S△MOD＝5
∴(3+4)×22+12×4×（n﹣2）−12×3×n＝5，
∴n＝4，
∴点M（0，4），
综上所述：当点M（0，4）或（8，0）时，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负性，平移的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究∠OCM∠ACN的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
【分析】（1）根据非负数的性质可得a和b的值，
（2）根据角平分线的定义可得∠OBP＝∠CBQ，再根据三角形的内角和定理可得∠BPO＝∠CQP，最后由对顶角相等和等量代换可得结论，
（3）设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，分别求出∠OCM，∠ACN即可求解．
【解答】（1）解：如图1中，
∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）证明：如图2中，
∵BQ平分∠CBA，
∴∠OBP＝∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BOP＝∠BCQ＝90°，
∴∠BPO＝∠CQP，
∵∠CPQ＝∠BPO，
∴∠CQP＝∠CPQ；
（3）解：如图3，结论：定值=12．
理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，
∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y，
∵CM平分∠ACB，
∴∠MCB=12（180°﹣x﹣y），
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCF＝x，
∴∠BCO＝90°﹣x，
∴∠OCM=12（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）=x−y2
∴∠OCM∠ACN=12．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．
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