福建龙岩2024年3月高三下学期数学质检试题及答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
简析：令，得或，当时不合题意，故，所以A错误；
令得，故为偶函数，所以B错误；
令，得，所以，
所以，所以的周期为6，所以D错误；
令，得，所以，
所以，故C正确．
11．简析：对于A，如图（1）：易知,故不可能为直角三角形的斜边，所以不存在，所以A正确；
对于B，如图（2），延展平面，
易知平面过的中点，
所以，故B错误；
对于C，如图（1），若，
图（1）
取的三等分点（靠近），
的中点,易得平面平面，
所以即为的轨迹，计算得，所以C正确；
对于D，易知，该球是以为顶点，
底面为正六边形的正六棱锥相切的球，
由等体积法可得该球的半径为，
图（2）
所以该球的表面积最大为，所以D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
14．简析：恰好是线段的中点，，
记线段的中点分别为，易得，.
由点差法可得，，
相乘得，
化简得，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（本题满分13分）
解：（1）假设70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关．
则，3分
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于．5分
（2）由已知得， 7分
所以随机变量的分布列为：
11分
所以13分
16．（本题满分15分）
解：（1）如图所示即为所作； 3分
（2）存在为的中点，使平面．证明如下：
延长交的延长线于点，连接，
.
，
，即为的中点.
又为的中点，
，
平面，平面，
平面．
即线段上存在一点，使平面． 8分
（3）分别取、中点、，连接、，
，
，
又,,,平面,
平面，
面，
.
，为中点，.
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 10分
，，，
，，
设向量为平面的一个法向量，
则取，得，
又为平面的一个法向量， 13分
设平面与平面的夹角为，
，
平面与平面的夹角的余弦值为． 15分
17．（本题满分15分）
解：（1），
，
，即

，， 3分
又，
，
，
，解得：或，
又，. 7分
（2）设数列公比为，
，
，
，又，
10分
①
②
①-②：
，
15分
18．（本题满分17分）
解：（1）函数的定义域为，2分
①当时，，在区间上单调递增. 4分
②当时，由，得 ，
在区间上单调递增；
由，得，
在区间上单调递减. 6分
综上：时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为. 7分
（2），切线方程为：， 10分
令，得，
，
，又，
，
12分
又由，得，
即
令， 14分
则，
当时，，当时，；
在区间单调递增，在区间单调递减，
而，
的取值范围是 17分
19．（本题满分17分）
解：（1）因为直线过定点，所以，1分
由消去，得，，
设，则4分
直线的斜率，
所以




即直线与的斜率之积为定值. 7分
（2）因为直线与双曲线有唯一的公共点，
所以直线与双曲线相切.
由，消去，得
由题意得，，化简得9分
记切点，则，，
代入直线得
故 11分
（Ⅰ）双曲线的两条渐近线方程为，
由，得，由得
故，
所以，所以 13分
（Ⅱ）过点且与垂直的直线方程为
令，得，令，得
所以 15分
因为，，
所以，
所以，化简得, 16分
因为，，
所以点的轨迹方程为 17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
B
A
D
C
D
A
C
C
题号
9
10
11
选项
AC
ACD
ACD
0
1
2
3