2023年四川省凉山州中考数学试卷

这是一份2023年四川省凉山州中考数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文宇说明，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各数中，为有理数的是
A．B．C．D．
2．（4分）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是
A．B．
C．D．
3．（4分）若一组数据，，，，的方差为2，则数据，，，，的方差是
A．2B．5C．6D．11
4．（4分）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
5．（4分）2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营．据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客144.6万人次．将数据144.6万用科学记数法表示的是
A．B．C．D．
6．（4分）点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
7．（4分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则
A．B．C．D．
8．（4分）分式的值为0，则的值是
A．0B．C．1D．0或1
9．（4分）如图，点、点在上，，，添加一个条件，不能证明的是
A．B．C．D．
10．（4分）如图，在等腰中，，分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是
A．B．C．D．
11．（4分）如图，在中，，，，则
A．1B．2C．D．4
12．（4分）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．为实数）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算 ．
14．（4分）已知是完全平方式，则的值是 ．
15．（4分）如图，的顶点、、的坐标分别是、、．则顶点的坐标是 ．
16．（4分）不等式组的所有整数解的和是 ．
17．（4分）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则 ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）先化简，再求值：，其中，．
19．（5分）解方程：．
20．（7分）2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区（以下分别用、、、表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若某游客随机选择、、、四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．
21．（7分）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的、两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且、、、在同一直线上．点、点到的距离分别为、，且，，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．
（1）求，两点之间的距离（结果精确到；
（2）若该隧道限速80千米小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：，
22．（8分）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知，则的值等于 ．
24．（5分）如图，边长为2的等边的两个顶点、分别在两条射线、上滑动，若，则的最大值是 ．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
26．（10分）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，
，
，
易证．
，，
，，
，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出、的值；
（3）求直线的解析式．
27．（10分）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
28．（12分）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
2023年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1．【解答】解：，
选项符合题意；
，，是无理数，
选项，，不符合题意，
故选：．
2．【解答】解：主视图看到的是两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
因此选项中的图形符合题意，
故选：．
3．【解答】解：设一组数据，，，，的平均数为，则方差为，
数据，，，，的平均数为，方差为．
故选：．
4．【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
5．【解答】解：144.6万．
故选：．
6．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
7．【解答】解：在水中平行的光线，在空气中也是平行的，，，
，
水面与杯底面平行，
，
．
故选：．
8．【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：，
故选：．
9．【解答】解：，
，
即，
当时，利用可得，故不符合题意；
当时，利用可得，故不符合题意；
当时，利用可得，故不符合题意；
当时，无法证明，故符合题意；
故选：．
10．【解答】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：．
11．【解答】解：连接，设交于，如图：
，
，
，，
，
在中，，
，
，
；
故选：．
12．【解答】解：由抛物线开口向上知，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，且，
抛物线上的点与关于对称轴对称，
由图可知，在第一象限，
在第二象限，
，故错误，不符合题意；
时，
，
，
，
，故正确，符合题意；
，
，
，，
，
，故错误，不符合题意；
故选：．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．【解答】解：原式
．
故答案为：．
14．【解答】解：是完全平方式，，，
或，
．
故答案为：．
15．【解答】解：如图，延长交轴于点，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
轴，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
16．【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
由为整数，可取，，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
17．【解答】解：设交于，如图：
，是边上的中线，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.
18．【解答】解：
，
当，时，
原式
．
19．【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
，
或，
将代入原方程，原方程左右相等，
是原方程的解．
将代入，使分母为0，
是原方程的增根，
原方程的解为：．
20．【解答】解：（1）（人，
所以本次参加抽样调查的游客有600人；
（2）景点的人数为（人，
景点的人数所占的百分比为，
景点的人数所占的百分比为，
两幅不完整的统计图补充为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，他第一个景区恰好选择的结果数为3，
所以他第一个景区恰好选择的概率．
21．【解答】解：（1）根据题意，四边形是矩形，，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，两点之间的距离约为；
（2），
小型汽车每小时行驶，
，，
小型汽车从点行驶到点没有超速．
22．【解答】（1）证明：，
，
是菱形，
；
（2）解：由（1）可知，是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．【解答】解：，
，
，
故答案为：2023．
24．【解答】解：取中点，连，，
，
当、、共线时，有最大值，最大值是，
为等边三角形，为中点，
，，
，
为直角三角形，为斜边的中点，
，
，即的最大值为．
故答案为：．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．【解答】解：（1）设雷波脐橙每千克元，资中血橙每千克元，
根据题意得：，
解得：．
答：雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；
（2）设购买雷波脐橙千克，则购买资中血橙千克，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为40．
答：他最多能购买雷波脐橙40千克．
26．【解答】解：（1）设，
，，
，
，
解得或，
或（此时在第四象限，不符合题意，舍去），
把代入得：
，
解得，
反比例函数的解析式为；
（2）在中，令得，
解得，
，
，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
由若时，当，则可得：
；
（3）由（2）知，
，
，
，，
，
，
，
，
设直线解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线解析式为．
27．【解答】（1）证明：连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：连接，，如图：
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
，
的半径为3；
，
，
，，
，
，即，
，
的半径为3，的长为．
28．【解答】解：（1）抛物线与轴交于和两点，
抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
抛物线顶点为，
设抛物线函数解析式为，
将代入得：
，
解得，
抛物线函数解析式为；
（2）①如图：
在中，令得，
，
由，得直线解析式为，
，，
，
，
当时，取最大值，
的值为，的最大值为；
②，，，
，，；
若，则，
解得与重合，舍去）或，
；
若，则，
解得（舍去）或或（不符合题意，舍去），
，；
若，则，
解得（舍去）或或（不符合题意，舍去），
；
综上所述，的坐标为或，或．
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