数学七年级下册8.3 完全平方公式与平方差公式课后练习题

这是一份数学七年级下册8.3 完全平方公式与平方差公式课后练习题，共12页。试卷主要包含了3　完全平方公式与平方差公式，下列运算正确的是，已知a2=b2+3,则=　　　，2x+2y);，计算等内容，欢迎下载使用。

第2课时 平方差公式
基础过关全练
知识点2 平方差公式
11.(2023安徽合肥期中)下列各式中,不能用平方差公式计算的是(M7208004)( )
A.(a-2b)(2b+a) B.(a-2b)(-a-2b)
C.(2a-b)(-2a-b) D.(a+2b)(-a-2b)
12.(2023黑龙江鸡西中考)下列运算正确的是( )
A.(-2a)2=-4a2
B.(a-b)2=a2-b2
C.(-m+2)(-m-2)=m2-4
D.(a5)2=a7
13.(2023安徽芜湖无为期末)已知a-b=2,则a2-b2-4b的值为(M7208005)( )
A.5 B.4 C.2 D.1
14.【等面积法】(2023安徽合肥包河期中)从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙),那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式(M7208004)( )
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.(2a+b)(a-b)=2a2-ab-b2
15.(2023四川成都期末)已知a2=b2+3,则(a+b)(a-b)= .(M7208005)
16.已知m2-n2=21,m-n=3,则m+n= .
17.【教材变式·P72T8】若单项式4x2加上另一个单项后能用平方差公式计算,则下列符合题意的单项式是 .(填序号)(M7208004)
①1;②-1;③-x4;④-14x4.
18.运用乘法公式计算:(M7208005)
(1)(m3+5n)(5n-m3);
(2)(0.2x+2y)(2y-0.2x);
(3)(1-xy)(-xy-1);
(4)(-3ab2+2a2b)(3ab2+2a2b);
(5)(a-1)(a+1)(a2+1);
(6)(2x-3y-1)(2x+3y+1).
19.计算:(M7208005)
(1)(2023江苏盐城期末)(3-5a)(3+5a)+(3+5a)2.
(2)(2023北京平谷期末)3(2a-1)(2a+1)-2(a+2)(a-3).
(3)(2023甘肃兰州中考)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y).
(4)(2023甘肃庆阳二模)(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4).
20.先化简,再求值:(M7208005)
(1)(2023广东佛山期末)(2x+y)2+(x+y)(x-y)-x2,其中x=-1,y=2.
(2)(2023陕西西安期末)[(x+y)2-(x+y)(x-y)]÷y,其中x=1,y=-1.
21.利用平方差公式计算:
(1)3252-2752; (2)501×499+1;
(3)5034×4914;
(4)(2+1)×(4+1)×(16+1)×(256+1).
22.解下列方程或不等式:
(1)(1-3x)2+(2x-1)2=13(x-1)(x+1);
(2)(3x+1)(3x-1)+2(x+2)(x-2)>11(x+1)·(x-3).
23.(2023安徽六安月考)广场内有一块边长为4a m的正方形花园,统一规划后,南北方向要缩短2 m,东西方向要加长2 m,改造后的长方形花园的面积与原来的面积相比,是增加了还是减少了?增加或减少了多少平方米?(M7208005)
24.(2023安徽安庆潜山期中)将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1),将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分,将①和②两部分拼成一个长方形(如图2),解答下列问题:(M7208004)
图1 图2
(1)设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2,请用含a,b的式子表示:S1= ,S2= ;(不必化简)
(2)由(1)中的结果可以验证的乘法公式是
;
(3)利用(2)中得到的公式,计算:2 0232-2 022×2 024.
能力提升全练
25.(2023河北中考,6,★★☆)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能(M7208005)( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
26.(2023内蒙古赤峰中考,7,★★☆)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是( )
A.6 B.-5 C.-3 D.4
27.【割补法】(2022广西百色中考,11,★★☆)如图所示的是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是(M7208004)( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.(ab)2=a2b2
28.【一题多解】【整体代入法】(2023安徽宣城期中,7,★★☆)若x满足(2 021-x)2+(x-2 020)2=2 019,则(2 021-x)(x-2 020)的值是( )
A.-1 006 B.-1 007 C.-1 008 D.-1 009
29.【配方法】(2022安徽芜湖二模,6,★★★)如果a,b,c满足a2+2b2+2c2-2ab-2bc-6c+9=0,则abc等于(M7208005)( )
A.9 B.27 C.54 D.81
30.(2023安徽合肥包河期中,18,★★☆)先化简,再求值:(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2,其中x=
-5.(M7208005)
31.(2023安徽六安三模,18,★★☆)先化简,再求值:[(-2x+y)2-(2x-y)(y+2x)-6y]÷(2y),其中x=-1,y=2.(M7208005)
32.【新考向·新定义试题】(2023广东广州花都一模,19,★★☆)如果一个正整数能够表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.
如:①8=32-12,
②16=52-32,
③24=72-52,
……
因此8,16,24都是奇特数.
(1)写出第④个等式.
(2)设两个连续奇数为2n-1和2n+1(其中n为正整数),那么由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么?
33.(2023河北中考,21,★★☆)现有甲、乙、丙三种卡片若干张,卡片的边长如图1所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2.(M7208005)
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时,求S1+S2的值;
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
图1 图2
图3
素养探究全练
34.【几何直观】完全平方公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中,p=a,q=b的特殊情形.完全平方公式可以用图形表示说明.
【知识再现】
如图1,大正方形的面积有两种表示方法.
方法一:大正方形可以看作是边长为(a+b)的正方形,则大正方形的面积可以表示为 ;
方法二:大正方形的面积还可以看作是两个小正方形面积与两个长方形面积的和,即S1,S2,S3,S4的和,则大正方形的面积可以表示为 ;图1中大正方形的面积可以说明的公式是 .
【经验总结】
完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究,并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题.
例如:如图1,已知a+b=3,ab=1,求a2+b2的值.
方法一:因为a+b=3,所以(a+b)2=9,即a2+2ab+b2=9,又因为ab=1,所以a2+b2=7.
方法二:因为a+b=3,所以(a+b)2=9,即大正方形的面积为9,因为ab=1,所以S2=S3=ab=1,所以S1+S4=S大正方形-S2-S3=9-1-1=7,即a2+b2=7.
【应用迁移】
如图2,点C是线段AB上的一点,以AC、BC为边向两侧作正方形,连接BD,若AB=5,两正方形的面积和为S5+S6=13,求△BCD的面积.(用两种方法解答)
图1 图2
第8章 整式乘法与因式分解
第2课时 平方差公式
答案全解全析
基础过关全练
11.D (a-2b)(2b+a)=(a-2b)(a+2b),故选项A能用平方差公式计算;(a-2b)(-a-2b)=-(a-2b)(a+2b),故选项B能用平方差公式计算;(2a-b)(-2a-b)=-(2a-b)(2a+b),故选项C能用平方差公式计算;(a+2b)(-a-2b)=-(a+2b)2,故选项D不能用平方差公式计算.
12.C (-2a)2=4a2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(-m+2)(-m-2)=m2-4,(a5)2=a10.
综上,选项C符合题意.
13.B 因为a-b=2,所以a2-b2-4b=(a+b)(a-b)-4b=2(a+b)-4b=2a+2b-4b=2(a-b)=2×2=4.
14.C 因为两个图中的阴影部分的面积相等,题图甲中阴影部分的面积为a2-b2,题图乙中阴影部分的面积为(a+b)(a-b),所以a2-b2=(a+b)(a-b),所以验证的公式为(a+b)(a-b)=a2-b2.
方法解读 等面积法,即通过几何图形的变换或利用两种方式求面积,抓住面积不变建立等式.
15. 答案 3
解析 因为a2=b2+3,所以a2-b2=3,所以(a+b)(a-b)=a2-b2=3.
16. 答案 7
解析 由题意得,m2-n2=(m+n)(m-n)=21,因为m-n=3,所以m+n=7.
17. 答案 ②③④
解析 根据平方差公式可知,②③④符合题意.
18. 解析 (1)原式=(5n)2-(m3)2=25n2-m6.
(2)原式=(2y)2-(0.2x)2=4y2-0.04x2.
(3)原式=-(1-xy)(xy+1)=-12+(xy)2=-1+x2y2.
(4)原式=(2a2b)2-(3ab2)2=4a4b2-9a2b4.
(5)原式=(a2-1)(a2+1)=a4-1.
(6)原式=[2x-(3y+1)][2x+(3y+1)]=(2x)2-(3y+1)2=4x2-9y2-6y-1.
19. 解析 (1)原式=9-25a2+9+30a+25a2=30a+18.
(2)原式=3(4a2-1)-2(a2-a-6)=12a2-3-2a2+2a+12=10a2+2a+9.
(3)原式=x2-4y2-(3y-4y2)=x2-4y2-3y+4y2=x2-3y.
(4)原式=a2+6a+9-(a2-1)-(4a+8)=a2+6a+9-a2+1-4a-8=2a+2.
20. 解析 (1)原式=4x2+y2+4xy+(x2-y2)-x2=4x2+y2+4xy+x2-y2-x2=4x2+4xy,
当x=-1,y=2时,原式=4×(-1)2+4×(-1)×2=4-8=-4.
(2)原式=[(x2+2xy+y2)-(x2-y2)]÷y
=(x2+2xy+y2-x2+y2)÷y
=(2xy+2y2)÷y=2x+2y,
当x=1,y=-1时,原式=2-2=0.
21. 解析 (1)原式=(325+275)×(325-275)
=600×50=30 000.
(2)原式=(500+1)×(500-1)+1
=5002-1+1=5002=250 000.
(3)原式=50+3450−34
=502-342=2 500-916=2 499716.
(4)原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)
=(22-1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)
=(24-1)×(24+1)×(28+1)
=(28-1)×(28+1)
=216-1.
22. 解析 (1)利用乘法公式展开,得
1-6x+9x2+4x2-4x+1=13(x2-1),
即1-6x+9x2+4x2-4x+1=13x2-13,
移项,得9x2+4x2-13x2-6x-4x=-13-1-1,
合并同类项,得-10x=-15,
系数化为1,得x=32.
(2)整理得9x2-1+2x2-8>11x2-22x-33,
移项、合并同类项,得22x>-24,
系数化为1,得x>-1211.
23. 解析 原来的面积为4a×4a=16a2(m2),
改造后的面积为(4a-2)(4a+2)=(16a2-4)m2,
因为16a2-(16a2-4)=4 m2,
所以与原来相比减少了,减少了4 m2.
24. 解析 (1)S1=a2-b2,S2=(a+b)(a-b).
故答案为a2-b2;(a+b)(a-b).
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
(3)由(2)中所得的乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,
得2 0232-2 022×2 024
=2 0232-(2 023-1)×(2 023+1)
=2 0232-(2 0232-1)
=2 0232-2 0232+1
=1.
能力提升全练
25.B (2k+3)2-4k2=4k2+12k+9-4k2=12k+9=3(4k+3),因为k为任意整数,所以(2k+3)2-4k2的值总能被3整除.
26.D 原式=(2a)2-32+(2a)2-4a+1=8a2-4a-9+1=8a2-4a-8=4(2a2-a)-8.因为2a2-a-3=0,所以2a2-a=3,所以4(2a2-a)-8=4×3-8=4.
27.A 大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,由1个边长为a的正方形,2个长为a宽为b的长方形,1个边长为b的正方形组成,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.
28.D 方法一:设2 021-x=a,x-2 020=b,则(2 021-x)2+(x-2 020)2=a2+b2=2 019,a+b=(2 021-x)+(x-2 020)=1,所以(2 021-x)(x-2 020)=ab=12[(a+b)2-(a2+b2)]=12×(12-2 019)=-1 009.
方法二:设x-2 020=m,则2 021-x=1-m,则(1-m)2+m2=2 019,整理,得m2-m=1 009,所以(2 021-x)·(x-2 020)=(1-m)m=-(m2-m)=-1 009.
29.B 因为a2+2b2+2c2-2ab-2bc-6c+9=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-6c+9)=(a-b)2+(b-c)2+(c-3)2=0,所以(a-b)2=0,(b-c)2=0,(c-3)2=0,所以a=b,b=c,c=3,即a=b=c=3,所以abc=27.
方法解读 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和,然后利用完全平方式的非负性解决问题.这种方法常常被用到恒等变形中,以挖掘题目中的隐含条件,是解题的有力手段之一.
30. 解析 原式=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-5,
当 x=-5时,原式=25-5=20.
31. 解析 原式=(4x2+y2-4xy-4x2+y2-6y)÷(2y)
=(2y2-4xy-6y)÷(2y)=y-2x-3,
当x=-1,y=2时,原式=2-2×(-1)-3=1.
32. 解析 (1)第④个等式为32=92-72.
(2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.理由:因为(2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n,且n为正整数,所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
33. 解析 (1)由题图可知S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,
当a=2时,S1+S2=a2+3a+2+5a+1=a2+8a+3=4+16+3=23.
(2)S1>S2.理由:
因为S1-S2=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1=(a-1)2,a>1,
所以(a-1)2>0,
所以S1>S2.
素养探究全练
34. 解析 【知识再现】方法一:(a+b)2.
方法二:由题图1可知,S1=a2,S2=ab,S3=ab,S4=b2,
所以大正方形的面积为S1+S2+S3+S4=a2+2ab+b2.
所以题图1中大正方形的面积可以说明的公式是(a+b)2=a2+2ab+b2.
故答案为(a+b)2;a2+2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2.
【应用迁移】设正方形ACDE的边长为m,正方形BCFG的边长为n.
方法一:因为AB=5,两正方形的面积和为S5+S6=13,
所以m+n=5,m2+n2=13,
因为(m+n)2=m2+2mn+n2,
即25=13+2mn,
所以mn=6,所以S△BCD=12mn=3.
方法二:如图,因为AB=5,即m+n=5,
所以大正方形EMGN的面积为25,
又因为S5+S6=13,
所以S长方形BCDM+S长方形ACFN=25-13=12,
即2mn=12,解得mn=6,
所以S△BCD=12mn=3.