浙江省金华市兰溪市第二中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试须知：
1．全卷共三大题，24小题，满分120分．考试时间卫120分钟，本次考试采用闭卷形式．
2．全卷分试卷Ⅰ（选择题）和试卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．
3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上填写姓名和准考证号．
4．本次考试不得使用计算器．
卷Ⅰ
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标，抛物线的顶点坐标是，由公式可直接得到答案，解题的关键是掌握抛物线的顶点式与顶点坐标．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故选：D．
2. 下列图形中，∠B＝2∠A的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A中，∠A=∠B；
B中，∠A与∠B的大小无法判定；
C中，∠A+∠B=180°；
D中，∠B=2∠A．
故选D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱B. 球C. 圆锥D. 正四棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．
故选：A．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
4. 如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】如图，Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∴tan∠ACB＝，
故选B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
5. 传说中的小李飞刀，飞刀绝技高超，飞刀靶心的命中率为 ，在一次飞刀演练中，前 次均命中靶心，那么他的第 次飞刀命中靶心的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．
【详解】解：传说中的小李飞刀，飞刀绝技高超，飞刀靶心的命中率为99%，在一次飞刀演练中，前99次均命中靶心，那么他的第100次飞刀命中靶心的概率为：99%，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
6. 三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据面积关系：，其中、是两直角边，是斜边，是直角三角形内切圆的半径，由此关系即可求得内切圆的半径．
【详解】设三角形内切圆的半径为，由于，所以此三角形是直角三角形，
则有：
解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查了求三角形的内切圆半径，勾股定理的逆定理，利用面积关系是关键．
7. 如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若设小道的宽为x米，利用平移知识可知剩余部分可合成长30-2x米，宽25-x米的长方形，根据使种植面积为600平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长30-2x米，宽25-x米的长方形，依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用平移知识将实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设交于点K，先证明，四边形是矩形，则，再证明，得，于是有，即可求得，得到问题的答案．
【详解】
如图，设交于点，
∵四边形是矩形，且边落在上，
∴，，
∵于点，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明并且根据“相似三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
9. 如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交PA、PB于点C、D，若△PCD的周长为18，则PA的长度为（ ）
A. 7B. 9C. 12D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】先根据切线长定理得到，，，再利用的周长为得到，然后利用等线段代换得到，从而得到的长．
【详解】解：∵、分别切于点、，切于点，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，利用运用切线长定理是解决问题的关键．
10. 如图，在菱形纸片ABCD中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作于N，作于M，连接BE，在，，，中，根据勾股定理可求DM，ME，AN，EF的长，即可求FN的长，即可得
值．
【详解】解：如图：作于N，作于M，连接BE，BD
四边形ABCD是菱形，
，，
是CD中点，
，
，且
，
折叠
，
在中，．
在中，，，，，，
，
是等边三角形
点是CD中点
，，，，，
在中，．
．，，，，
在中，，，
故选C．
【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
卷Ⅱ
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 _____．
【答案】12个
【解析】
【分析】用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，盒子中白球的个数约为（个），
故答案为：12个．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12. 若二次函数与轴只有一个交点，则值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：0．
13. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：底面半径为2，则底面周长=4π，侧面展开图是半圆，则母线长=4π×2÷2π=4，
∴圆锥的侧面积=×4π×4=8π．
故答案为：8π．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键．
14. 已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时(如图1)，AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时(如图2)，AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝_____米．
【答案】
【解析】
【分析】利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．
【详解】设OH＝x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO＝2xm，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，
∴BO＝3xm，
则AO＋BO＝2x＋3x＝3m，
解得；x＝ ．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是正确用未知数表示出AB的长．
15. 如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是_____m2．
【答案】π．
【解析】
【分析】小羊A在草地上的最大活动区域面积为两个扇形的面积，一个扇形的圆心角为90°，半径为6m，另一个扇形为圆心角为60°，半径为2m．
【详解】大扇形的圆心角是90度，半径是6，
所以面积为：(m2)；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是6-4=2m，
则面积为：(m2)；
小羊A在草地上的最大活动区域面积为：(m2)．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
16. 如图，在四边形中，是对角线的中点，连接并延长交边于点．若，则______，______．

【答案】 ①. ##30度 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质．利用两个角分别相等可证明；在中，利用三角形内角和定理结合等边对等角即可求解；过点作于点，设，则，在中，，表示出，即可解决问题．
【详解】解：，
，
∵，
，
是斜边上的中线，
，
，
，
∵，
中，
，
；
过点作于点，

设，则，
在中，，
，
，
；
故答案为：；．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案；
（2）利用零指数幂的性质，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．
（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点，可知，进而根据△ACO∽△BOD，即可求得,
（2）在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求．
【详解】解（1）由题意：
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△BOD，
∴AO∶BO＝AC∶BD，
，
即AO∶BO＝3∶4＝
（2）如图，在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求，连接,
，
，
，
设到的距离为，
．
【点睛】本题考查了网格作图，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19. 小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．
（1）转盘转到4的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断．
【小问1详解】
解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中4的倍数有2个，
∴转盘转到4的倍数的概率为；
【小问2详解】
游戏不公平，
∴小亮去参加活动概率为， 小芳去参加活动的概率为：，
∵，
∴游戏不公平．
【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
20. 已知：如图，为的直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，，平分交于点，过点作，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，由切线性质，利用直角三角形性质、外角性质，再根据等腰三角形的判定与性质即可得证；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，从而利用含的直角三角形的性质得到，再结合角平分线性质确定，解直角三角形即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：为的直径，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
线段的长为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、直角三角形性质、外角性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、角平分线及解直角三角形等知识，熟练掌握圆的相关性质是解决问题的关键．
21. 如图，一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点 E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得点E的俯角为45°．

（1）求点E距水平面BC的高度；
（2）求楼房AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）．
【答案】（1）10米 （2）52.3米
【解析】
【分析】（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，根据坡比为1：和勾股定理可求出EF＝10；
（2）过点E作EH⊥AB于点H．由坡比为1：可求出CF的长，从而在Rt△AHE中，利用AH=HE=BC+CF可求出AH的长，然后根据AB=AH+BH计算即可．
【小问1详解】
过点E作EF⊥BC于点F．

在Rt△CEF中，CE=20，
∴
∵EF＞0，∴EF＝10
答：点E距水平面BC的高度为10米．
【小问2详解】
过点E作EH⊥AB于点H．
则HE=BF，BH=EF．
在Rt△AHE中，∠HAE=45°
∴AH=HE
由（1）得（米）
BC=25米
∴
∴（米）
答：楼房AB的高约是52.3米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
22. 发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达到最大高度10米，如图所示，现将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，距离O的水平距离为30米，垂直高度3米，是垂直高度为3米的防御墙．
（1）求石块运行的函数关系式；
（2）计算说明石块能否飞跃防御墙；
（3）石块飞行时与坡面之间的最大距离是多少？
（4）如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移多远？
【答案】（1）y＝－x2＋x（0≤x≤40）
（2）能，理由见解析 （3）8.1米
（4）（4－10）米
【解析】
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x－20）2＋10，用待定系数法求得a的值，即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝－x2＋x，求得y的值,与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝，设抛物线上一点P（t，－），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，），利用二次函数的性质可得答案；
（4）设向后平移后的解析式为y＝－（x－h）2＋10，把（30，6）代入解析式，求得h即可.
【小问1详解】
解：设石块运行的函数关系式为y＝a（x－20）2＋10，
把（0，0）代入解析式得：400a＋10＝0，解得：a＝－
∴石块运行的函数解析式为：y＝－（x－20）2＋10，
即y＝－x2＋x（0≤x≤40）；
【小问2详解】
解：石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝30代入y＝－x2＋x得：y＝－×900＋30＝7.5，
而点B的最大垂直高度为3＋3＝6，
由于7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB；
小问3详解】
解：设OA的解析式为y＝kx，
由于A（30，3），
∴3＝30k，
∴k＝．
∴OA的解析式为y＝；
如图，设抛物线上一点P（t，－），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，）
∴PQ的长d＝－t2＋t－t＝－t2＋t
∵－＜0，
∴函数图象的开口向下，d有最大值．
当t＝－＝18时，dmax＝－×182＋×18＝8.1
∴石块飞行时与坡面OA之间的最大距离时8.1米；
【小问4详解】
解：设向后平移后的解析式为y＝－（x－h）2＋10，
把（30，6）代入解析式，得：6＝－（30－h）2＋10，
解得h1＝30－4，h2＝30＋4（不合题意，舍去）
∴20－（30－4）＝4－10．
∴如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移（4－10）米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23. （1）如图，已知和均为直角三角形，
【发现问题】①如图1，连接，若，则的长为______．
【探索问题】②如图2，若，求的长．
【解决问题】（2）如图3，在凸四边形中，，过作，交延长线于点．那么的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】[发现问题]；[探索问题] ；[解决问题]不变，
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形；
（1）[发现问题]①连接，证明，得到，在中，，，勾股定理求出，得到答案；
[探索问题]②连接，证明，得到 ，求出的长，得到的长．
（2）[解决问题]证明，进而得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，
，
，即，
又，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中， ，，
，
；
②在中，，
，
，
，
，
，
，，
，又，，
，
．
[解决问题] （2）解：如图所示，过作，交延长线于点，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【解析】
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．