北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题13全等三角形(图形)性质与判定(原卷版+解析)(8大考点)

这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题13全等三角形(图形)性质与判定(原卷版+解析)(8大考点)，共49页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30590" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30590 \h 1
\l "_Tc31738" 【考点一 全等图形识别】 PAGEREF _Tc31738 \h 1
\l "_Tc32702" 【考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 PAGEREF _Tc32702 \h 3
\l "_Tc15097" 【考点三 全等三角形的概念】 PAGEREF _Tc15097 \h 5
\l "_Tc1829" 【考点四 全等三角形的性质】 PAGEREF _Tc1829 \h 7
\l "_Tc29876" 【考点五 用SSS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc29876 \h 9
\l "_Tc4801" 【考点六 用SAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc4801 \h 12
\l "_Tc11679" 【考点七 用ASA证明三角形全等】 PAGEREF _Tc11679 \h 14
\l "_Tc16994" 【考点八 用AAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc16994 \h 17
\l "_Tc18098" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18098 \h 20
【典型例题】
【考点一 全等图形识别】
例题：（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形
2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和】
例题：（2023·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．
2．（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【考点三 全等三角形的概念】
例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【考点四 全等三角形的性质】
例题：（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 _____．
【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【考点五 用SSS证明三角形全等】
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【考点六 用SAS证明三角形全等】
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．

【考点七 用ASA证明三角形全等】
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【考点八 用AAS证明三角形全等】
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个正方形是全等图形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D．两个全等图形的面积一定相等
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考阶段练习）在和中，，，若补充条件后一定能保证，则补充的条件不能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（ ）
A．（1）和（3）B．（3）和（4）
C．（1）和（4）D．（1）和（2）
5．（2023春·八年级单元测试）如图，，则对于结论，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
6．（2023春·七年级课时练习）已知，，，则_______．
7．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在和中，已知，，请添加一个条件 ______ ，使得．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，，相交于点F，则的度数是_____．
9．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．
10．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，、是的高线，与相交于点F．若．且的面积为6，则的长度为______．
三、解答题
11．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC△DAE．
(1)求证：BC=DE+CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，BCDE？请说明理由．
14．（2023春·七年级课时练习）已知：与交于点，，．求证：规范证明过程
证明：在和中，
______
______ ______
在和中，
______
．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，点，，，在同一条直线上．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
16．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）如图，点D是上一点，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
17．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，，，点在上．
(1)平分吗？为什么？
(2)试说明．
18．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，，且，，且．
(1)如图1，连接、，求证：；
(2)如图2，求证；
19．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）如图1，已知中，，平分交于点，是延长线上一点，连接并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若点在上，点在上，且满足，试判断的数量关系，并证明你的结论．
专题13 全等三角形(图形)性质与判定
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30590" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30590 \h 1
\l "_Tc31738" 【考点一 全等图形识别】 PAGEREF _Tc31738 \h 1
\l "_Tc32702" 【考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 PAGEREF _Tc32702 \h 3
\l "_Tc15097" 【考点三 全等三角形的概念】 PAGEREF _Tc15097 \h 5
\l "_Tc1829" 【考点四 全等三角形的性质】 PAGEREF _Tc1829 \h 7
\l "_Tc29876" 【考点五 用SSS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc29876 \h 9
\l "_Tc4801" 【考点六 用SAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc4801 \h 12
\l "_Tc11679" 【考点七 用ASA证明三角形全等】 PAGEREF _Tc11679 \h 14
\l "_Tc16994" 【考点八 用AAS证明三角形全等】 PAGEREF _Tc16994 \h 17
\l "_Tc18098" 【过关检测】 PAGEREF _Tc18098 \h 20
【典型例题】
【考点一 全等图形识别】
例题：（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
认真观察图形，可以看出选项中只有B中的图形可以由题干中已给的图形旋转得到，其它三个形状与题干中已给的图形不一致．
【详解】
解：由全等形的概念结合图形可知：A、C、D中图形形状与题干中已给的图形不一致，故不符合题意；B中的图形可以由题干中已给的图形顺时针或逆时针旋转得到．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．
【考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和】
例题：（2023·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．
【答案】45
【解析】
【分析】
连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】
解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
2．（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
【答案】135
【解析】
【分析】
首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；
【详解】
如图所示，
在△ACB和△DCE中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
【考点三 全等三角形的概念】
例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.
【详解】
①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；
②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；
③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；
④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；
故四个命题都正确，
故D为答案.
【点睛】
本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【解析】
【分析】
直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
【考点四 全等三角形的性质】
例题：（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等详解即可．
【详解】
解：∵△ABC≌ΔA′B′C′，ΔA′B′C′的周长为22，
∴△ABC的周长为22，
∵AB+AC＝12，
∴BC＝22﹣12＝10，
∴B'C'＝BC＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
(1)
解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)
∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【考点五 用SSS证明三角形全等】
例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
(1)
在和中，
，
∴(SSS)；
(2)
AC和BD的位置关系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1)与相等吗？请说明理由．
(2)若，，AF平分时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
(1)
解：，
理由如下：
∵
∴
在和中
∴
∴
(2)
解：∵
∴
∴
∵平分
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【考点六 用SAS证明三角形全等】
例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性质得到结论即可．
【详解】
证明：，
，
在和中
，
≌（SAS），
．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．
2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．
求证：△ABE≌△DCF．

【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；
【详解】
证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，
∴BF+EF=CE+EF，
∴BE=CF，
△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．
【考点七 用ASA证明三角形全等】
例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
【详解】
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；
（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．
(1)
证明：在△ABO与△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA）
∴AB＝DC；
(2)
证明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明；
（2）由邻补角的定义求出，进而得到，再利用两直线平行同旁内角互补求出．
由两直线平行得
(1)
证明：，
，
在和中，
，
．
(2)
解：，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【考点八 用AAS证明三角形全等】
例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析
【解析】
【分析】
根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．
【详解】
解：△BDO与△CEO全等；
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
∵在△BDO与△CEO中，，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD＝1
【解析】
【分析】
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
(1)
证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
(2)
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形
B．两个正方形是全等图形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D．两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；
C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等图形的性质和定义，掌握全等图形的性质和定义是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的概念分析即可．
【详解】解：A、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；
D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．
3．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考阶段练习）在和中，，，若补充条件后一定能保证，则补充的条件不能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐个验证即可．
【详解】解：A、两边及其夹角相等，可以证明全等，故A不合题意；
B、两角夹一边，可以证明全等，故B不合题意；
C、不是两条边的夹角，不能证明全等，故C符合题意；
D、两角相等，其中一个角的对边也相等，可以证明全等，故D不合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：．
4．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（ ）
A．（1）和（3）B．（3）和（4）
C．（1）和（4）D．（1）和（2）
【答案】D
【分析】根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案．
【详解】解：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
B．带第（3）和（4）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．（2023春·八年级单元测试）如图，，则对于结论，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．
【详解】∵，
∴，
故①③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
不一定相等，故②不符合题意；
综上：正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·七年级课时练习）已知，，，则_______．
【答案】##度
【分析】根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
7．（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）如图，在和中，已知，，请添加一个条件 ______ ，使得．
【答案】或或．
【分析】根据全等三角形的判定，即可求解．
【详解】解：添加的条件是或或，
理由是：在和中，
添加：，
，
．
添加：
，，，
，
添加：
，，，
．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，，相交于点F，则的度数是_____．
【答案】##20度
【分析】根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形内角和定理可求得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9．（2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．
【答案】
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
10．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，、是的高线，与相交于点F．若．且的面积为6，则的长度为______．
【答案】1
【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．
【详解】解：，是的高线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的面积为6，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】由可得，则由可证明，问题则解决．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，由线段的和差关系得到、熟悉全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．
说理过程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ ，所以可以使点B与点B′重合．又因为 ＝ ，所以射线 能落在射线 上，这时因为 ＝ ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'
【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．
【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC△DAE．
(1)求证：BC=DE+CE；
(2)当△ABC满足什么条件时，BCDE？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BCDE．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC△DAE，
∴AE=BC，AC=DE，
又∵AE=AC+CE，
∴BC=DE+CE；
（2）解：∵BCDE，
∴∠BCE=∠E，
又∵△ABC△DAE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠BCE，
又∵∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠ACB=90°，
即当△ABC满足∠ACB为直角时，BCDE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
14．（2023春·七年级课时练习）已知：与交于点，，．求证：规范证明过程
证明：在和中，
______
______ ______
在和中，
______
．
【答案】，，，，1，2，，，，．
【分析】利用证明，可得，再利用证明，进而可得．
【详解】证明：在和中，
在和中，
．
故答案为：，，，，1，2，，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解决问题的关键．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，点，，，在同一条直线上．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出，然后再根据全等三角形的对应角相等即可解答；
（2）根据题意求出，再根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
16．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）如图，点D是上一点，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为
【分析】（1）根据边角边定理判定即可；
（2）由全等的性质易得，由平行线的性质及已知即可求得结果．
【详解】（1）证明：在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
答：的度数为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
17．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，，，点在上．
(1)平分吗？为什么？
(2)试说明．
【答案】(1)平分，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据“边边边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：平分，理由如下：
在与中，
，
∴，
∴，
即平分．
（2）解：由（1）可得：，
在与中，
得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定定理与性质．
18．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，，且，，且．
(1)如图1，连接、，求证：；
(2)如图2，求证；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据题意得到，然后证明，进而得到；
（2）首先根据题意得到，然后证明，得到，然后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1），，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）作交的延长线于，作于N，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
19．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）如图1，已知中，，平分交于点，是延长线上一点，连接并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若点在上，点在上，且满足，试判断的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定可得到，再利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据可得到，再利用全等三角形的判定可得到，进而得到结论；
（3）利用截长补短法得到 ，再利用全等三角形的性质即可得到的数量关系．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解： ∵是延长线上一点，连接并延长交于点，
∴，
∵，
∴,
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
在上截取，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴,
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，截长补短法构造全等三角形等相关知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．