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北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题11易错易混集训：相交线与平行线(原卷版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题11易错易混集训：相交线与平行线(原卷版+解析)，共23页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7239" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7239 \h 1
\l "_Tc12591" 【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】 PAGEREF _Tc12591 \h 1
\l "_Tc21065" 【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】 PAGEREF _Tc21065 \h 5
\l "_Tc22070" 【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】 PAGEREF _Tc22070 \h 8
【典型例题】
【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】
例题：（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图，按各角的位置，有下列叙述：①是同旁内角；②是同旁内角；③是内错角；④是内错角 ． 其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④①D．①②④
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）下列各图中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）下列四个图形中，和是内错角的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2021春·重庆南岸·七年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是同位角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
4．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，下列判断正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是同位角
C．与是对顶角 D．与是内错角
5．（2022春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，下列说法正确的有（ ）
①∠1与∠2是同旁内角； ②∠1与∠ACE是内错角；③∠B与∠4是同位角；④∠1与∠3是内错角．
A．①③④B．③④C．①②④D．①②③④
6．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．与是内错角B．与是邻补角
C．与是同旁内角D．与是内错角
【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】
例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
【变式训练】
1．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）两个角和的两边互相平行，且角比角的3倍少40°，则这个角是______度．
2．（2022春·贵州毕节·七年级统考期中）一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来的方向保持平行，且行驶方向相同，如果第一次向右拐64°，则第二次拐弯的方向及角度是______．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为______．
4．（2021春·湖北武汉·七年级统考期中）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为 _____．
【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】
例题：（2022春·四川成都·七年级校考期中）将两块透明的三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），将绕点转动，满足点在直线的上方，且小于，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为______．
【变式训练】
1．（2022春·福建三明·七年级校考期中）为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是_______________秒．
2．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______．
3．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
4．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）乐乐把两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺不动，将三角尺绕顶点顺时针移动，当时，的所有可能符合的度数为______．
5．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转， 当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
6．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）如图，将一副三角板如图摆放，点在边上，将图中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在第________秒时，三角板中恰有一边与边平行．
专题11 易错易混集训：相交线与平行线
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7239" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7239 \h 1
\l "_Tc12591" 【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】 PAGEREF _Tc12591 \h 1
\l "_Tc21065" 【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】 PAGEREF _Tc21065 \h 5
\l "_Tc22070" 【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】 PAGEREF _Tc22070 \h 8
【典型例题】
【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】
例题：（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图，按各角的位置，有下列叙述：①是同旁内角；②是同旁内角；③是内错角；④是内错角 ． 其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④①D．①②④
【答案】A
【分析】根据同旁内角，内错角的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：①是同旁内角，正确；
②是同旁内角，正确；
③是内错角，正确；
④不是内错角 ，故原说法错误．
所以正确的是①②③．
故选：A
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁、被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，并在截线同旁的两个角称为同旁内角是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）下列各图中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
B．选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
C．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
D．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
故选：B．选项
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
2．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）下列四个图形中，和是内错角的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据内错角的概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧，再逐一判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
B、∠1与∠2是内错角，选项符合题意；
C、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
D、∠1和∠2不是内错角，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答．注意：内错角的边构成“Z”形．
3．（2021春·重庆南岸·七年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是同位角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】本题要根据内错角、同位角以及同旁内角的定义来判断．
【详解】解：∵同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形，
∴A，B正确；
∵两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，
∴C选项正确，
D选项，与不是同旁内角，
故选：D．
【点睛】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角的定义，掌握内错角、同位角以及同旁内角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，两个角称为同旁内角；同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形．
4．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，下列判断正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是同位角
C．与是对顶角 D．与是内错角
【答案】A
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和对顶角的概念解答即可．
【详解】解：A、与是同旁内角，故本选项符合题意；
B、与不是同位角，故本选项不合题意；
C、与不是对顶角，故本选项不合题意；
D、与不是内错角，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角．
5．（2022春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，下列说法正确的有（ ）
①∠1与∠2是同旁内角； ②∠1与∠ACE是内错角；③∠B与∠4是同位角；④∠1与∠3是内错角．
A．①③④B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据同旁内角、内错角和同位角的定义逐一判断即可．
【详解】解：由图可得①∠1与∠2是同旁内角，正确；
②∠1与∠ACE是内错角，正确；
③∠B与∠4是同位角，正确；
④∠1与∠3是内错角，正确．
∴①②③④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了同旁内角、内错角和同位角的定义，解决本题的关键是掌握以上的定义：
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角；
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；
同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．
6．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．与是内错角B．与是邻补角
C．与是同旁内角D．与是内错角
【答案】D
【分析】根据内错角、邻补角、同旁内角的定义对各选项逐一判断．
【详解】解：A、与是内错角，正确，不符合题意；
B、与是邻补角，正确，不符合题意；
C、与是同旁内角，正确，不符合题意；
D、与不是内错角，选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查内错角、邻补角、同旁内角的定义，解决本题的关键是熟练各角的位置关系．
【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】
例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
【答案】或
【分析】设一个角度数为x，则另一个角度数为，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】∵两个角的两边分别平行，
∴两个角相等或互补，
设一个角度数为x，则另一个角度数为，
由题意得：或，解得：或．
∴或
答：这两个角的度数分别是：或．
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和角的运算综合，根据“两个角的两边分别平行”得：两个角相等或互补，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）两个角和的两边互相平行，且角比角的3倍少40°，则这个角是______度．
【答案】20或125##125或20
【分析】由题意得，分两种情况：①两个角相等；②两个角互补．
【详解】由题意得：，
①当时，得，
解得，则；
②当时，得，
解得，则；
故答案为：20或125．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答的关键是明确题意，分两种情况讨论．
2．（2022春·贵州毕节·七年级统考期中）一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来的方向保持平行，且行驶方向相同，如果第一次向右拐64°，则第二次拐弯的方向及角度是______．
【答案】向左64°
【分析】画出图形，结合原来的行驶方向和平行线的性质即可得到结果．
【详解】解：如图，由题意可得：∠CBE=64°，，
∴∠DCF=∠CBE=64°，
∴第2次拐弯的方向及角度为向左64°，
故答案为：向左64°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，注意数形结合法的应用，注意掌握两直线平行，同位角相等．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，当两次转弯后，公路的方向是相反时，当两次转弯后，公路的方向相同时，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，所示，当两次转弯后，公路的方向是相反时，
∵，
∴，
∴第二次的拐角为；
如图所示，当两次转弯后，公路的方向相同时，
∵，
∴，
∴第二次的拐角为；
综上所述，第二次的拐角为或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确根据题意画出图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
4．（2021春·湖北武汉·七年级统考期中）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为 _____．
【答案】75°或25°
【分析】首先由两个角的两边分别平行，另一组边互相垂直．可分为两种情况．根据两直线平行同旁内角互补，两直线平行同位角相等，以及垂直的定义，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：如图1：
∵AE∥BF，
∴∠A+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠A，
∵∠A﹣2∠B＝15°，
∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣2∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠1+∠B＝90°，
∴165°﹣2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝75°；
如图2：
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠1，
∵∠A﹣2∠B＝15°，
∴∠1＝2∠B+15°，
∵AC⊥BC，
∴∠1+∠B＝90°，
∴2∠B+15°+∠B＝90°，
∴∠B＝25°；
综上，∠B的度数为75°或25°．
故答案为：75°或25°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及垂直的定义，本题容易丢解，分类讨论是关键．
【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】
例题：（2022春·四川成都·七年级校考期中）将两块透明的三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），将绕点转动，满足点在直线的上方，且小于，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为______．
【答案】或
【分析】分种情况进行讨论：当时，当时，根据平行线的性质和角的和差关系分别求得角度即可．
【详解】解：当时，
∵，
∴∠A+∠ACB=,
∵，
∴，
∵∠ECB=,
∴；
当时，
∵，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·福建三明·七年级校考期中）为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是_______________秒．
【答案】2或8##8或2
【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒），推出t≤18-4，即t≤14．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．
【详解】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒），
∴t≤18-4，即t≤14．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图1，∠=∠，30t=10（4+t），
解得t=2；
②如图2，当A灯发出的光束旋转至AN回转时，
∠+∠=180°，30t-180+10（4+t）=180，
解得t=8；
综上所述，A灯旋转的时间为2或8秒．
故选：2或8．
【点睛】本题考查平行线的性质，解决此题的关键是分类讨论、有平行的性质列出每种情况的等量关系．
2．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______．
【答案】99°或45°
【分析】根据，，可知，此时需要进行分情况讨论，为锐角时，；为钝角时，，由此即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴（两直线平行，内错角相等），
如图1所示，，
如图2所示，，
∴的度数为45°或99°．
故答案为：45°或99°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，分情况讨论是解题的关键．
3．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】2或3或5
【分析】分三种情况：①当AB时，②当AC时，③当AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可．
【详解】解：分三种情况：
①当AB时，如图：
∴∠＝∠BAC＝45°，
∴15t＝45，
∴t＝3；
②当AC时，如图，
∴∠＝∠＝30°，
∴15t＝30，
∴t＝2；
③当AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB，
∴∠ACE＝∠A，∠＝∠，
∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°，
∴15t＝75，
∴t＝5．
综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）乐乐把两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺不动，将三角尺绕顶点顺时针移动，当时，的所有可能符合的度数为______．
【答案】60°或120°
【分析】分2种情形画出图形，再利用平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：①如图，
由题意得：∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∵DEAC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°；
②如图，
由题意得：∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∵DEAC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=60°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转， 当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】10或15或25
【分析】分三种情况讨论：①当CD//AP时，②当PD//AB时，③当CD//AB时，分别求解即可．
【详解】解：分三种情况讨论：①当CD//AP时，如图，三角尺PCD旋转到三角尺PC1D1处，
则C1D1//AP，
∴∠DPC1+∠D1C1P=180°，
∵∠C1=∠C=90°，
∴∠DPC1=90°，
∴∠CPC1=∠DPC1-∠DPC=90°-60°=30°，
∴t=30÷3=10；
②当PD//AB时，如图，三角尺PCD旋转到三角尺PC2D2处，
则PD2//AB，
∴∠DPD1=∠A=45°，
∴t=45÷3=15；
③当CD//AB时，如图，三角尺PCD旋转到三角尺PC3D3处，
则C3D3//AB，
∵PB⊥AB，PC3⊥C3D3，
∴PC3与PB在同一直线上，
∴∠DPC3=∠DPB=180°-45°=135°，
∴∠CPC3=∠DPC3-∠DPC=135°-65°=75°，
∴t=75÷3=25；
综上，当运动时间t =10秒或15秒或25秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：10或15或25．
【点睛】本题考查旋转的应用，平行线的性质，分类讨论是解题的关键．
6．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）如图，将一副三角板如图摆放，点在边上，将图中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在第________秒时，三角板中恰有一边与边平行．
【答案】6或15或24
【分析】分AE′BC时，E′D′BC时，AD′BC时三种情况，分别作出图形，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图：当AE′BC时，
则∠CAE′＝∠C＝30°，
∴旋转的时间为：＝6（秒）；
如图，当E′D′BC时，BD与E′D′交于点F，
∴∠BFD′＝∠B＝60°，
∴∠E′AF＝∠BFD′－∠E′＝60°－45°＝15°，
∴∠EAE′＝90°－15°＝75°，
∴旋转的时间为：＝15（秒）；
如图，当AD′BC时，
则∠BAD′＝∠B＝60°，
∴∠EAE′＝360°−90°−90°−60°＝120°，
∴旋转的时间为：＝24（秒），
综上，在第6或15或24秒时，三角板中恰有一边与边平行．
故答案为：6或15或24．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据题意画出图形利用分类讨论得出是解题关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7239" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7239 \h 1
\l "_Tc12591" 【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】 PAGEREF _Tc12591 \h 1
\l "_Tc21065" 【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】 PAGEREF _Tc21065 \h 5
\l "_Tc22070" 【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】 PAGEREF _Tc22070 \h 8
【典型例题】
【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】
例题：（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图，按各角的位置，有下列叙述：①是同旁内角；②是同旁内角；③是内错角；④是内错角 ． 其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④①D．①②④
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）下列各图中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）下列四个图形中，和是内错角的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2021春·重庆南岸·七年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是同位角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
4．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，下列判断正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是同位角
C．与是对顶角 D．与是内错角
5．（2022春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，下列说法正确的有（ ）
①∠1与∠2是同旁内角； ②∠1与∠ACE是内错角；③∠B与∠4是同位角；④∠1与∠3是内错角．
A．①③④B．③④C．①②④D．①②③④
6．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．与是内错角B．与是邻补角
C．与是同旁内角D．与是内错角
【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】
例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
【变式训练】
1．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）两个角和的两边互相平行，且角比角的3倍少40°，则这个角是______度．
2．（2022春·贵州毕节·七年级统考期中）一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来的方向保持平行，且行驶方向相同，如果第一次向右拐64°，则第二次拐弯的方向及角度是______．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为______．
4．（2021春·湖北武汉·七年级统考期中）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为 _____．
【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】
例题：（2022春·四川成都·七年级校考期中）将两块透明的三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），将绕点转动，满足点在直线的上方，且小于，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为______．
【变式训练】
1．（2022春·福建三明·七年级校考期中）为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是_______________秒．
2．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______．
3．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
4．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）乐乐把两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺不动，将三角尺绕顶点顺时针移动，当时，的所有可能符合的度数为______．
5．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转， 当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
6．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）如图，将一副三角板如图摆放，点在边上，将图中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在第________秒时，三角板中恰有一边与边平行．
专题11 易错易混集训：相交线与平行线
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7239" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7239 \h 1
\l "_Tc12591" 【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】 PAGEREF _Tc12591 \h 1
\l "_Tc21065" 【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】 PAGEREF _Tc21065 \h 5
\l "_Tc22070" 【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】 PAGEREF _Tc22070 \h 8
【典型例题】
【易错点一 对“三线八角”的概念理解有误】
例题：（2022秋·安徽阜阳·七年级统考期末）如图，按各角的位置，有下列叙述：①是同旁内角；②是同旁内角；③是内错角；④是内错角 ． 其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④①D．①②④
【答案】A
【分析】根据同旁内角，内错角的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：①是同旁内角，正确；
②是同旁内角，正确；
③是内错角，正确；
④不是内错角 ，故原说法错误．
所以正确的是①②③．
故选：A
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁、被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，并在截线同旁的两个角称为同旁内角是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）下列各图中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
B．选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
C．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
D．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
故选：B．选项
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
2．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）下列四个图形中，和是内错角的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据内错角的概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧，再逐一判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
B、∠1与∠2是内错角，选项符合题意；
C、∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
D、∠1和∠2不是内错角，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答．注意：内错角的边构成“Z”形．
3．（2021春·重庆南岸·七年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是同位角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
【答案】D
【分析】本题要根据内错角、同位角以及同旁内角的定义来判断．
【详解】解：∵同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形，
∴A，B正确；
∵两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，
∴C选项正确，
D选项，与不是同旁内角，
故选：D．
【点睛】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角的定义，掌握内错角、同位角以及同旁内角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，两个角称为同旁内角；同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形．
4．（2022秋·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，下列判断正确的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是同位角
C．与是对顶角 D．与是内错角
【答案】A
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和对顶角的概念解答即可．
【详解】解：A、与是同旁内角，故本选项符合题意；
B、与不是同位角，故本选项不合题意；
C、与不是对顶角，故本选项不合题意；
D、与不是内错角，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角．
5．（2022春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，下列说法正确的有（ ）
①∠1与∠2是同旁内角； ②∠1与∠ACE是内错角；③∠B与∠4是同位角；④∠1与∠3是内错角．
A．①③④B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据同旁内角、内错角和同位角的定义逐一判断即可．
【详解】解：由图可得①∠1与∠2是同旁内角，正确；
②∠1与∠ACE是内错角，正确；
③∠B与∠4是同位角，正确；
④∠1与∠3是内错角，正确．
∴①②③④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了同旁内角、内错角和同位角的定义，解决本题的关键是掌握以上的定义：
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角；
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；
同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．
6．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．与是内错角B．与是邻补角
C．与是同旁内角D．与是内错角
【答案】D
【分析】根据内错角、邻补角、同旁内角的定义对各选项逐一判断．
【详解】解：A、与是内错角，正确，不符合题意；
B、与是邻补角，正确，不符合题意；
C、与是同旁内角，正确，不符合题意；
D、与不是内错角，选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查内错角、邻补角、同旁内角的定义，解决本题的关键是熟练各角的位置关系．
【易错点二 混淆角的位置关系，画不出图形而致错】
例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
【答案】或
【分析】设一个角度数为x，则另一个角度数为，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】∵两个角的两边分别平行，
∴两个角相等或互补，
设一个角度数为x，则另一个角度数为，
由题意得：或，解得：或．
∴或
答：这两个角的度数分别是：或．
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和角的运算综合，根据“两个角的两边分别平行”得：两个角相等或互补，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）两个角和的两边互相平行，且角比角的3倍少40°，则这个角是______度．
【答案】20或125##125或20
【分析】由题意得，分两种情况：①两个角相等；②两个角互补．
【详解】由题意得：，
①当时，得，
解得，则；
②当时，得，
解得，则；
故答案为：20或125．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解答的关键是明确题意，分两种情况讨论．
2．（2022春·贵州毕节·七年级统考期中）一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来的方向保持平行，且行驶方向相同，如果第一次向右拐64°，则第二次拐弯的方向及角度是______．
【答案】向左64°
【分析】画出图形，结合原来的行驶方向和平行线的性质即可得到结果．
【详解】解：如图，由题意可得：∠CBE=64°，，
∴∠DCF=∠CBE=64°，
∴第2次拐弯的方向及角度为向左64°，
故答案为：向左64°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，注意数形结合法的应用，注意掌握两直线平行，同位角相等．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为______．
【答案】或
【分析】分两种情况，当两次转弯后，公路的方向是相反时，当两次转弯后，公路的方向相同时，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，所示，当两次转弯后，公路的方向是相反时，
∵，
∴，
∴第二次的拐角为；
如图所示，当两次转弯后，公路的方向相同时，
∵，
∴，
∴第二次的拐角为；
综上所述，第二次的拐角为或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确根据题意画出图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
4．（2021春·湖北武汉·七年级统考期中）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为 _____．
【答案】75°或25°
【分析】首先由两个角的两边分别平行，另一组边互相垂直．可分为两种情况．根据两直线平行同旁内角互补，两直线平行同位角相等，以及垂直的定义，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：如图1：
∵AE∥BF，
∴∠A+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠A，
∵∠A﹣2∠B＝15°，
∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣2∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠1+∠B＝90°，
∴165°﹣2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝75°；
如图2：
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠1，
∵∠A﹣2∠B＝15°，
∴∠1＝2∠B+15°，
∵AC⊥BC，
∴∠1+∠B＝90°，
∴2∠B+15°+∠B＝90°，
∴∠B＝25°；
综上，∠B的度数为75°或25°．
故答案为：75°或25°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及垂直的定义，本题容易丢解，分类讨论是关键．
【易错点三 图形或线的位置不确定，考虑问题不全致错】
例题：（2022春·四川成都·七年级校考期中）将两块透明的三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），将绕点转动，满足点在直线的上方，且小于，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为______．
【答案】或
【分析】分种情况进行讨论：当时，当时，根据平行线的性质和角的和差关系分别求得角度即可．
【详解】解：当时，
∵，
∴∠A+∠ACB=,
∵，
∴，
∵∠ECB=,
∴；
当时，
∵，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·福建三明·七年级校考期中）为了亮化某景点，三明市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动4秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是_______________秒．
【答案】2或8##8或2
【分析】设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒），推出t≤18-4，即t≤14．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可．
【详解】解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷10=18（秒），
∴t≤18-4，即t≤14．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图1，∠=∠，30t=10（4+t），
解得t=2；
②如图2，当A灯发出的光束旋转至AN回转时，
∠+∠=180°，30t-180+10（4+t）=180，
解得t=8；
综上所述，A灯旋转的时间为2或8秒．
故选：2或8．
【点睛】本题考查平行线的性质，解决此题的关键是分类讨论、有平行的性质列出每种情况的等量关系．
2．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是______．
【答案】99°或45°
【分析】根据，，可知，此时需要进行分情况讨论，为锐角时，；为钝角时，，由此即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴（两直线平行，内错角相等），
如图1所示，，
如图2所示，，
∴的度数为45°或99°．
故答案为：45°或99°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，分情况讨论是解题的关键．
3．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】2或3或5
【分析】分三种情况：①当AB时，②当AC时，③当AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可．
【详解】解：分三种情况：
①当AB时，如图：
∴∠＝∠BAC＝45°，
∴15t＝45，
∴t＝3；
②当AC时，如图，
∴∠＝∠＝30°，
∴15t＝30，
∴t＝2；
③当AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB，
∴∠ACE＝∠A，∠＝∠，
∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°，
∴15t＝75，
∴t＝5．
综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）乐乐把两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺不动，将三角尺绕顶点顺时针移动，当时，的所有可能符合的度数为______．
【答案】60°或120°
【分析】分2种情形画出图形，再利用平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：①如图，
由题意得：∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∵DEAC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°；
②如图，
由题意得：∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∵DEAC，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=60°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转， 当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】10或15或25
【分析】分三种情况讨论：①当CD//AP时，②当PD//AB时，③当CD//AB时，分别求解即可．
【详解】解：分三种情况讨论：①当CD//AP时，如图，三角尺PCD旋转到三角尺PC1D1处，
则C1D1//AP，
∴∠DPC1+∠D1C1P=180°，
∵∠C1=∠C=90°，
∴∠DPC1=90°，
∴∠CPC1=∠DPC1-∠DPC=90°-60°=30°，
∴t=30÷3=10；
②当PD//AB时，如图，三角尺PCD旋转到三角尺PC2D2处，
则PD2//AB，
∴∠DPD1=∠A=45°，
∴t=45÷3=15；
③当CD//AB时，如图，三角尺PCD旋转到三角尺PC3D3处，
则C3D3//AB，
∵PB⊥AB，PC3⊥C3D3，
∴PC3与PB在同一直线上，
∴∠DPC3=∠DPB=180°-45°=135°，
∴∠CPC3=∠DPC3-∠DPC=135°-65°=75°，
∴t=75÷3=25；
综上，当运动时间t =10秒或15秒或25秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：10或15或25．
【点睛】本题考查旋转的应用，平行线的性质，分类讨论是解题的关键．
6．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）如图，将一副三角板如图摆放，点在边上，将图中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在第________秒时，三角板中恰有一边与边平行．
【答案】6或15或24
【分析】分AE′BC时，E′D′BC时，AD′BC时三种情况，分别作出图形，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图：当AE′BC时，
则∠CAE′＝∠C＝30°，
∴旋转的时间为：＝6（秒）；
如图，当E′D′BC时，BD与E′D′交于点F，
∴∠BFD′＝∠B＝60°，
∴∠E′AF＝∠BFD′－∠E′＝60°－45°＝15°，
∴∠EAE′＝90°－15°＝75°，
∴旋转的时间为：＝15（秒）；
如图，当AD′BC时，
则∠BAD′＝∠B＝60°，
∴∠EAE′＝360°−90°−90°−60°＝120°，
∴旋转的时间为：＝24（秒），
综上，在第6或15或24秒时，三角板中恰有一边与边平行．
故答案为：6或15或24．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据题意画出图形利用分类讨论得出是解题关键．
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