北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题08基础提升专练：整式的乘除运算(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题08基础提升专练：整式的乘除运算(原卷版+解析)，共25页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3581" 【典型例题】 PAGEREF _Tc3581 \h 1
\l "_Tc24476" 【专练一 化简专练】 PAGEREF _Tc24476 \h 1
\l "_Tc24439" 【专练二 化简求值专练】 PAGEREF _Tc24439 \h 4
\l "_Tc31725" 【专练三 运用乘法公式进行简便计算专练】 PAGEREF _Tc31725 \h 6
\l "_Tc9195" 【专练四 变形求值有关问题的专练】 PAGEREF _Tc9195 \h 10
\l "_Tc32642" 【专练五 与图形面积有关问题的专练】 PAGEREF _Tc32642 \h 12
【典型例题】
【专练一 化简专练】
例题：（2021春·山东济南·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2021春·浙江杭州·七年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
2．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）计算：
(1)；
(2)．
3．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
4．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算
(1)
(2)（用简便方法计算）
(3)（转化成完全平方公式或平方差公式）
(4)（转化成完全平方公式或平方差公式）
【专练二 化简求值专练】
例题：（2021春·重庆南岸·七年级重庆市第十一中学校校考期中）先化简再求值：求代数式的值，其中．
【变式训练】
1．（2022秋·四川广元·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
2．（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
3．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）先化简，再求值：．其中，．
4．（2022秋·吉林白城·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【专练三 运用乘法公式进行简便计算专练】
例题：（2022秋·吉林·八年级统考期末）利用平方差公式计算：．
【变式训练】
1．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）简便运算：
2．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）利用乘法公式计算：
3．（2022秋·河南周口·八年级统考期中）简便计算：
(1)；
(2)．
4．（2022秋·全国·八年级期末）用简便方法计算：
(1)；
(2)；
(3)；
5．（2022秋·八年级单元测试）简算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【专练四 变形求值有关问题的专练】
例题：（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）如果，求
(1)的值；
(2)的值．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)．
4．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知，．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【专练五 与图形面积有关问题的专练】
例题：（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．
(1)试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；
(2)当，时，求出绿化面积．
【变式训练】
1．（2021秋·陕西渭南·八年级统考阶段练习）探究下面的问题：
(1)如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是________（用含a、b的式子表示），即乘法公式中的公式________（填“完全平方”或“平方差”）．
(2)运用你所得到的公式计算：．
2．（2022秋·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是______；（用含a、b的式子表示）
(2)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：、、ab之间的等量关系；
(3)根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
3．（2022秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.并用A种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积并用等号连接：_______
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
专题08 基础提升专练：整式的乘除运算
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3581" 【典型例题】 PAGEREF _Tc3581 \h 1
\l "_Tc24476" 【专练一 化简专练】 PAGEREF _Tc24476 \h 1
\l "_Tc24439" 【专练二 化简求值专练】 PAGEREF _Tc24439 \h 4
\l "_Tc31725" 【专练三 运用乘法公式进行简便计算专练】 PAGEREF _Tc31725 \h 6
\l "_Tc9195" 【专练四 变形求值有关问题的专练】 PAGEREF _Tc9195 \h 10
\l "_Tc32642" 【专练五 与图形面积有关问题的专练】 PAGEREF _Tc32642 \h 12
【典型例题】
【专练一 化简专练】
例题：（2021春·山东济南·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1);
(2)．
【分析】（1）根据乘方公式先去括号，然后根据单项式的乘除法法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后按整式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了乘方公式、平方差公式、完全平方差公式以及整式的运算；熟练掌握公式、正确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021春·浙江杭州·七年级校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式，运用整式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式运算法则，平方差公式，完全平方公式，准确计算．
2．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再根据整式的除法进行计算即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式和整式的除法法则，正确的计算是解决本题的关键．
3．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)8
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质及零指数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案；
（2）利用同底数幂的乘除法则，积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并即可得出答案；
（3）根据多项式乘以多项式的法则进行计算，合并同类项即可；
（4）利用平方差公式以及完全平方公式计算即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题主要考查负整数指数幂的性质及零指数指数幂的性质、有理数的乘方运算、整式的乘除的混合运算、多项式相乘及乘法公式，熟练掌握对应的运算法则及熟记乘法公式是解题的关键．
4．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算
(1)
(2)（用简便方法计算）
(3)（转化成完全平方公式或平方差公式）
(4)（转化成完全平方公式或平方差公式）
【答案】(1)
(2)405
(3)
(4)
【分析】（1）根据单项式与单项式的乘除法可进行求解；
（2）利用平方差公式可进行求解；
（3）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解；
（4）根据完全平方公式可进行求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查单项式与单项式的乘除法及乘法公式，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．
【专练二 化简求值专练】
例题：（2021春·重庆南岸·七年级重庆市第十一中学校校考期中）先化简再求值：求代数式的值，其中．
【答案】；
【分析】根据完全平方公式，多项式乘以多项式计算括号内的，然后计算单项式除以单项式，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，正确的计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·四川广元·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】先根据乘法公式化简中括号里面的运算，然后根据多项式除以单项式的计算法则进行化简，最后代值计算即可．
【详解】解：原式

当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式和多项式除以单项式的计算法则是解题的关键．
2．（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，然后将与的值代入原式计算，即可求出答案．
【详解】解：


，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是熟练运用整式的混合运算法则．
3．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）先化简，再求值：．其中，．
【答案】，
【分析】先根据乘法公式、单项式乘以多项式法则、合并同类项法则、多项式除以单项式法则进行化简，然后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式
【点睛】本题考考查了整式的化简求值，掌握乘法公式、单项式乘以多项式法则、合并同类项法则、多项式除以单项式法则是解题的关键．
4．（2022秋·吉林白城·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，8．
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
【专练三 运用乘法公式进行简便计算专练】
例题：（2022秋·吉林·八年级统考期末）利用平方差公式计算：．
【答案】6399
【分析】利用平方差公式求解即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．
【变式训练】
1．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）简便运算：
【答案】．
【分析】将拆分为，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握平方差公式．
2．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）利用乘法公式计算：
【答案】1
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【详解】解:
．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
3．（2022秋·河南周口·八年级统考期中）简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方逆用计算即可；
（2）把变形为，然后根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方法则，平方差公式等，熟练掌握相关运算法则并能正确运用是解题的关键．
4．（2022秋·全国·八年级期末）用简便方法计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）将式子运用平方差公式进行变形即可得；
（2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得；
（3）先将后两项运用平方差公式进行变形，再计算乘法，进行．
【详解】（1）解：原式=
=
=；
（2）解：原式=
=
=
=
=
=；
（3）解：原式=
=
=
=1．
【点睛】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式．
5．（2022秋·八年级单元测试）简算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)999999；
(2)9610；
(3)1；
(4)-2009；
(5)628．
【分析】（1）运用平方差公式简便运算即可；
（2）运用完全平方公式简便运算即可；
（3）部分运用平方差公式简便运算即可；
（4）部分运用平方差公式简便运算即可；
（5）先提取公因数，然后再运用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
＝
＝
＝1.
（4）解：
=
=.
（5）解：
=
=
=
=628.
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．
【专练四 变形求值有关问题的专练】
例题：（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）如果，求
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由于，代入数值计算即可；
（2）根据（1）中的值和，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：，得
即
又
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题关键是灵活使用公式，对公式进行变形．
【变式训练】
1．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式得出,再代入求出即可；
（2）根据完全平方公式得出,再代入求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形公式，解题关键是掌握完全平方公式．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方差公式变形即可求解；
（2）利用完全平方公式变形，将式子用含、的式子表示，再代入求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形式，根据公式的特征进行变形是求解的关键．
3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)34
(2)4
【分析】（1）由完全平方公式即可求得结果；
（2）由（1）求得的结果及即可求得结果．
【详解】（1）解：，
．
．
（2）解：由（1）得：．
．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形运用，掌握两个完全平方公式的结构特点并能熟练运用是关键．
4．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知，．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)19
(2)13
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式可得，将，代入即可得到答案；
（2）利用完全平方公式，结合（1），代入即可得到答案；
（3）根据平方差公式可得，展开得，将，代入即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
（2）解：，
由（1）得
（3）解：
，
【点睛】此题考查完全平方公式和平方差公式的运用，认真审题，仔细观察和分析题干的已知条件，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
【专练五 与图形面积有关问题的专练】
例题：（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．
(1)试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；
(2)当，时，求出绿化面积．
【答案】(1)平方米
(2)9平方米
【分析】（1）绿化部分的面积等于整体面积减去正方形水池面积．
（2）将，代入求解．
【详解】（1）解：由题意可知，绿化面积为：
所以绿化面积为平方米．
（2）当，时，（平方米）
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2021秋·陕西渭南·八年级统考阶段练习）探究下面的问题：
(1)如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是________（用含a、b的式子表示），即乘法公式中的公式________（填“完全平方”或“平方差”）．
(2)运用你所得到的公式计算：．
【答案】(1)，平方差
(2)
【分析】（1）根据题意可得：图甲阴影部分面积等于 ，图乙阴影部分面积等于，即可求解；
（2）利用平方差公式和完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：图甲阴影部分面积等于 ，图乙阴影部分面积等于，
∴这个等式是 ，即乘法公式中的平方差公式．
故答案为，平方差．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式推导及应用，熟练掌握是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是______；（用含a、b的式子表示）
(2)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：、、ab之间的等量关系；
(3)根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4或
【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长；
（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、ab的等式；
（3）根据（2）中结论即可解题．
【详解】（1）图中阴影部分边长为，
故答案为：；
（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：
方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积；
方法二：阴影部分面积为边长的正方形面积四个以为长、b为宽的个长方形面积；
∴；
（3）∵；
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得是解题的关键．
3．（2022秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.并用A种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积并用等号连接：_______
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）方法1：图2是边长为的正方形，利用正方形的面积公式可得出；方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出，进而可写出这个等式；
（2）①由可得出，，即可求出的值；
②将变形得出，即可求出．
【详解】（1）解：将图2是边长为的正方形，利用正方形的面积公式可得出：
；
将图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出：
，
∴可以得出等式：．
故答案为：．
（2）解：①∵①，
②，
由①②得，，
解得：；
②∵
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．